重庆大学高等数学习题3-2

1.用洛必达法则求下列极限：

arctanxee22（1）lim （2）lim

x01cosxx1xxxexcosx11) （3）lim （4）limcotx(x0x0xsinxsinxxsinxx2(1x)e() （5）lim （6）limx0x0xx11sinx) （8）limx（7）lim(

x0sinxx0xax（9）lim(1) （10）limn2n其中n为正整数

nxx0解析：考查洛必达法则的应用，洛必达法则主要应用于，型极限的求解，当然对于一

0000等等，在求解的过程中，同样些能够化简为，型极限的同样适用，例如0100可以利用前面已经学到的极限的求解方法，例如等价无穷小、两个重要极限 解：（1）本题为

1x10型极限的求解，利用洛必达法则求解得 0exex2exexexexlimlimlim2 x01cosxx0sinxx0cosx0型极限的求解，利用洛必达法则求解得 01arctanx2x21x2limlimlim1

xxx1x2112xx0（3）本题为型极限的求解，利用洛必达法则求解得

0（2）本题为

excosxexsinx1limlimlim x0x0sinxxcosxx00xsinx（4）先化简，得

limcotx(x011cosxxsinxxsinxxsinx)limlimlim

x0sinxx0xsin2xx0sinxxxsinxx30型极限的求解，利用洛必达法则求解得 012xxsinx1cosx21 limlimlimx0x0x03x2x33x26（5）化简lim

(1x)eelimx0x0x1xln(1x)xex

0型极限的求解，利用洛必达法则求解得 0ln(1x)xln(1x)xxln(1x)ln(1x)limeex(1x)ln(1x)limlime1x2ex0xlimx0x0xxx2(1x) x0

x(1x)ln(1x)1ln(1x)1ln(1x)eelimelimelimx0x0x0x22x2x2（6）1型极限的求解，首先利用e，然后利用洛必达法则求解得

lnx0lim(sinxx2)limex0xsinxxx31sinxlnxx2esinxlnxlim2xx0esinxln11xlim2xx0esinx1limx2xx0

ex0limex0limcosx13x2e1x2lim22x03xe16（7）型极限的求解，先化简再利用洛必达法则求解得

12x11xsinxxsinx1cosx2lim()limlimlimlim0 2x0sinxx0x0x0x0xxsinxx2x2x（8）0型极限的求解，先利用e化简，再利用洛必达法则求解得

lnx1sinx1xlimcosxx00lnx0sinxlnxsinxlimxlimeex0x0limesin2xesin2xx0xcosxlimex2x0xlim1

（9）1型极限的求解，先利用重要极限二化简

xxaaaxaaaalim(1)lim(1)lim(1)ea xxxxxx当然也可以先化简，再利用洛必达法则求解

axaxlim(1)xlim()limex[ln(xa)lnx]exxxxxe11xaxlim1x2xln(xa)lnx1xxlime11xaxlim1x2x

eax2xx(xa)limex2xalim2axea（10）型极限的求解，先化简，利用洛必达法则求解

0limn2nlim(2n)limennn1nln2nnlimen12n1

x2bxc5，求b，c的值 2.已知limx1sinx解析：考查洛必达法则的应用，已知limsinx0，要使极限存在，则lim(xbxc)0

x1x12同时可以利用洛必达法则求解

解：根据上述分析得1bc0

x2bxc2xb2blimlim x1x1cosxsinx2b5，解得b52 则c51

则

B组

1.求下列极限

xe2xxex2e2x2ex2lim(arctanx)x （1）lim（2）xx0x(e1)(1cosx)x)（3）lim(cotx01lnxax1bx1cx11)x （4）lim(x0abcxxx（5）lim

x1lnxx1111xxxaaLa2n（6）lim1，其中a1,a2,L,an0

xnnx解析：考查极限的求解，求解极限的方法包括洛必达法则、等价无穷小、两个重要极限还可

以利用换元求解，下面结合实例说明 解：（1）

0型极限的求解，先化简再利用洛必达法则求解0xe2xxex2e2x2ex(x2)e2x(x2)ex(2x3)e2x(x3)exlimlimlimx0x0x01213(ex1)(1cosx)xxx22 (4x4)e2x(x4)ex(8x4)e2x(x5)ex1limlimx0x03x33（2）1型极限的求解，先化简为

0型极限，再利用洛必达法则求解02lnarctanx22xxlim(arctanx)xlime22xlnarctanxxlimxe1xlim2arctanx1x1x21e

e1x2xarctanx1x2lime2（3）0型极限的求解，先化简为

0型极限，再利用洛必达法则求解0limxsinxx0lim(cotx)1lnxlimex0lncotxlnxecscxcotxcotxlim1x0xex0e1

（4）1型极限的求解，先化简为

0型极限，再利用洛必达法则求解 0lnax1bx1cx1abcxlim(x0ax1bcabcx1x11x)limex0ex0alimabcx1bx1cx1(ax1lnabx1lnbcx1lnc)abcealnablnbclncabc(abc)1abcabc（5）

0型极限的求解，直接利用洛必达法则求解 0xxlnxxlnxlimxxexelimlimx1lnxx1x1lnxx1x11exlnx[(lnx1)2](lnx1)1x2 limx1111xx2（6）1型极限的求解，先化简为

0型极限，再利用洛必达法则求解 0aa2Lanln1n1nx1x1x1x111xxxaaLa2nlim1limexxn111lima1xlna1a2xlna2Lanxlnanxnxn111axaxLax2n1xlim111axlna1axlna1Laxlna112222nn21xxxn1enx2ea1a2Lan1x(1x),x02.评论函数f(x)在点x0处的连续性 e0,x0解析：考查函数的连续性，只需证明f(0)limf(x)

x0解：已知f(0)0

(1x)1xlim0limf(x)limex0x0ee则函数在点x0处不连续性

1xln(1x)x1