一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知集合𝐴={𝑥∈𝑁|−3<𝑥≤3}，𝐵={𝑥∈𝑁|−2≤𝑥<5}，则𝐴∩𝐵=( )
A. [−2,3]
2. 复数𝑧=
−3+𝑖2+𝑖
B. (−3,5)
的模是( )
C. {0,1，2，3} D. {1,2，3}
A. 2 B. √2 C. 1
2 D. √2
3. 据国家统计局发布的数据，2019年11月全国𝐶𝑃𝐼(居民消费价格指数)，同比上涨4.5%，CPI上
涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI上涨3.27个百分点．下图是2019年11月CPI一篮子商品权重，根据该图，下列结论错误的是
A. CPI一篮子商品中所占权重最大的是居住 B. CPI一篮子商品中吃穿住所占权重超过50% C. 猪肉在CPI一篮子商品中所占权重约为2.5%
D. 猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约为0.18%
9,𝑥≥3
4. 已知函数𝑓(𝑥)={2，则不等式𝑓(𝑥2−2𝑥)<𝑓(3𝑥−4)的解集是( ) ．
−𝑥+6𝑥,𝑥<3
A. (1,4] B. (1,3) C. (2,3) D. (0,2)
5. 执行如图所示的程序框图，如果输入𝑛=5，𝑚=3，则输出p的等于( )
A. 3 B. 12
𝜋
𝜋
C. 60 D. 360
𝜋
6. 将函数𝑦=sin(2𝑥−4)的图像向左平移6个单位后，得到函数𝑓(𝑥)的图像，则𝑓(12)=( )
√6 A. √2+4
√6 B. √3+4
3 C. √2
2 D. √2
7. 已知
4项的系数为( )
，且的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中第
A. −160 B. −560 C. 280
1
𝑛𝑎𝑛+1
D. 60
15
8. 等差数列{𝑎𝑛}中，𝑎1=1，𝑎2=3，数列{𝑎}的前n项和为，则n的值为( )
31
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
2
AC是底面圆的直径，9. 圆柱的底面周长为6cm，高𝐵𝐶=6𝑐𝑚，点P是母线BC上一点，且𝑃𝐶=3𝐵𝐶.
一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是( )
A. (4+𝜋)𝑐𝑚
6
B. 5cm C. 3√5𝑐𝑚 D. 7cm
10. 已知函数𝑦=𝑓(𝑥)是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程𝑓(𝑥)=0的所有实根之和是( )．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
11. 已知抛物线𝑥2=8𝑦的焦点为F，点P在抛物线上，且|𝑃𝐹|=6，点Q为抛物线准线与其对称轴
的交点，则△𝑃𝐹𝑄的面积为( )
A. 20√2 B. 16√2 C. 12√2 D. 8√2
12. 轴截面为正方形的圆柱的侧面积与全面积的比是( )
A. 1︰2 B. 2︰3 C. 1︰3 D. 1︰4
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
⃗⃗⃗⃗⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ． E、F分别为BC、CD的中点，𝐴𝐵=2，𝐴𝐷=1，13. 已知矩形ABCD中，则(𝐴𝐸𝐴𝐹𝐵𝐷14. 双曲线
𝑥216
−
𝑦29
=1的离心率为______．
15. 从数字1，2，3中任取两个数字组成两位数，该数大于23的概率为________ 16. 已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎1=1,𝑎𝑛𝑎𝑛+1=2𝑛(𝑛∈𝑁∗)，则𝑎2𝑛= ______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17. 设a，b，c分别为△𝐴𝐵𝐶内角A，B，C的对边，已知𝑎𝑐𝑜𝑠𝐵=𝑏𝑐𝑜𝑠𝐴+𝑐．
(1)证明：△𝐴𝐵𝐶是直角三角形．
(2)若D是AC边上一点，且𝐶𝐷=3，𝐵𝐷=5，𝐵𝐶=6，求△𝐴𝐵𝐷的面积．
18. 如图，在长方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐴𝐴1=𝐴𝐷=2，E为CD中点．
(1)在棱𝐴𝐴1上是否存在一点P，使得𝐷𝑃 //平面𝐵1𝐴𝐸？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
(2)若二面角𝐴−𝐵1𝐸−𝐴1的大小为30°，求AB的长．
19. 武汉市掀起了轰轰烈烈的“十日大会战”，要在10天之内，对武汉市民做一次全员检测，彻底
摸清武汉市的详细情况.某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有1000(𝑛∈𝑁∗)份血液样本，有以下两种检验方式：
方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次．
方案②：按k个人一组进行随机分组，把从每组k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k个人的血就只需检验一次(这时认为每个人的血化验𝑘次)；否则，若呈阳性，则需对这k个人的血样再分别进行一次化验这样，该组k个人的血总共需要化验𝑘+1次.假设此次检验中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些人之间的试验反应相互独立．
(1)设方案②中，某组k个人中每个人的血化验次数为X，求X的分布列；
(2)设𝑝=0.1.试比较方案②中，k分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以减少多少次？(最后结果四舍五入保留整数)
1
𝑥√3的离心率，且经过点𝐴(1,0)，直线l交C于M、N两20. 已知椭圆C：𝑦+=1(𝑎>𝑏>0)𝑒=𝑎2𝑏22
22
点
(1)求椭圆C的方程
(2)若△𝐴𝑀𝑁是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程．
21. 设l为函数𝑓(𝑥)=
𝑙𝑛𝑥𝑥
的图象在点(1,0)处的切线．
(Ⅰ)求l的方程；
(Ⅱ)证明：𝑥>0时，𝑥(𝑒𝑥−2)>𝑙𝑛𝑥．
𝑥=𝑡+
𝑡
22. 在平面直角坐标系xOy中，点P是曲线𝐶1：{1(𝑡为参数)上的动点，以坐标原点O为
𝑦=2(𝑡−)𝑡1
极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线𝐶2的极坐标方程为：𝜌=sin𝜃−3cos𝜃． (1)求曲线𝐶1，𝐶2的直角坐标下普通方程；
(2)已知点Q在曲线𝐶2上，求|𝑃𝑄|的最小值以及取得最小值时P点坐标．
2
23. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑘−|𝑥−4|，𝑥∈𝑅，且𝑓(𝑥+4)≥0的解集为[−1,1]．
(1)求k的值；
(2)若a，b，c是正实数，且𝑘𝑎+2𝑘𝑏+3𝑘𝑐=1，求证：9𝑎+9𝑏+9𝑐≥1．
1
1
1
1
2
3
【答案与解析】
1.答案：C
解析：解：∵集合𝐴={𝑥∈𝑁|−3<𝑥≤3}={0,1，2，3}， 𝐵={𝑥∈𝑁|−2≤𝑥<5}={0,1，2，3，4}， ∴𝐴∩𝐵={0,1，2，3}． 故选：C．
先分别求出集合A和B，由此能求出𝐴∩𝐵．
本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
2.答案：B
解析：
直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，再根据复数求模公式计算得答案． 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．
−3+𝑖2+𝑖
解：𝑧==−1+𝑖，
则|𝑧|=√2． 故选B．
3.答案：D
解析：
本题考查统计图，考查学生数据处理能力，属于基础题.根据图中的数据，结合选项判断即可． 解：CPI一篮子商品中，居住所占权重为23.0%，最大，选项A正确； 吃穿住所占权重为19.9%+8.0%+23.0%=50.9%>50%，选项B正确； 猪肉在CPI一篮子商品中所占权重约为2.5%，选项C正确；
猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约为4.6%，选项D错误， 故选D．
4.答案：B
解析：解：当𝑥<3时，𝑓(𝑥)=−𝑥2+6𝑥=−(𝑥−3)2+9， 即有𝑓(𝑥)递增；
故𝑓(𝑥)在R上单调递增． 由𝑓(𝑥2−2𝑥)<𝑓(3𝑥−4)，可得
22𝑥−2𝑥<3𝑥−4𝑥{或{−2𝑥<3， 3𝑥−4≤33𝑥−4>3
1<𝑥<4−1<𝑥<3解得{𝑥≤7或{𝑥>7，
33
即为1<𝑥≤3或3<𝑥<3， 即1<𝑥<3.即有解集为(1,3)． 故答案为：(1,3)．
𝑥2−2𝑥<3𝑥−4{𝑥2−2𝑥<3
判断𝑓(𝑥)在R上递增，由𝑓(𝑥2−2𝑥)<𝑓(3𝑥−4)，可得{或，解不等
3𝑥−4≤33𝑥−4>3式即可得到所求解集．
本题考查分段函数的运用：解不等式，注意判断函数的单调性和运用，考查转化思想和二次不等式的解法，属于中档题和易错题．
77
5.答案：C
解析：解：模拟执行程序，可得𝑛=5，𝑚=3，𝑘=1，𝑝=1， 𝑝=3，
满足条件𝑘<𝑚，执行循环体，𝑘=2，𝑝=12， 满足条件𝑘<𝑚，执行循环体，𝑘=3，𝑝=60， 不满足条件𝑘<𝑚，退出循环，输出p的值为60． 故选：C．
通过程序框图，按照框图中的要求将几次的循环结果写出，得到输出的结果．
本题考查程序框图的应用，解决程序框图中的循环结构的输出结果问题时，常采用写出几次的结果找规律，属于基础题．
6.答案：D
解析：
本题考查三角函数图像的平移变换，再求值，属中档题． 解：由题意得𝑓(𝑥)=sin(2(𝑥+6)−4)=sin(2𝑥+12)，
𝜋𝜋√2𝑓()=sin=. 1242故选D．
𝜋
𝜋
𝜋
7.答案：A
解析：
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 先求出a和n的值，再利用二项展开式的通项公式，求出展开式中第4项的系数． 解：∵𝑎=log23⋅log34=𝑙𝑔2⋅
𝑙𝑔32𝑙𝑔2
𝑙𝑔3
=2，
且(𝑎𝑥−√𝑥)𝑛的展开式中只有第4项(𝑟=3)的二项式系数最大， ∴𝑛=6，
3∴展开式中第4项为𝑇4=𝐶6⋅𝑎3⋅(−1)3⋅𝑥2=−160𝑥2，
9
9
故第四项的的系数为−160， 故选：A．
8.答案：A
解析：
本题考查等差数列通项公式的求法，数列求和的方法，考查计算能力． 求出数列的通项公式，利用裂项相消法求数列的和，求出n即可． 解：等差数列{𝑎𝑛}中，𝑎1=1，𝑎2=3，𝑑=2，𝑎𝑛=2𝑛−1， 数列𝑎
1
𝑛𝑎𝑛+1
=(2𝑛−1)(2𝑛+1)=2(2𝑛−1−2𝑛+1)． }的前n项和为，
31
1
1
1
1
15
15
1111
数列{𝑎
11
1
𝑛𝑎𝑛+1
∴2(1−3+3−5+⋯+2𝑛−1−2𝑛+1)=31，
1
=31， 2𝑛+1
解得𝑛=15． 故选：A．
𝑛15
9.答案：B
解析：
本题主要考查了平面展开图，以及勾股定理的应用，做题的关键是画出圆柱的侧面展开图．首先画出圆柱的侧面展开图，根据高𝐵𝐶′=6𝑐𝑚，𝑃𝐶=3𝐵𝐶，求出𝑃𝐶′=3×4=4𝑐𝑚，在𝑅𝑡△𝐴𝐶′𝑃中，根据勾股定理求出AP的长．
2
2
解：侧面展开图如图所示：，
∵圆柱的底面周长为6cm，∴𝐴𝐶′=3𝑐𝑚． ∵𝑃𝐶′=3𝐵𝐶′，∴𝑃𝐶′=3×6=4𝑐𝑚． 在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝑃中，𝐴𝑃2=𝐴𝐶′2+𝐶𝑃2， ∴𝐴𝑃=√32+42=5． 故选B．
2
2
10.答案：A
解析：
本题考查函数奇偶性、函数零点与方程根的关系，属于基础题．
由题意得函数图象与x轴的四个交点关于原点对称，根据𝑓(𝑥)=0可得所有实根之和为0．
解：因为函数图象关于y轴对称，所以与x轴的四个交点关于原点对称， 所以𝑓(𝑥)=0的所有实根之和为0．
11.答案：D
解析：解：设点P的坐标为(𝑥0,𝑦0)，
抛物线𝑥2=8𝑦的焦点为𝐹(0,2)，准线方程为𝑦=−2，对称轴为y轴， ∴|𝑃𝐹|=𝑦0+=𝑦0+2=6，𝑄(0,−2)，
2𝑝
∴𝑦0=6，|𝐹𝑄|=4，
∴𝑥0=±4√2
∴𝑆△𝑃𝐹𝑄=|𝐹𝑄|⋅|𝑥0|=×4×4√2=8√2，
2
2
1
1
故选：D．
设点P的坐标为(𝑥0,𝑦0)，根据抛物线的定义可求出点P的坐标，即可求出三角形的面积． 本题考查了抛物线的简单性质和三角形的面积，属于基础题
12.答案：B
解析：如图所示，该圆柱体的轴截面ABCD为正方形，设其边长为2a，则圆柱体的高为2a，底面半径为a，将该圆柱体展开所得的长方形𝐴𝐵𝐵′𝐴′的面积即为圆柱的侧面积.其宽𝐴𝐵=2𝑎，长𝐴𝐴′=2𝜋𝑎，则侧面积为4𝜋𝑎2，全面积为4𝜋𝑎2+2×𝜋𝑎2=6𝜋𝑎2，因此侧面积与全面积之比为2:3．
13.答案：−2
解析：解：如图所示，
𝐴(0,0)，𝐵(2,0)，𝐸(2,2)，𝐹(1,1)，𝐷(0,1)． ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,)，⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1)，⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1)． ∴𝐴𝐸𝐴𝐹𝐵𝐷2⃗⃗⃗⃗⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,3)⋅(−2,1)=−6+3=∴(𝐴𝐸𝐴𝐹𝐵𝐷
2
2
1
1
9
−2．
故答案为：−2．
建立坐标系，利用向量的坐标运算和数量积运算即可得出． 本题考查了向量的坐标运算和数量积运算，属于基础题．
9
9
14.答案：4
解析：解：因为双曲线
𝑥216
5
−
𝑦29
=1，所以𝑎=4，𝑏=3，所以𝑐=√𝑎2+𝑏2=√16+9=5，
5
所以双曲线的离心率为：𝑒=𝑎=4． 故答案为：4．
通过双曲线方程求出a，b，c的值然后求出离心率即可．
本题考查双曲线的基本性质的应用，离心率的求法，考查计算能力．
5
𝑐
15.答案：3
解析：
本题考查古典概型及其概率公式，列举是解决问题的关键，属基础题． 列举出所有的两位数，找到其中大于23的，由概率公式可得．
解：从数字1、2、3中任取两个不同的数字构成一个两位数的结果有：12，21，13，31，23，32共6个，
其中满足大于23的有31和32共2个数， ∴所求概率𝑃=6=3 故答案为3．
1
2
1
1
16.答案：2𝑛
解析：解：由𝑎1=1,𝑎𝑛𝑎𝑛+1=2𝑛 ①，得𝑎2=2， 且𝑎𝑛−1𝑎𝑛=2𝑛−1 (𝑛≥2)②，
𝑛+1
①÷②得：𝑎𝑛−1=2，
𝑎
∴数列{𝑎𝑛}的偶数项构成以2为首项，以2为公比的等比数列， 则𝑎2𝑛=2×2𝑛−1=2𝑛． 故答案为：2𝑛．
由已知求出数列的第二项，并得到数列{𝑎𝑛}的偶数项构成以2为首项，以2为公比的等比数列，然后由等比数列的通项公式得答案．
本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，是中档题．
17.答案：解(1)由正弦定理得𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵=𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐴+𝑠𝑖𝑛𝐶，
∴𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵−𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐴=𝑠𝑖𝑛𝐶，∴sin(𝐴−𝐵)=𝑠𝑖𝑛𝐶， ∵𝐴−𝐵∈(−𝜋,𝜋)，𝐶∈(0,𝜋)， ∴𝐴−𝐵=𝐶或𝐴−𝐵=𝜋−𝐶(舍)
∴𝐴=𝐵+𝐶，∴𝐴=2.即△𝐴𝐵𝐶是直角三角形．
(2)在𝑅𝑡△𝐵𝐶𝐷中，𝐶𝐷=3，𝐵𝐷=5，𝐵𝐶=6，由余弦定理得𝑐𝑜𝑠𝐶=∴𝑠𝑖𝑛𝐶=
2√14
． 9
10
𝐶𝐷2+𝐵𝐶2−𝐵𝐷2
2𝐶𝐷×𝐵𝐶
𝜋
=9．
5
∴𝐴𝐶=𝐵𝐶×𝑐𝑜𝑠𝐶=
1
，∴𝐴𝐷=𝐴𝐶−𝐶𝐷=3，又𝐴𝐵=𝐵𝐶×𝑠𝑖𝑛𝐶=3
2√14
． 9
1
4√14
． 3
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷=2𝐴𝐵×𝐴𝐷=
解析：本题考查正余弦定理，属于中档题．
(1)利用正弦定理边化角，得到sin(𝐴−𝐵)=𝑠𝑖𝑛𝐶，即可求出A是直角；
(2)先在△𝐷𝐵𝐶中利用余弦定理求出cosC，再得到sinC，然后再求出AC，AB，则面积可求．
18.答案：解：(1)如图所示，分别取𝐴𝐵1，𝐴𝐴1的中点F，P，连接FP，DP．
则𝐹𝑃=1𝐴1𝐵1，𝐷𝐸=1𝐴1𝐵1，
22
∴𝐷𝐸=𝐹𝑃，∴四边形EDPF是平行四边形． ∴𝐷𝑃//𝐹𝐸.又𝐷𝑃⊄平面𝐵1𝐴𝐸，𝐹𝐸⊂平面𝐵1𝐴𝐸， ∴𝐷𝑃//平面𝐵1𝐴𝐸． 此时𝐴𝑃=2𝐴𝐴1=1．
1 // //
//
(2)建立空间直角坐标系，设𝐴𝐵=𝑡．
𝐴(0,0，0)，𝐵1(𝑡,0，2)，𝐸(2,2，0)，𝐴1(0,0，2)，
1𝑡
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵1𝐸=(−2𝑡,2，−2)，⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐸=(2,2，0)，⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵1𝐴1=(−𝑡,0，0)，
𝑡
⃗ =(𝑥,y，𝑧)， 设平面𝐴1𝐵1𝐸的法向量为𝑛则𝑛⃗ ⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵1𝐸=𝑛⃗ ⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵1𝐴1=0， ∴−2𝑡𝑥+2𝑦−2𝑧=0，−𝑡𝑥=0， ⃗ =(0,1，1)． 取𝑛
⃗⃗⃗ =(4,−𝑡,−2𝑡)， 同理可得平面𝐴𝐵1𝐸的法向量𝑚∴𝑐𝑜𝑠30°=
3𝑡√2⋅√16+5𝑡1
=2√3，解得：𝑡2
=4．
∴|𝐴𝐵|=4．
解析：本题考查了线面平行的判定以及利用空间向量求二面角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
(1)如图所示，分别取𝐴𝐵1，𝐴𝐴1的中点F，P，连接FP，𝐷𝑃.利用三角形中位线定理可得四边形EDPF是平行四边形．再利用线面平行的判定定理即可证明𝐷𝑃//平面𝐵1𝐴𝐸．
(2)建立空间直角坐标系，⃗ =(𝑥,y，𝑧)，设𝐴𝐵=𝑡.设平面𝐴1𝐵1𝐸的法向量为𝑛可得𝑛⃗ ⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵1𝐸=𝑛⃗ ⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵1𝐴1=0，⃗ .同理可得平面𝐴𝐵1𝐸的法向量𝑚⃗⃗⃗ ，再利用向量夹角公式即可得出． 得出𝑛
19.答案：解：(1)设每个人的血呈阴性反应的概率为q，则𝑞=1−𝑝；
所以k个人的混合后呈阴性的概率为𝑞𝑘，呈阳性反应的概率为1−𝑞𝑘； 依题意知X的可能取值为𝑘，1+𝑘； 所以X的分布列为； X P 1 𝑘11+ 𝑘1
1
𝑞𝑘 1−𝑞𝑘 (2)方案②中，结合(1)知每个人的平均化验次数为： 𝐸(𝑋)=𝑘⋅𝑞𝑘+(1+𝑘)⋅(1−𝑞𝑘)=𝑘−𝑞𝑘+1； 所以当𝑘=2时，𝐸(𝑋)=2−0.92+1=0.69， 此时1000人需要化验的总次数为690次；
1
1
1
1
当𝑘=3时，𝐸(𝑋)=3−0.93+1≈0.6043， 此时1000人需要化验的总次数为604次； 当𝑘=4时，𝐸(𝑋)=4−0.94+1=0.5939， 此时1000人需要化验的总次数为594次；
即𝑘=2时化验次数最多，𝑘=3时化验次数居中，𝑘=4时化验次数最少； 而采用方案①需要化验1000次； 所以在这三种分组情况下，相比方案①，
𝑘=4时化验次数最多可以平均减少1000−594=406(次)．
1
1
解析：本题考查了离散型随机变量的分布列和数学期望的计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
(1)设每个人的血呈阴性反应的概率为q，依题意知X的可能取值，计算分布列即可；
(2)方案②中计算每个人的平均化验次数𝐸(𝑋)，分别求出𝑘=2、3、4时𝐸(𝑋)的值，比较即可．
20.答案：解：(1)由题意，𝑏=1，
∵𝑎2=1−𝑒2=4， ∴𝑎=2， ∴椭圆C的方程为
𝑦24
𝑏2
1
+𝑥2=1．
(2)设l：𝑥=𝑚𝑦+𝑛，代入椭圆方程可得(4𝑚2+1)𝑦2+8𝑚𝑛𝑦+4𝑛2−4=0， 则△=16(4𝑚2−𝑛2+1)
设𝑀(𝑥1,𝑦1)，𝑁(𝑥2,𝑦2)，则𝑦1+𝑦2=−4𝑚2+1，𝑦1𝑦2=2，
4𝑚+1且𝑥1+𝑥2=𝑚(𝑦1+𝑦2)+2𝑛， 𝑥1·𝑥2=𝑚2𝑦1𝑦2+𝑚𝑛(𝑦1+𝑦2)+𝑛2 ∵𝐴𝑀⊥𝐴𝑁，
∴(𝑥1−1)(𝑥2−1)+𝑦1𝑦2=0，
∴(𝑚2+1)𝑦1𝑦2+𝑚(𝑛−1)(𝑦1+𝑦2)+(𝑛−1)2=0，
4𝑛2−48𝑚𝑛
∴(𝑚+1)⋅+𝑚(𝑛−1)(−)+(𝑛−1)2=0 224𝑚+14𝑚+12
8𝑚𝑛
4𝑛2−4
∴𝑛=−5或1(舍去)． MN的中点(4𝑚2+1,4𝑚2+1)
𝑛
4𝑚𝑛
3
∵𝐴𝑀=𝐴𝑁， ∴
4𝑚𝑛4𝑚2+1𝑛1−24𝑚+1
=−𝑚，
∵𝑛=−5， ∴𝑚=0或𝑚2=5， 此时△>0，
从而直线l的方程为𝑥=−5或𝑥=±√𝑦−．
55
3
53
1
3
解析：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
(1)利用椭圆C：2+
𝑎𝑦2
𝑥2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的离心率𝑒=
√3，且经过点𝐴(1,0)，求出2
a，b，即可求椭圆C
的标准方程；
(2)设直线l的方程为𝑥=𝑚𝑦+𝑛，代入椭圆方程，利用韦达定理，根据△𝐴𝑀𝑁是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求出m，n，即可求直线l的方程．
21.答案：解：(Ⅰ)𝑓′(𝑥)=
切线斜率𝑘=𝑓′(1)=1，
1−𝑙𝑛𝑥𝑥2，
所以l的方程为𝑦=𝑥−1． (Ⅱ)证明：原不等式等价于𝑒𝑥−2>
𝑙𝑛𝑥𝑥
，
𝑙𝑛𝑥𝑥
考虑证明：𝑥>0时，𝑒𝑥−2>𝑥−1且𝑥−1≥构造𝑔(𝑥)=𝑒𝑥−2−(𝑥−1)=𝑒𝑥−𝑥−1， 则𝑔′(𝑥)=𝑒𝑥−1，
当𝑥>0时，𝑔′(𝑥)>𝑔′(0)=0， 故𝑔(𝑥)在(0,+∞)上单调递增， 即𝑔(𝑥)>𝑔(0)=0， 则𝑒𝑥−2>𝑥−1，① 构造𝜑(𝑥)=𝑥−1−即𝜑′(𝑥)=
𝑥2−1+𝑙𝑛𝑥
𝑥2𝑙𝑛𝑥𝑥
．
，
，
当0<𝑥<1时，𝑥2−1<0，𝑙𝑛𝑥<0， 所以𝜑′(𝑥)<0， 故𝜑(𝑥)单调递减；
当𝑥>1时，𝑥2−1>0，𝑙𝑛𝑥>0， 所以𝜑′(𝑥)>0， 故𝜑(𝑥)单调递增． 所以𝜑(𝑥)≥𝜑(1)=0， 即𝑥−1≥
𝑙𝑛𝑥𝑥
.②
𝑙𝑛𝑥𝑥
综合①②，可知𝑥>0时，𝑒𝑥−2>，𝑥(𝑒𝑥−2)>𝑙𝑛𝑥．
解析：本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是较难题．
(Ⅰ)求出函数的导数，计算𝑓′(1)，求出切线方程即可； (Ⅱ)问题等价于𝑒𝑥−2>
𝑙𝑛𝑥𝑥
，构造函数，根据函数的单调性证明即可．
1
𝑥=𝑡+𝑦21212𝑡2
t𝑥−()=(𝑡+)−(𝑡−)=4， 消去参数得到22.答案：解：(1)由𝐶1：{12𝑡𝑡
𝑦=2(𝑡−𝑡)所以曲线𝐶1的直角坐标方程为：𝑥24
−16=1．
𝑦2
𝑥=𝜌cos𝜃
, 由曲线𝐶2：𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃−3𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃=2，根据{
𝑦=𝜌sin𝜃整理得直角坐标方程为：𝑦=3𝑥+2． (2)设𝑃(𝑡+𝑡,2(𝑡−𝑡))，
则P到直线𝐶2：𝑦=3𝑥+2的距离为|𝑃𝑄|=
5
|3(𝑡+)−2(𝑡−)+2|√12+325
1𝑡1𝑡11
=
|𝑡++2|√105𝑡，
当𝑡>0时，𝑡+𝑡+2≥2√5+2，当𝑡<0时，𝑡+𝑡+2≤−2√5+2， 所以当𝑡<0，且𝑡=−√5时，整理得|𝑃𝑄|≥此时𝑡=−√5,𝑃(−
6√58√5,−)． 55
5√2−√10， 5
解析：(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用点到直线的距离公式的应用和基本不等式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线与圆的位置关系的应用，基本不等式的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
23.答案：(1)解：因为𝑓(𝑥)=𝑘−|𝑥−4|，所以𝑓(𝑥+4)≥0等价于|𝑥|≤𝑘，
由|𝑥|≤𝑘有解，得𝑘≥0，且其解集为{𝑥|−𝑘≤𝑥≤𝑘}． 又𝑓(𝑥+4)≥0的解集为[−1,1]，故𝑘=1．
(2)证明：由(1)知𝑎+2𝑏+3𝑐=1，又a，b，c是正实数， 由均值不等式得：𝑎+2𝑏+3𝑐=(𝑎+2𝑏+3𝑐)(𝑎+2𝑏3𝑐) =3+
𝑎2𝑏
1
11
1
1
1
+
𝑎3𝑐
+
2𝑏𝑎
+
2𝑏𝑐
+
3𝑐𝑎
+
3𝑐2𝑏
≥3+2+2+2=9，
当且仅当𝑎=2𝑏=3𝑐时取等号， 所以9𝑎+9𝑏+9𝑐≥1．
1
2
3
解析： ↵
(1)利用𝑓(𝑥+4)≥0等价于|𝑥|≤𝑘，求出k的范围，通过不等式的解集求解k即可． (2)化简不等式，利用乘“1”法，通过基本不等式求解最值，推出结果．
本题考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，考查不等式的证明，转化思想以及计算能力．
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