带电粒子在磁场中运动之磁场最小范围问题剖析

近年来在考题中多次出现求磁场的最小范围问题，这类题对学生的平面几何知识与物理知识的综合运用能力要求较高。其难点在于带电粒子的运动轨迹不是完整的圆，其进入边界未知的磁场后一般只运动一段圆弧后就飞出磁场边界，运动过程中的临界点（如运动形式的转折点、轨迹的切点、磁场的边界点等）难以确定。下面我们以实例对此类问题进行分析。 一、磁场范围为圆形 例1 一质量为

、带电量为的粒子以速度

从O点沿

轴正方向射入磁感强度为的一圆形匀强磁场区域，磁场方向

垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从处穿过轴，速度方向与轴正向夹角为30°，如图1所示（粒子重力忽略不计）。 试求：（1）圆形磁场区的最小面积；

（2）粒子从O点进入磁场区到达点所经历的时间； （3）点的坐标。

解析：（1）由题可知，粒子不可能直接由Ｏ点经半个圆周偏转到点，其必在圆周运动不到半圈时离开磁场区域后沿直线

运动到点。可知，其离开磁场时的临界点与Ｏ点都在圆周上，到圆心的距离必相等。如图2，过点逆着速度

的方向作虚线，与

轴相交，由于粒子在磁场中偏转的半径一定，且

点即为圆周运动的圆心，

圆心位于轴上，距O点距离和到虚线上点垂直距离相等的圆的半径 由

。 ，得

。弦长

为：

，

要使圆形磁场区域面积最小，半径应为的一半，即：，

面积

0

（2）粒子运动的圆心角为120，时间。

（3）距离 ，故点的坐标为（，0）。

点评：此题关键是要找到圆心和粒子射入、射出磁场边界的临界点，注意圆心必在两临界点速度垂线的交点上且圆心到这两临界点的距离相等；还要明确所求最小圆形磁场的直径等于粒子运动轨迹的弦长。

练习：如图所示，在倾角为30°的斜面OA的左侧有一竖直档板，其上有一小孔P，OP=0.5m.

现有一质量m=4×10

－ 20

kg，带电量q=+2×10

－14

C的粒子，从小孔以速度v0=3×10m/s水平

4

射向磁感应强度B=0.2T、方向垂直纸面向外的一圆形磁场区域．且在飞出磁场区域后能垂直打在OA面上，粒子重力不计．求： （1）粒子在磁场中做圆周运动的半径； （2）粒子在磁场中运动的时间； （3）圆形磁场区域的最小半径．

P vA v2mv2r0.3m 解析：（1）由qvBm，T得： rvrqB（2）可知tO 301m1T，得：t105s1.05105s 63qB3r0.15m 2（3）圆形面积半径rmin

二、磁场范围为矩形

例2 如图3所示，直角坐标系有一质量为

第一象限的区域存在沿

（

，

轴正方向的匀强电场。现）以初速度

沿轴的负

，电量为的电子从第一象限的某点

（

方向开始运动，经过轴上的点，0）进入第四象限，先做匀速直线运动然后进入垂

直纸面的矩形匀强磁场区域，磁场左边界和上边界分别与轴、轴重合，电子偏转后恰好经过坐标原点O，并沿正方向运动，不计电子的重力。求 （1）电子经过Q点的速度；

（2）该匀强磁场的磁感应强度B和磁场的最小面积S。 解析：（1）电子从

点开始在电场力作用下作类平抛运

轴的

动运动到Q点，可知竖直方向： 解得

。而

，水平方向：

，所以电子经过

点时的速度为：

。

，设与方向的夹角为θ，可知，所以θ＝30。

0

（2）如图4，电子以与沿

成30°进入第四象限后先

做匀速直线运动，然后进入匀强磁场区域做匀速圆

轴向上的速度经过Ｏ点。可知圆周运动

点到O点的距离与到直线

周运动恰好以沿的圆心

一定在Ｘ轴上，且

上M点（M点即为磁场的边界点）的垂直距离相等，找出

点，画出其运动的部分轨迹为弧MNO，所以磁场的右边界和下边界就确定了。

，

，由图知ＯＱ＝

＝

，解得

，方向

设偏转半径为垂直纸面向里。 矩形磁场的长度

，宽度

。

矩形磁场的最小面积为：键要注意矩形磁场边界的确定。

三、磁场范围为三角形 例3 如图5，一个质量为

，带

点评：此题中粒子进入第四象限后的运动即为例1中运动的逆过程，解题思路相似，关

电量的粒子在BC边上的M点以速度垂直于BC边飞入正三角形ABC。为了使该粒子能在AC边上的N点（CM＝CN）垂真于AC边飞出ABC，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力。试求： （1）粒子在磁场里运动的轨道半径ｒ及周期T； （2）该粒子在磁场里运动的时间t； （3）该正三角形区域磁场的最小边长； 解析：（1）由 得：

，

和

，

（2）由题意可知，粒子刚进入磁场时应该先向左偏转，不可能直接在磁场中由M点作圆周运动到N点，当粒子刚进入磁场和刚离开磁场时，其速度方向应该沿着轨迹的切线方向并垂直于半径，如图6作出圆O，粒子的运动轨迹为弧GDEF，圆弧在Ｇ点与初速度方向相切，在F点与出射速度相切。画出三角形

，其与圆弧在D、E两点

相切，并与圆Ｏ交于F、G两点，此为符合题意的最小磁场区域。由数学知识可知∠FOG＝60，所以粒子偏转的圆

0

心角为300，运动的时间 （3）连接

并延长与

0

交与Ｈ点，由图可知

，

，

＝

点评：这道题中粒子运动轨迹和磁场边界临界点的确定比较困难，必须将射入速度与从AC边射出速度的反向延长线相交后根据运动半径已知的特点，结合几何知识才能确定。另外，在计算最小边长时一定要注意圆周运动的轨迹并不是三角形磁场的内切圆。

例4．如图所示，在倾角为30°的斜面OA的左侧有一竖直档板，其上有一小孔P，OP=0.5m.现

有一质量m=4×10

－ 20

kg，带电量q=+2×10

－14

C的粒子，从小孔以速度v0=3×10m/s水平射

4

向磁感应强度B=0.2T、方向垂直纸面向里的一圆形磁场区域．且在飞出磁场区域后能垂直打在OA面上，粒子重力不计．求： （1）粒子在磁场中做圆周运动的半径； （2）粒子在磁场中运动的时间； （3）圆形磁场区域的最小面积．

（4）若磁场区域为正三角形且磁场方向垂直向里，粒子运动过程中始终不碰到挡板，其他条件不变，求：此正三角形磁场区域的最小边长。

O 30P vA v2mv2r0.3m 解析：（1）由qvBm，T得：rvrqB5（2）画出粒子的运动轨迹如图，可知tT，得：

6b P v0 a e f o1 60° A 5m5t105s5.23105s

3qB3（3）无确定解，圆形面积只能无限接近

g c 30° sr0.09(m)

（4）由数学知识可得：L22O 2rrcos30 得：

cos30L

mv4433(1)0.99m qB310

四、磁场范围为树叶形 例5 在

平面内有许多电子（质量为

、电量为），从坐标

O不断以相同速率

垂直于

沿不同方向射入第一象限，如图7所示。现加一个

的匀强磁场，要求这些电子穿过磁

平面向内、磁感强度为

场后都能平行于轴向正方向运动，求符合该条件磁场的最小面积。 解析：电子在磁场中运动半径

是确定的，设磁场区域足

够大，作出电子可能的运动轨道如图8所示，因为电子只能向第一象限平面内发射，其中圆

O1和圆O2为从圆点射出，经第一象限的所有圆中的最低和最高位置的两个圆。圆O2在ｘ轴

上方的

个圆弧odb就是磁场的上边界。其它各圆轨迹的圆心所连成的线必为以点O为圆

心，以R为半径的圆弧O1OmO2 。由于要求所有电子均平行于x轴向右飞出磁场，故由几何知识知电子的飞出点必为每条可能轨迹的最高点。可证明，磁场下边界为一段圆弧，只需将这些圆心连线（图中虚线O1O2）向上平移一段长度为

的距离即图9中的弧ocb就是

这些圆的最高点的连线，即为磁场区域的下边界。两边界之间图形的阴影区域面积即为所求

磁场区域面积：。

还可根据圆的知识求出磁场的下边界。设某电子的速度V0与x轴夹角为θ，若离开磁场速度变为水平方向时，其射出点也就是轨迹与磁场边界的交点坐标为（x，y），从图10中看出，

在（0，R）处，圆的

，即

（x＞0，y＞0），这是个圆方程，圆心

圆弧部分即为磁场区域的下边界。

点评：这道题与前三题的区别在于要求学生通过分析确定磁场的形状和范围，磁场下边界的处理对学生的数理结合能力和分析能力要求较高。

由以上题目分析可知，解决此类问题的关键是依据题意，分析物体的运动过程和运动形式，扣住运动过程中的临界点，应用几何知识，找出运动的轨迹圆心，画出粒子运动的部分轨迹，确定半径，再用题目中规定形状的最小磁场覆盖粒子运动的轨迹，然后应用数学工具和相应物理规律分析解出所求的最小面积即可。

五、磁场范围为矩形

例6：如图所示，直线OA与y轴成30角。在AOy范围内有沿y轴负方向的匀强电场，在AOx范围内有一个矩形区域的匀强磁场，该磁场区域的磁感应强度B0.2T，方向垂直纸面向里。一带电微粒电荷量q21014C，质量m41020kg，微粒在y轴上的某点以速度vo垂直于y轴进入匀强电场，并以速度v310m/s垂直穿过直线OA，运

4动中经过矩形磁场区域后，最终又垂直穿过x轴。不计微粒重力，求：(结果保留两位有效数字)

（1）带电微粒进入电场时的初速度vo多大?

（2）带电微粒在磁场中做圆周运动的半径r

（3）画出粒子运动轨迹图并求出最小矩形磁场区域的长和宽。 解析：带电微粒做类平抛运动vovcos302.6104m/s ① （2）洛仑兹力提供向心力，有

v2qvBm ②

rmvr0.30m ③

qB（3）画出粒子的运动轨迹如图所示 ④ 设最小矩磁场区域的长为a、宽为b，由数学知识可知 a2R0.60m ⑤

brcos30r ⑥ b0.56m ⑦

例7：如图所示，第四象限内有互相正交的匀强电场E与匀强磁场B1，E的大小为0.5×103V/m，B1大小为0.5T；第一象限的某个矩形区域内，有方向垂直于纸面向里的匀强磁场B2，磁场的下边界

-14-10

与x轴重合。一个质量m=1×10kg、电荷量q=1×10C的带正

电的微粒以某一速度v沿与y轴正方向成60°角从M点沿直线运动，经P点进入第一象限内的磁场B2区域。一段时间后，小球经过y轴上的N点并沿与y轴正方向成60°角的方向飞出。M点的坐标为(0，-10)，N点的坐标为(0，30)，不计粒子重力，取g=10m/s2。 (1)请分析判断匀强电场E的方向并求出微粒的运动速度v； (2)匀强磁场B2为多大?

(3)B2磁场区域的最小面积为多少? 解析：（1）qvB1qE,所以vE1.0103m/s B1E方向如图

mv，得3T （2）r23OM0.23,由rB2qB2332（3）最小面积如图阴影部分：S0.20.1

332

m 3150练习：如图所示，倾斜挡板NM上的一个小孔K，NM与水平挡板NP成60°角，K与N间的距离KNa。现有质量为m，电荷量为q的正电粒子组成的粒子束，垂直于倾斜挡板NM，以速度v0不断射入，不计粒子所受的重力。

（1）若在NM和NP两档板所夹的区域内存在一个垂直于纸面向外的匀强磁场，NM和NP为磁场边界。粒子恰能垂直于水平挡板NP射出，求匀强磁场的磁感应强度的大小。

（2）若在NM和NP两档板所夹的区域内，某一部分区域存在一与（1）中大小相等方向相反的匀强磁场。从小孔K飞入的这些粒子经过磁场偏转后也能垂直打到水平挡板NP上（之前与挡板没有碰撞），求粒子在该磁场中运动的时间。

（3）若在（2）问中，磁感应强度大小未知，从小孔K飞入的这些粒子经过磁场偏转后能垂直打到水平挡板NP上（之前与挡板没有碰撞），求该磁场的磁感应强度的最小值。 解析：（1）粒子在磁场中作圆弧运动，由运动轨迹得：ra

2mv0mv0 而qv0B，所以B

raq（2）如图所示，粒子垂直MN板从K点入射后做匀速直线运动从D点开始进入磁场，进

入磁场后，根据左手定则，所受的洛伦兹力斜向上，要使粒子能垂直打到水平挡板NP，则粒子需偏转3000后从E射出（倾斜虚线可视为磁场的直线边界），做匀速直线运动垂直打到NP。

粒子在磁场中运动的周期为T2m qBt3000而 T36005a t3v0（3）要使B最小，则要半径r最大，临界情况是粒子圆周运动的轨迹恰好跟两挡板相切，如图所示。

根据对称性圆周运动的圆心C、交点G位于∠MNP的角平分线上，则由几何关系可得： CDKF是边长为r的正方形。则在三角形NCF中，有

3rar

a可得r

312mv0qv0Bmin

r(31)mv0 Bminaq