2020-2021上海纪王学校高一数学上期中试卷(及答案)

一、选择题

21．若集合Ax|x1,xR，By|yx,xR，则AIB

A．x|1x1

B．x|x0

C．x|0x1

D．

2．若3a5b225，则A．

1 211（ ） ab1B．

4C．1 D．2

x,0x13．设fx,若fafa1,则

2x1,x1A．2

B．4

C．6

1f（ ） aD．8

2x，x04．设函数fx，则满足fx1f2x的x的取值范围是（ ）

x01，1 A．， B．0，0 C．1，0 D．，5．定义在R上的奇函数fx满足fx2fx，且当x0,1时，fx2xcosx，则下列结论正确的是（ ）

A．f20202019ff2018

3220192020f

23B．f2018fD．f20202019f

32C．f2018f20192020ff2018

236．函数fx的图象如图所示,则它的解析式可能是( )

x21A．fx

2xC．fxlnx

B．fx2xx1

xD．fxxe1

ex，x0，g(x)f(x)xa．若g（x）存在2个零点，则a的7．已知函数f(x)lnx，x0，取值范围是 A．[–1，0）

B．[0，+∞）

C．[–1，+∞）

D．[1，+∞）

2x38．函数yx在6,6的图像大致为 x22A． B．

C．

D．

39．已知函数f(x)的定义域为R.当x0时，f(x)x1；当1x1时，

f(x)f(x)；当xA．2

111时，f(x)f(x).则f(6)（ ） 222C．0

D．2

B．1

10．函数f(x)x(x1)在[m,n]上的最小值为（ ） A．

1，最大值为2，则nm的最大值为45 2B．

52 22C．

3 2D．2

x11．函数yx2的图象是（ ）

A． B．

C．

D．

12．已知函数yfx在区间,0内单调递增，且fxfx，若

1aflog13，bf21.2，cf，则a、b、c的大小关系为（ ）

22A．acb B．bca C．bac D．abc 二、填空题

x24x1,x013．已知函数f(x)x，则函数f(f(x))3的零点的个数是

x03,________.

14．函数fx12x的定义域是__________．

15．某在校大学生提前创业,想开一家服装专卖店,经过预算,店面装修费为10000元,每天需要房租水电等费用100元,受营销方法、经营信誉度等因素的影响,专卖店销售总收入P与店

12300xx,0x300xP(x)=面经营天数的关系是则总利润最大时店面经营天数是245000,x300___.

16．已知f(x)是定义在[－2,2]上的奇函数，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1，函数g(x)＝x2

－2x＋m.如果∀x1∈[－2,2]，∃x2∈[－2,2]，使得g(x2)＝f(x1)，则实数m的取值范围是______________.

17．已知a＞b＞1.若logab+logba=

5，ab=ba，则a= ，b= . 218．有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两

种都没买的有 人.

x21,x0fx19．函数的零点的个数是______． 2lnxx2x,x020．用mina,b,c表示a,b,c三个数中最小值，则函数f(x)min4x1,x4,x8的最大值是 ．

三、解答题

21．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x<0时，fx1(1)求f(2)的值；

(2)用定义法判断y＝f(x)在区间(－∞，0）上的单调性． (3)求x0时，f(x)的解析式

22．某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为12m2，房屋正面每平方米的造价为

1. x11200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元.如果墙高为3m，且不计房尾背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低造价是多少？

223．已知函数f(x) 是定义R的奇函数，当x0时，f(x)x2x.

（1）求函数f(x) 的解析式；

（2）画出函数f(x)的简图(不需要作图步骤)，并求其单调递增区间

2（3）当x1,1时，求关于m的不等式f(1m)f(1m)0 的解集．

24．已知函数gxax2ax1ba0在区间2,3上有最大值4和最小值1，设

2gx. x（1）求a,b的值； fx（2）若不等式f2k2xx0在区间1,1上恒成立，求实数k的取值范围.

25．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，m∈R，x∈R}． (1)若A∩B＝{x|0≤x≤3}，求实数m的值； (2)若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．

x126．已知函数fxlog2x1的定义域为集合A，函数g(x)1x0的值2域为集合B. （1）求AIB；

（2）若集合Cxax2a1，且CUBB，求实数a的取值范围.



【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】

求出集合B后可得AIB. 【详解】

因为集合Ax|x1,xR{x|1x1}，By|yx,xR{y|y0}则

2AIBx|0x1，选C

【点睛】

本题考查集合的交，注意集合意义的理解，如x|yfx,xD表示函数的定义域，而y|yfx,xD表示函数的值域，

x,y|yfx,xD表示函数的图像.

2．A

解析：A 【解析】 【分析】

由指数式与对数式的转化,结合换底公式和对数的运算,即可求解. 【详解】

ab由题意3225,5225

根据指数式与对数式的转化可得alog3225,blog5225 由换底公式可得alg2252lg15lg2252lg15,b lg3lg3lg5lg511lg3lg5 ab2lg152lg15由对数运算化简可得

lg3lg5

2lg15lg151 2lg152故选:A 【点睛】

本题考查了指数式与对数式的转化,对数的运算及换底公式的应用,属于中档题.

3．C

解析：C 【解析】

由x1时fx2x1是增函数可知,若a1,则fafa1,所以0a1,由

f(a)f(a+1)得a2(a11),解得a1,则41ff(4)2(41)6,故选C. a【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．

4．D

解析：D 【解析】

分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有

2x0fx1f2x成立，一定会有，从而求得结果.

2xx12x0详解：将函数fx的图像画出来，观察图像可知会有，解得x0，所以满

2xx10，故选D. 足fx1f2x的x的取值范围是，

点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.

5．C

解析：C 【解析】 【分析】

根据f（x）是奇函数，以及f（x+2）=f（-x）即可得出f（x+4）=f（x），即得出f（x）的周期为4，从而可得出f（2018）=f（0），f20191f，

2220207ff 312然后可根据f（x）在[0，1]上的解析式可判断f（x）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果. 【详解】

∵f（x）是奇函数；∴f（x+2）=f（-x）=-f（x）；∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x）； ∴f（x）的周期为4；∴f（2018）=f（2+4×504）=f（2）=f（0），

2019120207ff ff, ∵x∈[0，1]时，f（x）=2x-cosx单调递增；22312∴f(0)＜f【点睛】

本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.

1 ＜2720192020f ∴f2018ff,故选C. 12236．B

解析：B 【解析】 【分析】

根据定义域排除C，求出f1的值，可以排除D，考虑f100排除A. 【详解】

根据函数图象得定义域为R，所以C不合题意；

D选项，计算f1e1，不符合函数图象；

对于A选项， f10099992100与函数图象不一致；

B选项符合函数图象特征.

故选：B 【点睛】

此题考查根据函数图象选择合适的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法.

7．C

解析：C 【解析】

分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程f(x)xa0有两个解，将其转化为f(x)xa有两个解，即直线yxa与曲线yf(x)有两个交点，根据题中所给的

x函数解析式，画出函数f(x)的图像（将e(x0)去掉），再画出直线yx，并将其上

下移动，从图中可以发现，当a1时，满足yxa与曲线yf(x)有两个交点，从而求得结果.

x详解：画出函数f(x)的图像，ye在y轴右侧的去掉，

再画出直线yx，之后上下移动，

可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，

并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程f(x)xa有两个解， 也就是函数g(x)有两个零点， 此时满足a1，即a1，故选C.

点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.

8．B

解析：B 【解析】

【分析】

由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由f(4)的近似值即可得出结果． 【详解】

2x32(x)32x3设yf(x)x，则f(x)xxf(x)，所以f(x)是奇函xxx222222243数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又f(4)40,排除选项D；

224263f(6)67，排除选项A，故选B．

226【点睛】

本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．

9．D

解析：D 【解析】 试题分析：当函数,所以D．

考点：函数的周期性和奇偶性．

时,f(x)f(x),所以当,又函数

是奇函数,所以

1212时,函数是周期为的周期

,故选

10．B

解析：B 【解析】 【分析】

根据二次函数的图象和性质，求出最大值和最小值对应的x的取值，然后利用数形结合即可得到结论． 【详解】

当x≥0时，f（x）=x（|x|﹣1）=x2﹣x=（x﹣

1211）﹣， 244121）+， 24当x＜0时，f（x）=x（|x|﹣1）=﹣x2﹣x=﹣（x+作出函数f（x）的图象如图：

当x≥0时，由f（x）=x2﹣x=2，解得x=2． 当x=

111时，f（）=． 224当x＜0时，由f（x）=）=﹣x2﹣x=1． 444244432=44212即4x+4x﹣1=0，解得x=， 822482

∴此时x=

12， 2∵[m，n]上的最小值为∴n=2，

1，最大值为2， 4121m， 222125=， 222∴n﹣m的最大值为2﹣故选：B．

【点睛】

本题主要考查函数最值的应用，利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本数学思想．

11．A

解析：A 【解析】 【分析】

先根据奇偶性舍去C,D,再根据函数值确定选A. 【详解】

因为yx2为奇函数，所以舍去C,D; 因为x0时y0,所以舍去B，选A. 【点睛】

有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．

x12．B

解析：B 【解析】 【分析】

由偶函数的性质可得出函数yfx在区间0,上为减函数，由对数的性质可得出

log130，由偶函数的性质得出aflog3，比较出log3、1.2、1的大小关

22222系，再利用函数yfx在区间0,上的单调性可得出a、b、c的大小关系. 【详解】

Qfxfx，则函数yfx为偶函数，

Q函数yfx在区间,0内单调递增，在该函数在区间0,上为减函数，

Qlog13log110，由换底公式得log13log23，由函数的性质可得

222aflog23，

对数函数ylog2x在0,上为增函数，则log23log221， 指数函数y2为增函数，则021.22120，即02x1.211， 2021.2【点睛】

1log23，因此，bca. 2本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小关系，同时也考查了利用中间值法比较指数式和代数式的大小关系，涉及指数函数与对数函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

二、填空题

13．4【解析】【分析】根据分段函数的解析式当时令则解得当时做出函数的图像即可求解【详解】当时令则解得当时令得作出函数的图像由图像可知与有两个交点与有一个交点则的零点的个数为4故答案为：4【点睛】本题考查 解析：4 【解析】 【分析】

根据分段函数的解析式当x0时，令fx3，则x24x13，解得

xx22，当x0时，fx31，x1，做出函数fx，

y1,y22,y22的图像，即可求解.

【详解】

x24x1,x0Q f(x)x，

x03,当x0时，fxx24x1x255，

令fx3，则x24x13， 解得x22，

21220,4223,

当x0时，fx31，

x令fx3得x1，

作出函数fx，y1,y22,y22的图像，

由图像可知，fx与y1有两个交点，与y22有一个交点， 则f(f(x))3的零点的个数为4. 故答案为：4 【点睛】

本题考查了分段函数的零点个数，考查了数形结合的思想，属于基础题.

14．【解析】由得所以所以原函数定义域为故答案为 解析：,0

【解析】

由12x0，得2x1，所以x0，所以原函数定义域为,0，故答案为,0.

15．200【解析】【分析】根据题意列出总利润L(x)的分段函数然后在各个部分

算出最大值比较大小就能确定函数的最大值进而可求出总利润最大时对应的店面经营天数【详解】设总利润为L(x)则L(x)=则L(x)

解析：200 【解析】 【分析】

根据题意，列出总利润L(x)的分段函数，然后在各个部分算出最大值，比较大小，就能确定函数的最大值，进而可求出总利润最大时对应的店面经营天数. 【详解】 设总利润为L(x),

12x200x10000,0x300L(x)=则 2100x35000,x30012(x200)10000,0x300则L(x)=2

100x35000,x300当0≤x<300时,L(x)max=10000, 当x≥300时,L(x)max=5000,

所以总利润最大时店面经营天数是200. 【点睛】

本题主要考查分段函数的实际应用，准确的写出各个部分的函数关系式是解决本题的关键.

16．－5－2【解析】分析：求出函数的值域根据条件确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论详解：由题意得：在－22上f(x)的值域A为g(x)的值域B的子集易得A＝－33B＝m－18＋m从而解得－5≤m≤

解析：[－5,－2]. 【解析】

分析：求出函数fx的值域，根据条件，确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论. 详解：由题意得：在[－2,2]上f(x)的值域A为g(x)的值域B的子集. 易得A＝[－3,3]，B＝[m－1,8＋m]，从而

解得－5≤m≤－2.

点睛：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数最值之间的关系，综合性较强.

17．【解析】试题分析：设因为因此【考点】指数运算对数运算【易错点睛】在解方程时要注意若没注意到方程的根有两个由于增根导致错误 解析：42

【解析】

试题分析：设logbat,则t1，因为t21t5t2ab2， 2因此abbab2bbb2bb2b2,a4.

【考点】指数运算，对数运算． 【易错点睛】在解方程logablogba5时，要注意logba1，若没注意到2logba1，方程logablogba5的根有两个，由于增根导致错误 218．【解析】【分析】【详解】试题分析：两种都买的有人所以两种家电至少买一种有人所以两种都没买的有人或根据条件画出韦恩图：(人)考点：元素与集合的关系 解析：

【解析】 【分析】 【详解】

试题分析：两种都买的有人，所以两种家电至少买一种有买的有

人.或根据条件画出韦恩图：

(人).

人.所以两种都没

考点：元素与集合的关系.

19．4【解析】【分析】当时令即作和的图象判断交点个数即可当时令可解得零点从而得解【详解】方法一：当时令即作和的图象如图所示显然有两个交点当时令可得或综上函数的零点有4个方法二：当时令可得说明导函数有两个

解析：4 【解析】 【分析】

2当x0时，令fxlnxx2x0，即lnxx22x，作ylnx和yx2x的

2x210，可解得零点，从而得解. 图象，判断交点个数即可，当x0时，令fx 【详解】

方法一：当x0时，令fxlnxx2x0，即lnxx22x.

2作ylnx和yx2x的图象，如图所示，显然有两个交点，

2

x210，可得x1或3. 当x0时，令fx 综上函数的零点有4个.

12x22x1方法二：当x0时，fxlnxx2x，f'x2x2，令

xx2f'x0可得f'x2x22x10，

f'01，f'230，说明导函数有两个零点，

函数的f110，f30，可得x0时， 函数的零点由2个．

x0时，函数的图象如图：

可知函数的零点有4个． 故答案为4． 【点睛】

本题考查了对分段函数分类问题和利用构造函数，把方程问题转换为函数交点问题，函数

yfxgx零点的个数即等价于函数yfx和ygx图象交点的个数，通过

数形结合思想解决实际问题．

20．6【解析】试题分析：由分别解得则函数则可知当时函数取得最大值为6考点：分段函数的最值问题

解析：6 【解析】

试题分析：由4x1x4,4x1x8,x4x8分别解得x1,x1.4,x2，

x8,x2则函数fx{x4,1x2

4x1,x1则可知当x2时，函数f(x)min4x1,x4,x8取得最大值为6 考点：分段函数的最值问题

三、解答题

21．（1）【解析】 【分析】

(1)利用函数的奇偶性求解.

(2)函数单调性定义，通过化解判断函数值差的正负；

（3）函数为R奇函数，x〈0的解析式已知，利用奇函数图像关于原点对称，即可求出x〉0的解析式. 【详解】

（1）由函数f(x)为奇函数，知f(2)＝-f(－2)＝(2)在(－∞，0）上任取x1，x2，且x10，知f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)． 由定义可知，函数y＝f(x)在区间(－∞，0]上单调递减．·

1 x1由函数f(x)为奇函数知f(x)＝-f(－x)，

（3）当x>0时，－x<0，fx1fx1【点睛】

1x x1x1本题考查了函数奇偶性的应用和单调性的定义，利用奇偶性求函数值和解析式主要应用奇偶性定义和图像的对称性；利用定义法证明函数单调性关键是作差后式子的化解，因为需要判断结果的正负，所以通常需要将式子化成乘积的形式.

22．当底面的长宽分别为3m，4m时，可使房屋总造价最低，总造价是34600元 【解析】

设房屋地面的长为米，房屋总造价为

元.

x22x,x023．（1）f(x)2；（2）图象见解析，,1和 1,；（3）

x2x,x00,1.

【解析】 【分析】

（1）由函数的奇偶性可求得函数f(x)的解析式；

（2）利用二次函数图像可作法可得函数f(x)的图像及单调增区间；

11m12（3）利用函数在1,1为减函数且为奇函数，可得11m1，再求解即可.

(1m)(1m2)0【详解】

解：（1）由函数f(x)是定义R的奇函数，则f(0)0， 设x0，则x0，因为函数f(x)是定义R的奇函数， 所以f(x)f(x)(x)2(x)x2x，

22x22x,x0综上可得：f(x)2；

x2x,x0（2）函数f(x)的图像如图所示，由图可得函数f(x)单调递增区间为,1和

1,；

（3）由（2）可知，函数f(x)在1,1为减函数且为奇函数，

当x1,1时，关于m的不等式f(1m)f(1m)0，即f(1m)f(m1)，

2211m10m222则11m1，即0m2， (1m)(1m2)0(m2)(m1)0解得0m1，

故关于m的不等式的解集为0,1.

【点睛】

本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式及利用函数的性质求解不等式，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题. 24．（1）a=1,b=0;(2) ,0. 【解析】 【分析】

（1）依据题设条件建立方程组求解；（2）将不等式进行等价转化，然后分离参数，再换元利用二次函数求解. 【详解】

（1）gxax11ba，

23上是增函数， 因为a0，所以gx在区间2，故{g21g34，解得{a1． b0（2）由已知可得fxx化为1+（112，所以f2xkx0可化为2xx2k2x， x21211）2kt，令，则kt22t1，因x1,1，故xxx2221t,2， 22记htt2t1，因为t,2，故htmin0，

21所以k的取值范围是,0． 【点睛】

(1)本题主要考查二次函数的图像和性质，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力，（2）本题的关键有两点，其一是分离参数得到

1+（12112t,2. ）2k，其二是换元得到kt2t1，xx22225．（1）2；（2）{m|m3或m5} 【解析】

试题分析：（1）根据一元二次不等式的解法，对A，B集合中的不等式进行因式分解，从而解出集合A，B，再根据A∩B=[0，3]，求出实数m的值；

（2）由（1）解出的集合A，B，因为A⊆CRB，根据子集的定义和补集的定义，列出等式进行求解．

解：由已知得：A={x|﹣1≤x≤3}， B={x|m﹣2≤x≤m+2}． （1）∵A∩B=[0，3] ∴∴∴m=2；

（2）CRB={x|x＜m﹣2，或x＞m+2} ∵A⊆CRB，

∴m﹣2＞3，或m+2＜﹣1， ∴m＞5，或m＜﹣3．

考点：交、并、补集的混合运算．

，

3,226．（1）；（2）. 2【解析】 【分析】

（1）求出集合A、B，然后利用交集的定义可求出AIB；

（2）由CUBB，可得出CB，然后分C和C两种情况讨论，结合CB得出关于实数a的不等式组，解出即可. 【详解】

（1）要使函数fxlog2x1有意义，则log2x10，得x11，解得x2，

A2,. 骣1对于函数g(x)=琪琪2桫x1，该函数为减函数，Q1x0，则12，即

2x1gx2，B1,2，因此，AB2；

（2）QCUBB，CB.

当2a1a时，即当a1时，C，满足条件； 当2a1a时，即a1时，要使CB，则a13，解得1a.

22a12综上所述，实数a的取值范围为,.

23【点睛】

本题考查交集的运算，同时也考查了利用集合的包含关系求参数的取值范围，涉及了对数函数的定义域以及指数函数的值域问题，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.