2015-2016学年湖北省黄冈市五校联考八年级（下）期中数学试卷
一．单项选择题．
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A．
B．
C．
D．
2．下列式子没有意义的是（ ） A．
B．
C．
D．
3．下列计算正确的有（ ） A．
+
=
B．2
﹣
=2 C．
×
=
D．
=2
4．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（ ） ①a=3，b=4，c=5； ②a=6，∠A=45°； ③a=2，b=2，c=2
；
④∠A=38°，∠B=52°．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ） A．AB=BC，CD=DA B．AB∥CD，AD=BC C．AB∥CD，∠A=∠C
D．∠A=∠B，∠C=∠D
6．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．12 B．24 C．12 D．16
7．EF⊥AB， 如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，垂足为F，则EF的长为（ ）
A．1
B． C．4﹣2 D．3﹣4
二．填空题． 8．计算：
= ．
9．平行四边形ABCD中，∠A=2∠B，则∠C= °． 10．若
在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
11．如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD，请你添加一个适当的条件 ，使ABCD成为菱形（只需添加一个即可）
12．若+|x+y﹣2|=0，则xy= ．
13．三个正方形的面积如图所示，则字母B所代表的正方形的面积是 ．
14．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为 ．
三．解答题．（本大题共10小题，共78分） 15．计算： （1）（2）16．已知：a=
，求
﹣
．
的值．
17．若与是同类最简二次根式，则求的值．
18．a，b，c为三角形ABC的三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判别这个三角形的形状．
19．B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，CB=10km，如图，铁路上A、已知DA=15km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？
20．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE=CF，DF∥BE． 求证：四边形ABCD为平行四边形．
21．已知：如图，平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，求证：四边形AFCE是菱形．
22．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．
（1）求证：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．
23．如图，在平行四边形ABCD中，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，E在AD上，BE=12cm，CE=5cm，求平行四边形ABCD的周长．
24．如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16．动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位长的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t（秒）． （1）设△DPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式； （2）当t为何值时，四边形PCDQ是平行四边形？ （3）分别求出当t为何值时，①PD=PQ，②DQ=PQ．
2015-2016学年湖北省黄冈市五校联考八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．单项选择题．
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】最简二次根式． 【专题】计算题．
【分析】判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察． 【解答】解：A、B、C、D、
=3，故A错误；
是最简二次根式，故B正确； =2=
，不是最简二次根式，故C错误； ，不是最简二次根式，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意： （1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2．下列式子没有意义的是（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，可得答案． 【解答】解：A、B、C、D、
没有意义，故A符合题意；
有意义，故B不符合题意； 有意义，故C不符合题意；
有意义，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数是解题关键．
3．下列计算正确的有（ ） A．
+
=
B．2
﹣
=2 C．
×
=
D．
=2
【考点】二次根式的混合运算． 【专题】计算题．
【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断． 【解答】解：A、B、原式=2C、原式=D、原式=故选C．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
4．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（ ） ①a=3，b=4，c=5； ②a=6，∠A=45°； ③a=2，b=2，c=2
； 与
不能合并，所以A选项错误；
，所以B选项错误； =
，所以C选项正确；
，所以D选项错误．
④∠A=38°，∠B=52°．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】根据勾股定理的逆定理以及直角三角形的定义，验证四组条件中数据是否满足“较小两边平方的和等于最大边的平方”或“有一个角是直角”，由此即可得出结论． 【解答】解：①a=3，b=4，c=5， ∵32+42=25=52，
∴满足①的三角形为直角三角形；
②a=6，∠A=45°，
只此两个条件不能断定三角形为直角三角形； ③a=2，b=2，c=2∵22+22=8=
， ，
∴满足③的三角形为直角三角形； ④∵∠A=38°，∠B=52°， ∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=90°， ∴满足④的三角形为直角三角形．
综上可知：满足①③④的三角形均为直角三角形． 故选C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理以及直角三角形的定义，解题的关键是根据勾股定理的逆定理和直角三角形的定义验证四组条件．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，套入数据验证“较小两边平方的和是否等于最大边的平方（或寻找三角形中是否有一个角为直角）”是关键．
5．在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ） A．AB=BC，CD=DA B．AB∥CD，AD=BC C．AB∥CD，∠A=∠C 【考点】平行四边形的判定．
【分析】根据平行四边形的判定进行判断即可得出结论．
【解答】解：如图所示，根据平行四边形的判定，A、B、D条件均不能判定为平行四边形， C选项中，由于AB∥CD，∠A=∠C，所以∠B=∠D， 所以只有C能判定． 故选C．
D．∠A=∠B，∠C=∠D
【点评】平行四边形的判定方法共有五种，在四边形中如果有： 1、四边形的两组对边分别平行； 2、一组对边平行且相等； 3、两组对边分别相等； 4、对角线互相平分；
5、两组对角分别相等．则四边形是平行四边形．
6．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．12 B．24 C．12 D．16
【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）． 【专题】压轴题．
【分析】解：在矩形ABCD中根据AD∥BC得出∠DEF=∠EFB=60°，由于把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处，
所以∠EFB=∠DEF=60°，∠B=∠A′B′F=90°，∠A=∠A′=90°，AE=A′E=2，AB=A′B′，
在△EFB′中可知∠DEF=∠EFB=∠EB′F=60°故△EFB′是等边三角形，由此可得出∠A′B′E=90°﹣60°=30°，根据直角三角形的性质得出A′B′=AB=2
，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：在矩形ABCD中， ∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB=60°，
∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处，
∴∠DEF=∠EFB=60°，∠B=∠A′B′F=90°，∠A=∠A′=90°，AE=A′E=2， AB=A′B′， 在△EFB′中，
∵∠DEF=∠EFB=∠EB′F=60° ∴△EFB′是等边三角形， Rt△A′EB′中，
∵∠A′B′E=90°﹣60°=30°， ∴B′E=2A′E，而A′E=2， ∴B′E=4， ∴A′B′=2
，即AB=2
，
∵AE=2，DE=6， ∴AD=AE+DE=2+6=8，
∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2故选D．
×8=16．
【点评】本题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等的性质，解直角三角形，作辅助线构造直角三角形并熟记性质是解题的关键．
7．EF⊥AB， 如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，垂足为F，则EF的长为（ ）
A．1 B． C．4﹣2 D．3﹣4
【考点】正方形的性质． 【专题】压轴题．
【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD=∠ADB=45°，再求出∠DAE的度数，根据三角形的内角和定理求∠AED，从而得到∠DAE=∠AED，再根据等角对等边的性质得到AD=DE，然后求出正方形的对角线BD，再求出BE，最后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的【解答】解：在正方形ABCD中，∠ABD=∠ADB=45°， ∵∠BAE=22.5°，
∴∠DAE=90°﹣∠BAE=90°﹣22.5°=67.5°， 在△ADE中，∠AED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°， ∴∠DAE=∠AED， ∴AD=DE=4， ∵正方形的边长为4， ∴BD=4
，
﹣4，
倍计算即可得解．
∴BE=BD﹣DE=4
∵EF⊥AB，∠ABD=45°， ∴△BEF是等腰直角三角形， ∴EF=
BE=
×（4
﹣4）=4﹣2
．
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等角对等边的性质，正方形的对角线与边长的关系，等腰直角三角形的判定与性质，根据角的度数的相等求出相等的角，再求出DE=AD是解题的关键，也是本题的难点．
二．填空题． 8．计算：
=
．
【考点】二次根式的加减法．
【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案． 【解答】解：=3=2
﹣．
．
故答案为：2
【点评】本题考查二次根式的减法运算，难度不大，注意先将二次根式化为最简是关键．
9．平行四边形ABCD中，∠A=2∠B，则∠C= 120 °． 【考点】平行四边形的性质．
【分析】由平行四边形的性质得出∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B=180°，由已知条件求出∠B=60°，即可得出结果．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B=180°， 又∵∠A=2∠B， ∴2∠B+∠B=180°， 解得：∠B=60°，
∴∠C=∠A=180°﹣60°=120°； 故答案为：120．
【点评】本题考查了平行四边形的性质；熟记平行四边形的对角相等，邻角互补是解决问题的关键． 10．若
在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≤ ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围． 【解答】解：根据题意得：1﹣3x≥0，
解得：x≤． 故答案是：x≤．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
11．如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD，请你添加一个适当的条件 OA=OC ，使ABCD成为菱形（只需添加一个即可）
【考点】菱形的判定． 【专题】开放型．
【分析】可以添加条件OA=OC，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形可判定出结论． 【解答】解：OA=OC， ∵OB=OD，OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形， 故答案为：OA=OC．
【点评】此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定定理． 12．若
+|x+y﹣2|=0，则xy=
．
【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．
【分析】根据非负数的性质列方程组求出x、y的值，然后相乘计算即可得解． 【解答】解：∵
+|x+y﹣2|=0，
∴，
解得，
所以，xy=×=故答案为：
．
．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
13．三个正方形的面积如图所示，则字母B所代表的正方形的面积是 144 ．
【考点】勾股定理．
【分析】在本题中，外围正方形的面积就是斜边和一直角边的平方，实际上是求另一直角边的平方，用勾股定理即可解答．
【解答】解：如图，根据勾股定理我们可以得出： a2+b2=c2 a2=25，c2=169 b2=169﹣25=144 因此B的面积是144． 故答案为：144．
【点评】本题主要考查了正方形的面积公式和勾股定理的应用．只要搞清楚直角三角形的斜边和直角边本题就容易多了．
14．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为
或3 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）． 【专题】压轴题．
【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况： ①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能B′、C共线，AB=AB′=3，得到∠EB′C=90°，所以点A、即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4﹣x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x． ②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形． 【解答】解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示． 连结AC，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4， ∴AC=
=5，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处， ∴∠AB′E=∠B=90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处， ∴EB=EB′，AB=AB′=3， ∴CB′=5﹣3=2，
设BE=x，则EB′=x，CE=4﹣x，
在Rt△CEB′中， ∵EB′2+CB′2=CE2，
∴x2+22=（4﹣x）2，解得x=， ∴BE=；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示． 此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=3． 综上所述，BE的长为或3． 故答案为：或3．
【点评】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．
三．解答题．（本大题共10小题，共78分） 15．计算： （1）（2）
【考点】二次根式的混合运算． 【专题】计算题．
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可． 【解答】解：（1）原式=4=14
；
+
﹣（2﹣
）
﹣2
+12
．
（2）原式==4=
+3+3
﹣2+
﹣2．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
16．已知：a=，求﹣的值．
【考点】二次根式的化简求值． 【专题】计算题．
【分析】先根据完全平方公式和二次根式的性质得到原式=|a+|+|a﹣|，再化简得到a=根据a的范围去绝对值后合并，再把a的值代入计算即可． 【解答】解：原式==|a+|+|a﹣|， ∵a=
﹣
，
+
﹣
，则0＜a＜1，然后
∴0＜a＜1， ∴原式=a++﹣a = =2（=2
++2
） ．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 17．若
与
是同类最简二次根式，则求
的值．
【考点】同类二次根式；最简二次根式．
【分析】由二次根式的根指数为2可知2n+1=2，然后依据同类二次根式的定义可知3m﹣2n=3，然后求得m、n的值，最后再求mn得算术平方根即可． 【解答】解：由题意可知解得m=，n=， 即
=
=
．
，
【点评】本题主要考查的是同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
18．a，b，c为三角形ABC的三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判别这个三角形的形状． 【考点】勾股定理的逆定理；非负数的性质：偶次方；完全平方公式．
【专题】计算题．
【分析】现对已知的式子变形，出现三个非负数的平方和等于0的形式，求出a、b、c，再验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【解答】解：由a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，
得：（a2﹣10a+25）+（b2﹣24b+144）+（c2﹣26c+169）=0， 即：（a﹣5）2+（b﹣12）2+（c﹣13）2=0，
由非负数的性质可得：，
解得，
∵52+122=169=132，即a2+b2=c2， ∴∠C=90°，
即三角形ABC为直角三角形．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用、完全平方公式、非负数的性质．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
19．B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，CB=10km，如图，铁路上A、已知DA=15km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？
【考点】勾股定理的应用． 【专题】应用题．
【分析】关键描述语：产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，在Rt△DAE和Rt△CBE中，设出AE的长，可将DE和CE的长表示出来，列出等式进行求解即可． 【解答】解：设AE=xkm，
∵C、D两村到E站的距离相等，∴DE=CE，即DE2=CE2， 由勾股定理，得152+x2=102+（25﹣x）2，x=10． 故：E点应建在距A站10千米处．
【点评】本题主要是运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，两边相等求解即可．
20．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE=CF，DF∥BE． 求证：四边形ABCD为平行四边形．
【考点】平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题．
【分析】首先证明△AEB≌△CFD可得AB=CD，再由条件AB∥CD可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ABCD为平行四边形． 【解答】证明：∵AB∥CD， ∴∠DCA=∠BAC， ∵DF∥BE， ∴∠DFA=∠BEC， ∴∠AEB=∠DFC， 在△AEB和△CFD中∴△AEB≌△CFD（ASA）， ∴AB=CD， ∵AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
21．已知：如图，平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，求证：四边形AFCE是菱形．
，
【考点】菱形的判定；平行四边形的性质．
【专题】证明题．
【分析】由平行四边形的性质得出∠EAO=∠FCO，由线段垂直平分线的性质得出OA=OC，AE=CE，由ASA证明△AOE≌△COF，得出对应边相等OE=OF，得出四边形AFCE是平行四边形，即可得出结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠EAO=∠FCO， ∵EF是AC的垂直平分线， ∴OA=OC，AE=CE， 在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴OE=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形， 又∵AE=CE，
∴四边形AFCE是菱形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定方法、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形和线段垂直平分线的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
22．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．
（1）求证：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．
，
【考点】正方形的判定；全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题．
【分析】（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性质即可得到：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，由（1）中的条件可得四边形MPND是矩形，再根据两边相等的四边形是正方形即可证明四边形MPND是正方形．
【解答】证明：（1）∵对角线BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， 在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SAS）， ∴∠ADB=∠CDB；
（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD， ∴∠PMD=∠PND=90°， ∵∠ADC=90°，
∴四边形MPND是矩形， ∵∠ADB=∠CDB， ∴∠ADB=45° ∴PM=MD，
∴四边形MPND是正方形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、矩形的判定和性质以及正方形的判定，解题的关键是熟记各种几何图形的性质和判定．
23．如图，在平行四边形ABCD中，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，E在AD上，BE=12cm，CE=5cm，求平行四边形ABCD的周长．
【考点】平行四边形的性质；勾股定理．
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质得到等腰三角形ABE和等腰三角形CDE和直角三角形BCE．根据直角三角形的勾股定理得到BC=13．根据等腰三角形的性质得到AB．CD，从而求得该平行四边形的周长． 【解答】解：在平行四边形ABCD中， ∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠ABE=∠EBC，∠BCE=∠ECD．， ∴∠EBC+∠BCE=90°， ∴∠BEC=90°，
∴BC2=BE2+CE2=122+52=132 ∴BC=13cm， ∵AD∥BC， ∴∠AEB=∠EBC， ∴∠AEB=∠ABE， ∴AB=AE， 同理CD=ED， ∵AB=CD，
∴AB=AE=CD=ED=BC=6.5cm，
∴平行四边形ABCD的周长=2（AB+BC）=2（6.5+13）=39cm
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
24．如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16．动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位长的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t（秒）． （1）设△DPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式； （2）当t为何值时，四边形PCDQ是平行四边形？
（3）分别求出当t为何值时，①PD=PQ，②DQ=PQ．
【考点】直角梯形；勾股定理；平行四边形的判定与性质． 【专题】动点型．
【分析】（1）S△QDP=DQ•AB，由题意知：AQ=t，DQ=AD﹣AQ=16﹣t，将DQ和AB的长代入，可求出S与t之间的函数关系式；
（2）当四边形PCDQ为平行四边形时，PC=DQ，即16﹣t=21﹣2t，可将t求出；
（3）当PD=PQ时，可得：AD=3t，从而可将t求出；当DQ=PQ时，根据DQ2=PQ2即：t2+122=（16﹣t）2可将t求出．
【解答】（1）解：直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BC=21，AB=12，AD=16， 依题意AQ=t，BP=2t，则DQ=16﹣t，PC=21﹣2t， 过点P作PE⊥AD于E，
则四边形ABPE是矩形，PE=AB=12， ∴S△DPQ=DQ•AB=（16﹣t）×12=﹣6t+96．
（2）当四边形PCDQ是平行四边形时，PC=DQ， ∴21﹣2t=16﹣t解得：t=5，
∴当t=5时，四边形PCDQ是平行四边形．
（3）∵AE=BP=2t，PE=AB=12， ①当PD=PQ时，QE=ED=QD， ∵DE=16﹣2t，
∴AE=BP=AQ+QE，即2t=t+16﹣2t， 解得：t=∴当t=
， 时，PD=PQ
②当DQ=PQ时，DQ2=PQ2
∴t2+122=（16﹣t）2解得：t= ∴当t=时，DQ=PQ
【点评】本题主要考查梯形、平行四边形的特殊性质，在解题过程中要注意数形结合．
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