电磁动量问题

动量，双向切割，动能定理

1.【北京市东城区2016届第一学期高三期末教学统一检测物理试题】（13分）如图所示，两根足够长平行金属导轨MN、PQ固定在倾角θ=37°的绝缘斜面上，顶部接有一阻值R=3Ω的定值电阻，下端开口，轨道间距L=1 m。整个装置处于磁感应强度B=2T的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向上。质量m=1kg的金属棒ab置于导轨上，ab在导轨之间的电阻r=1Ω，电路中其余电阻不计。金属棒ab由静止释放后沿导轨运动时始终垂直于导轨，且与导轨接触良好。不计空气阻力影响。已知金属棒ab与导轨间动摩擦因数μ=0.5，

2 （11分）

如图所示，两根平行的光滑金属导轨MN、PQ放在水平面上，左端向上弯曲，导轨间距为L，电阻不计。水平段导轨所处空间存在方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B。导体棒a与b的质量均为m，电阻值分别为Ra=R，Rb=2R。b棒放置在水平导轨上足够远处，a棒在弧形导轨上距水平面h高度处由静止释放。运动过程中导体棒与导轨接触良好且始终与导轨垂直，重力加速度为g。 （1）求a棒刚进入磁场时受到的安培力的大小和方向； （2）求最终稳定时两棒的速度大小；

sin37°=0.6，cos37°=0.8，取g=10m/s2

。

⑴求金属棒ab沿导轨向下运动的最大速度vm；

⑵求金属棒ab沿导轨向下运动过程中，电阻R上的最大电功率PR；

⑶若从金属棒ab开始运动至达到最大速度过程中，电阻R上产生的焦耳热总共为1.5J，求流过电阻 R的总电荷量q。

1

3）从a棒开始下落到最终稳定的过程中，求b棒上产生的内能。 M a B P N

h b Q （

3．（10分）如图21所示，两根金属平行导轨MN和PQ放在水平面上，左端向上弯曲且光滑，导轨间距为L，电阻不计。水平段导轨所处空间有两个有界匀强磁场，相距一段距离不重叠，磁场Ⅰ左边界在水平段导轨的最左端，磁感强度大小为B，方向竖直向上；磁场Ⅱ的磁感应强度大小为2B，方向竖直向下。质量均为m、电阻均为R的金属棒a和b垂直导轨放置在其上，金属棒b置于磁场Ⅱ的右边界CD处。现将金属棒a从弯曲导轨上某一高处由静止释放，使其沿导轨运动。设两金属棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好。

（1）若水平段导轨粗糙，两金属棒与水平段导轨间的最大摩擦力均为15mg，将金属棒a从距水平面高度h处由静止释放。求： 金属棒a刚进入磁场Ⅰ时，通过金属棒b的电流大小； 若金属棒a在磁场Ⅰ内运动过程中，金属棒b能在导轨上保持静止，通过计算分析金属棒a释放时的高度h应满足的条件； （2）若水平段导轨是光滑的，将金属棒a仍从高度h处由静止释放，使其进入磁场Ⅰ。设两磁场区域足够大，求金属棒a在磁场Ⅰ内运动过程中，金属棒b中可能产生焦耳热的最大值。 M B 2B P a C N Ⅰ Ⅱ b D Q 图21 3．（10分）解： （1）①金属棒在弯曲光滑导轨上运动的过程中，机械能守恒，设其刚进入磁场Ⅰ时速度为v0，产生的感应电动势为E，电路中的电流为I。 由机械能守恒 mgh12mv20，解得v0=2gh 感应电动势E=BLvIE0，对回路2R 解得：I=BL2gh2R（3分） ②对金属棒b：所受安培力F=2BIL 又因 I=BL2gh2R 金属棒b棒保持静止的条件为F≤15mg 2

h≤gm2R2解得50B4L4（3分） （2）金属棒a在磁场Ⅰ中减速运动，感应电动势逐渐减小，金属棒b在磁场Ⅱ中加速运动，感应电动势逐渐增加，当两者相等时，回路中感应电流为0，此后金属棒a、b都做匀速运动。设金属棒a、b最终的速度大小分别为v1、v2，整个过程中安培力对金属棒a、b的冲量大小分别为Ia、Ib。 由BLv1=2BLv2，解得v1=2v2 设向右为正方向：对金属棒a，由动量定理有 -Ia=mv1-mv0 对金属棒b，由动量定理有 -Ib=-mv2-0 由于金属棒a、b在运动过程中电流始终相等，则金属棒a受到的安培力始终为金属棒b受到安培力的2倍，因此有两金属棒受到的冲量的大小关系 Ib=2Ia 解得v145vv20，25v0 根据能量守恒，回路中产生的焦耳热 Q12mv2[12m(25v214212100)2m(5v0)]10mv05mgh Q11b=2Q10mgh（4分）

4不等间距水平导轨，无水平外力作用（安培力除外）

2

3

如图所示，光滑导轨、等高平行放置，

间宽度为间宽度的3倍，导轨右侧水平且处于竖直向上的匀强磁场中，左侧呈弧形升高。、是质量均为

的金属棒，现让

从离水平轨

道高处由静止下滑，设导轨足够长。试求： (1)、

棒的最终速度；(2)全过程中感应电流产生的

焦耳热。

【解析】

下滑进入磁场后切割磁感线，在

电路中产生感应电流，

、

各受不同的磁场力作用而分别作变减速、变加速运动，电路中感应电流逐渐减小，当感应电流为零时，、

不再受磁场

力作用，各自以不同的速度匀速滑动。

(1)自由下滑，机械能守恒： ①

由于、串联在同一电路中，任何时刻通过的电流总相等，金属棒有效长度

，故它

们的磁场力为：

②

在磁场力作用下，、

各作变速运动，产生的感应电动势方向相反，当

时，电路中感应电流为零(

)，安培力为零，

、

运动趋于稳定，此时有：

所以 ③

、受安培力作用，动量均发生变化，由动量定理得：

3

④

⑤

联立以上各式解得：，

(2)根据系统的总能量守恒可得：

5．（12分）如图所示，光滑导轨MN、PQ在同一水平面内平行固定放置，其间距d=1.0m，右端通过导线与阻值R=2.0Ω的电阻相连，在正方形区域CDGH内有竖直向下的匀强磁场. 一质量m=100g、阻值r=0.5Ω的金属棒，在与金属棒垂直、大小为F=0.2N的水平恒力作用下，从CH左侧x=1.0m处由静止开始运动，刚进入磁场区域时恰好做匀速直线运动. 不考虑导轨电阻，金属棒始终与导轨垂直并保持良好接触.求：（1）匀强磁场磁感应强度B的大小；

（2）金属棒穿过磁场区域的过程中电阻R所产生的焦耳热；

（3）其它条件不变，如果金属棒进入磁场时立即撤掉恒力F，试讨论金属棒是否能越过磁场区域并简要说明理由.

M C D N

d F R

P x H G Q

2016海淀期末

6．（10分）如图24所示，PQ和MN是固定于水平面内间距L=1.0m的平行金属轨道，轨道足够长，其电阻可忽略不计。两相同的金属棒ab、cd放在轨道上，运动过程中始终与轨道垂直，且接触良好，它们与轨道形成闭合回路。已知每根金属棒的质量m=0.20kg，每根金属棒位于两轨道之间部分的电阻值R=1.0Ω；金属棒与轨道间的动摩擦因数μ=0.20，且与轨道间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。整个装置处在竖直向上、磁感应强度B=0.40T的匀强磁场中。取重力加速度g=10m/s2。

（1）在t=0时刻，用垂直于金属棒的水平力F向右拉金属棒cd，使其从静止开始沿轨道以a=5.0m/s2的加速度做匀加速直线运动，求a B 金属棒cd运动多长时间金属棒ab开始运动； P c Q

（2）若用一个适当的水平外力F′向右拉金属棒cd，使其达到速F M b N度vd

1=20m/s沿轨道匀速运动时，金属棒ab也恰好以恒定速度沿轨道图24 运动。求：

①金属棒ab沿轨道运动的速度大小； ②水平外力F′的功率。 6．（10分）

（1）设金属棒cd运动t时间金属棒ab开始运动， 根据运动学公式可知：此时金属棒cd的速度vat

金属棒cd产生的电动势E11BLv，通过金属棒的电流I1E2RBLat2R…（1分） B2L2金属棒ab所受安培力FatA1BI1L2R…………………………………（1分）

金属棒ab开始运动时刻，FA1mg…………………………………………（1分）

解得：t=1.0s………………………………………………………………………（1分）

（2）①设金属棒cd以速度v1=20m/s沿轨道匀速运动时，金属棒ab沿轨道匀速运动的速度大小为v2。

此时通过ab、cd两金属棒的电流I2BL(2E2Rv1v2)2R……………………（1分） 金属棒ab所受安培力FBIB2L2(v1v2)A22L2Rmg…………………（1分） 解得：v2=15m/s……………………………………………………………………（1分）

②以金属棒cd为研究对象，其所受水平外力F′、滑动摩擦力Ff以及安培力FA3三个力的合力为零。即：FFA3Ff0；其中FA3=FA2…………………………（1分）

Ffmg……………………………………………………………………………（1分）

4

解得：水平外力F′的功率P=F′v1=16W………………………………………………（1分）

7.【北京市海淀区2015届高三上学期期末练习物理试题】（10分）如图19所示，PQ和MN是固定于水平面内的平行光滑金属轨道，轨道足够长，其电阻可忽略不计。金属棒ab、cd放在轨道上，始终与轨道垂直，且接触良好。金属棒ab、cd的质量均为m，长度均为L。两金属棒的长度恰好等于轨道的间距，它们与轨道形成闭合回路。金属棒ab的电阻为2R，金属棒cd的电阻为R。整个装置处在竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中。

（1）若保持金属棒ab不动，使金属棒cd在与其垂直的水平恒力F作用下，沿轨道以速度v做匀速运动。试推导论证：在Δt时间内，F对金属棒cd所做的功W等于电路获得的电能E电；

（2）若先保持金属棒ab不动，使金属棒cd在与其垂直的水平力F′（大小未知）作用下，由静止开始向右以加速度a做匀加速直线运动，水平力F′作用t0时间撤去此力，同时释放金属棒ab。求两金属棒在撤去F′后的运动过程中， ①金属棒ab中产生的热量；

②它们之间的距离改变量的最大值x。

7．（10分）

（1）金属棒cd做匀速直线运动，受平衡力 F=F安=BIL

在t时间内，外力F对金属棒cd做功 W=Fvt = Ft=BILvt=B2L2v2安v3Rt（1分）

金属棒cd的感应电动势E=BLv

电路获得的电能 Et=BILvt=B2L2v2电=Eq=EI3Rt

即F对金属棒cd所做的功等于电路获得的电能E电（1分） （2）

①撤去F′时，cd棒的速度大小为v1=at0（1分）

当ab、cd的速度相等时，回路中的电流为零，两棒开始做匀速直线运动。 因为ab、cd棒受到的安培力等大反向，所以系统的动量守恒。 设它们达到相同的速度为v2，则：mv1=2mv2（1分）

4

5

根据能量守恒定律，回路中产生的焦耳热总量为：Q=金属棒ab产生的焦耳热：Q1=Q=

1122mv12mv2（2分） 2223122mat0（1分） 6②解法1：

设从撤去F′到ab、cd棒的刚好达到相同速度的过程中的某时刻，ab、cd的速度差为∆v，则此时回路中产生的感应电动势Ei=

BLx=BL∆v tt

EBLv此时回路中的感应电流Ii=（1分） R总3R此时ab棒所受安培力Fi=BIiL=

BLv 3R22对ab棒根据动量定理有：Fi∆t=m∆v2

对从撤去F′到ab、cd棒刚好达到相同速度的过程求和

B2L2vB2L2nB2L2则有：ti=mv2，即vtix=mv2（1分） 3R3Ri13Ri1n又因v2=v1/2=at0/2

所以解得最大距离改变量x=解法2：

对ab棒由动量定理得

3mat0R（1分）

2B2L2BILtii1ni=mv'（1分）

解得q=

mv'mat0= BL2BL设两金属棒间的距离改变了x，由法拉第电磁感应定律

BLx tBLx回路的平均电流为I（1分）

3RtBLxmat0通过金属棒的电荷量q=It==

3R2BL3mat0R解得：x=（1分） 222BL平均感应电动势E

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