二维正态分布

二维正态分布

一、 设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布，已知E(X)E(Y)0，D(X)16，D(Y)25，并且cov(X,Y)12，求(X,Y)的联合概率密度．

cov(X,Y)35解：已知

xy0255，x164，y，

r(X,Y)xy．从而

31641r21()21r2525，5．

f(x,y)12xy1r212(1r2)[e2(xx)22r(xx)(yy)(yy)]22xxyy进一步按公式，可得(X,Y)的联合概率密度为

25(x23xyy2132(165025)f(x,y)e32．

2Y~N(1,2)．X~N(0,1)YX二、设随机变量与独立，并且，求随机变量Z2XY3的概率密度．

三、解：由题设，有

E(X)0，D(X)1，E(Y)1，D(Y)4．

又根据关于数学期望的定理和方差的定理以及独立正态随机变量线性组合的分布，我们有

23

概率论与数理统计习题册解答 第四章 正态分布

E(Z)E(2XY3)2E(X)E(Y)E(3)2．

D(Z)D(2XY3)4D(X)D(Y)D(3)8．

且Z~N(E(Z),D(Z))N(2,8)，故随机变量Z2XY3的概率密度为

fZ(z)128e(z2)22814e(z2)216 (z)．

三、 台机床分别加工生产轴与轴衬．设随机变量X(mm)表示轴的直径，随机变量Y(mm)表示

22X~N(50,0.3)Y~N(52,0.4)，显然X与Y是独立的．如果轴衬的内径与轴的轴衬的内径，已知，

直径之差在1~3(mm)之间，则轴与轴衬可以配套使用．求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率．

22X~N(50,0.3)Y~N(52,0.4)．设ZYX根据独YX解：由题设，知随机变量与是独立的，且，

立正态随机变量线性组合的分布，我们有

Z~N(52(1)50,0.42(1)20.32)N(2,0.52)．

根据题目假设，我们知道当1ZYX3时，轴与轴衬可以配套使用．于是所求概率为

12Z232Z2P(1Z3)P()P(22)(2)(2)2(2)10.50.50.50.5

20.977210.9544．

24

概率论与数理统计习题册解答 第四章 正态分布

四、100台车床彼此独立地工作着，每台车床的实际工作时间占全部工作时间的80%，求：

（1） 任一时刻有70至86台车床在工作的概率；

（2） 任一时刻有不少于80台车床在工作的概率．

解：设ξ表示“任一时刻正在工作的车床数”，则~B(100,0.8)．

E1000.880． D1000.8(10.8)16．

（1）

P(7086)0,1(86807080)0,1()0,1(1.5)0,1(2.5)1616

0,1(1.5)[10,1(2.5)]0.93320.993810.927

（2）

P(80)1P(080)1[0,1(8080080)0,1()1616

10,1(0)0,1(20)20,1(0)0,1(20)20.510.5．

五、在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费．在一年内一个人死亡的概率为0.006，死亡时其家属可向保险公司领得1000元．问：

（1） 保险公司亏本的可能性是多大？

25

概率论与数理统计习题册解答 第四章 正态分布

（2） 保险公司一年的利润不少于50000元的概率是多少？

解：设X表示“一年内死亡的人数”，则X~B(10000,0.006)．

EX100000.00660． DX100000.006(10.006)59.84．

（1）

P(1000X1000012)1P(0X120)1P(06059.846059.841206059.84

)

1[Φ0,1(7.7)Φ0,1(7.7)]22Φ0,1(7.7)0．

即保险公司不可能亏本．

6059.84X6059.8410（2）

P(10000121000X50000)P(0X70)P(59.84

) (1.293)(7.756)(1.293)(7.756)10.9032．

即保险公司一年利润不少于50000元的概率为0.9032．

26