高等数学试卷及答案

一、填空(每小题3分,共15分) 1. 设zlnxy，则x2. 已知

zz1y . xy2x2y2z2R2fx2y2z2dv(r)dr，则(r)4 r 0 R2f(r2) .

3. 已知

Lycosxdxasinxdy在整个xOy面内与路径无关,则a1 .

0, x0,

1, 0x4. 设fx是以2为周期的函数,它在区间(,]上的表达式为fx则fx的傅里叶系数中b32 . 35. 微分方程x3y32y0的阶数是 2 . 二、选择(每小题3分,共15分)

xy, (x,y)(0,0)221．二元函数f(x,y)xy在点（0,0）处(C ). 0, (x,y)(0,0)(A) 连续，偏导存在； (B) 连续，偏导不存在； (C) 不连续，偏导存在； (D) 不连续，偏导不存在. 2. 函数ulnx2y2z2在点M(1,2,-2)处正确的是（ B ）.

A graduM222; (B) dudx2dy2dz; (C) divuM; (D) 以上三项都不对. 9993. 设D1是以原点为中心1为边长的正方形,D2是D1的内切圆,D3是D1的外接圆,记

I1D1exdxdy;I22D2exdxdy;I32D3exdxdy.则I1,I2,I3的大小顺序为(B ).

2A I1 I2 I3 B I2 I1 I3

C I3 I2 I1 D I3 I1 I2

4. 级数

un1n在满足条件( B )时,一定是收敛.

A limun0; B nn11收敛; D u2n收敛. un收敛; C un1nn15. 方程yycosx的一个特解的形式为y*( D ).

A Axcosx; B AxcosxBsinx;

C AcosxBxsinx; D AxcosxBxsinx.

三、计算下列各题(每小题6分,共12分)

2z11． 设zf(xy)y(xy),f,具有二阶连续导数，求.

xyx解

yz12f(xy)f(xy)y(xy) 2分 xxx2z11f(xy)f(xy)yf(xy)(xy)y(xy) 5分 xyxxyf(xy)y(xy)(xy) 6分

2. 在曲面zxy上求一点，使这点的法线垂直于平面x3yz90，并写出这条法线 的方程.

解 设所求点为(x0,y0,z0)，则过曲面zxy上点(x0,y0,z0)的法线的方向向量为

x01，得x03,y01,z03. 3分 131过曲面上点(x0,y0,z0)的法线方程为

y0,x0,1.由已知y0

x3y1z3 6分 131四、(6分)求由旋转抛物面z6x2y2，平面y0,z0,x1及yx所围成的立体对z

轴的转动惯量（设体密度ρ=1）.

解 设是由旋转抛物面z6x2y2，平面y0,z0,x1及yx所围成的区域.

Izx2ydxdydz dx 02 0 1 xdy 6x2y2 0 1x2y2dz 3分

dx 06x 1 x 0 122y2x2y2dy285763xdx 6分 8x 01545五、计算下列积分(每小题6分,共24分) 1. dxx2eydy.

 0 x 1解 dxx2eydy dyx2eydx 3分

 0 x 0 0 1 12 1 y213 1 0 y3eydy216 1 0 y2eydy2 4分

2ty216 1 0 tetdt1tteet6 1 01 6分 62.

 Lyds,其中L是抛物线 y24x上介于点O0,0与点B1,2之间的一段弧. yds解

 L 1 014x1dx 3分

x2 1 0241xdx(1x)33 1 04221 6分 33. ydxxdy其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，L的方向为逆22 Lxy时针方向. 解 令Pyx2y2,Qxx2y2.则当x2y20时，有

Py2x2Q 1分 yx2y2x记L所围成的区域为D.当(0,0)D时，ydxxdy0 2分

Lx2y2当(0,0)D时，记L1:x2y2r2,其中L1包含在L内，并取其顺时针方向.

ydxxdy Lx2y2ydxxdy LL1x2y2ydxxdy 4分

L1x2y20 2 0r2cos2r2sin2r2d2 6分

4.

xdydzydzdxzdxdy2222,其中是球面xyza的外侧. 3x2y2z2解

xdydzydzdxzdxdyx2yz223xdydzydzdxzdxdy 3分 3a1a33dxdydz4 6分

六、(7分) 讨论级数

an11nn是绝对收敛、条件收敛还是发散?

1解 当a1时，由于liman1(n1)1annn11，所以级数aan11nn绝对收敛. 3分

当a1时，级数

n11发散. 4分 n(1)n条件收敛. 5分 n当a1时，级数

n11当0a1时，由于liman1(n1)1annn1111，所以lim级数发散. 0nnannaann1 7分

七、(7分) 将函数ln2x展开成x的幂级数,并求其收敛区间. 解 ln2x1111x(1)n 3分

n2x21x22n02 xnln(2x)ln21n2n0x(1)nn1 0 (1)2dxn1x n02(n1)ln(2x)ln2(1)nn1n02n1(n1)x 收敛区间为：(2,2]. 八、(6分)求微分方程2xydxx2y2dy的通解.

2y解 dyxdx,令uy，则原方程化为xduuu31y2xdx1u2 3x1u2du12uuu3dxx，

u1u2dudxx 5lnuln1u2lnxlnC，通解为：

xyx2y2Cx 6九、(8分)求微分方程yy4xex的通解.

解 特征方程及特征根分别是：r210,r11,r21 2对应齐次方程的通解是：YC1exC2ex 4设方程的特解为：y*x(axb)ex 6将y*x(axb)代入原方程得：a1,b1 7所以原方程的通解为：yC1exC2exx(x1)ex 8 5分 6分

7分 分 分 分

分

分 分 分 分