(详细解析、评注)带电粒子在有界磁场中运动的临界(极限)问题解析

表达式，确定通过该段圆弧所用的时间，其中T即为该粒子做圆周运动的周期，

转过的圆心角越大，所用时间t越长，注意t与运动轨迹的长短无关。 　　4．带电粒子在两种典型有界磁场中运动情况的分析 　　①穿过矩形磁场区：如图3所示，一定要先画好辅助线（半径、速度及延长线）。 　　a、带电粒子在穿过磁场时的偏向角由sinθ=L/R求出；（θ、L和R见图标） 　　b、带电粒子的侧移由R2=L2-（R-y）2解出；（y见所图标） 　　c、带电粒子在磁场中经历的时间由 得出。 　　②穿过圆形磁场区：如图4所示，画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线）。 　　a、带电粒子在穿过磁场时的偏向角可由 　　b、带电粒子在磁场中经历的时间由 　　二、带电粒子在有界磁场中运动类型的分析 　　1．给定有界磁场B 求出；（θ、r和R见图标） 得出。 　　（1）给定入射速度的大小和方向，判断带电粒子出射点或其它 　　【例1】（2001年江苏省高考试题）如图5所示，在y<0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁感应强度为B。一带正电的粒子以速度v0从O点射入磁场，入射方向在xy平面内，与x轴正向的夹角为θ。若粒子射出磁场时的位置与O点的距离为l，求该粒子的电量和质量之比q/m。 　　

　　解析：带正电粒子射入磁场后，由于受到洛仑兹力的作用，粒子将沿图6所示的轨迹运动，从A点射出磁场，O、A间的距离为l，射出时速度的大小仍为v0，射出方向与x轴的夹角仍为θ。由洛仑兹力公式和牛顿定律可得， （我的点评----确定粒子初射方向的方法：抗磁原理，即粒子转动对应电流的磁场方向，与已存在的空间磁场方向相反） 　　 　　解得 ，（式中R为圆轨道的半径） 　　R=mv0/qB　　　　　　① 　　圆轨道的圆心位于OA的中垂线上，由几何关系可得 　　l/2=Rsinθ　　　　　　② 　　联立①、②两式，解得 　　 。 原文点评：本题给定带电粒子在有界磁场中运动的入射点和出射点，求该粒子的电量和质量之比，也可以倒过来分析，求出射点的位置。在处理这类问题时重点是画出轨迹图，根据几何关系确定轨迹半径。 我的点评: 磁场中粒子圆周运动计算题的核心是运用公式 已知量求未知量. ,由题目给出的

原则上,高考题中关于磁场中粒子圆周运动的计算都是根据此公式或此公式的变形式展开的. 本题中所求的荷质比，也同样通过上面公式的变形式

qV进行计算，。 mrB本题中已知V、B，需要求r，而确定r需要画出粒子的轨迹圆。轨迹圆确定有几种方法（与具体的已知条件有关，见另一文档），确定轨迹圆后，要注意结合平面几何、三角知识，计算r。 　　（2）给定入射速度的方向，而大小变化，判定粒子的出射范围 　　【例2】如图7所示，矩形匀强磁场区域的长为L，宽为L/2。磁感应强度为B，质量为

m，电荷量为e 的电子沿着矩形磁场的上方边界射入磁场，欲使该电子由下方边界穿出磁场，求：电子速率v 的取值范围？

　　解析：（1）带电粒子射入磁场后，由于速率大小的变化，导致粒子轨迹半径的改变，如图所示。当速率最小时，粒子恰好从d点射出，由图可知其半径R1=L/4，再由R1=mv1/eB，得 　　 　　当速率最大时，粒子恰好从c点射出，由图可知其半径R2满足即R2=5L/4，再由R2=mv2/eB，得 　　 ，

　　电子速率v的取值范围为：。 　　点评：本题给定带电粒子在有界磁场中运动的入射速度的方向，由于入射速度的大小发生改变，从而改变了该粒子运动轨迹半径，导致粒子的出射点位置变化。在处理这类问题时重点是画出临界状态粒子运动的轨迹图，再根据几何关系确定对应的轨迹半径，最后求解临界状态的速率。 　　（3）给定入射速度的大小，而方向变化，判定粒子的出射范围 　　【例3】（2004年广东省高考试题）如图8所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B=0．60T，磁场内有一块平面感光板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离l=16cm处，有一个点状的α放射源S，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是v=3．0×106m/s，已知α粒子的电荷与质量之比q/m=5．0×107C/kg，现只考虑在图纸平面中运动的α粒子，求ab上被α粒子打中的区域的长度。 　　解析：α粒子带正电（我的点评—需要知道的原子物理基础知识），故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，用R表示轨道半径，有qvB=mv2/R， 　　由此得 R=mv/qB，代入数值得R=10cm。 （我的点评------为什么必须先算出半径，然后再在此基础上分析？？？？------如果比计算出r，就无从知道轨迹圆与ab板的碰撞情况。） 　　可见，2R>l>R，如图9所示，因朝不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S，由此可知，某一圆轨迹在图中N左侧与ab相切，则此切点P1就是α粒子能打中的左侧最远点。为定出

P1点的位置（我的点评-----根据粒子在磁场中做圆周运动的特点，做辅助线！！！待求线段长度转换！！！----构成三角形！！！），可作平行于ab的直线cd，cd到ab的距离为R，以S为圆心，R为半径，作弧交cd于Q点，过Q作ab的垂线，它与ab的交点即为P1。 　　 　　再考虑N的右侧。任何α粒子在运动中离S的距离不可能超过2R，以2R为半径、S为圆心作圆，交ab于N右侧的P2点，此即右侧能打到的最远点。 　　由图中几何关系得 ， 　　 ， 　　所求长度为 P1P2=NP1+NP2， 　　代入数值得 P1P2=20cm。 　　点评：本题给定带电粒子在有界磁场中运动的入射速度的大小，其对应的轨迹半径也就确定了。但由于入射速度的方向发生改变，从而改变了该粒子运动轨迹图，导致粒子的出射点位置变化。在处理这类问题时重点是画出临界状态粒子运动的轨迹图（对应的临界状态的速度的方向），再利用轨迹半径与几何关系确定对应的出射范围。 　　2．给定动态有界磁场 　　（1）给定入射速度的大小和方向，判定粒子出射点的位置 　　【例4】（2006年天津市理综试题）在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图10所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿-x方向射入磁场，恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿+y方向飞出。 　　（1）请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷q/m； 　　（2）若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B′，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，求磁感应强度B′多大？此次粒子在磁场中运动所用时间t是多少？ 　　解析：（1）由粒子的飞行轨迹，利用左手定则可知，该粒子带负电荷。 　　如图11所示，粒子由A点射入，由C点飞出，其速度方向改变了90°，则粒子轨迹半径 r=R，又 　　 ，（核心公式！！！！！！！！） 　　则粒子的荷质比为 。 　　（2）粒子从D点飞出磁场速度方向改变了60°角，故AD弧所对圆心角60°，粒子做

圆周运动的半径，又（核心公式的变形！！！），所以

， 　　粒子在磁场中飞行时间：。 （我的直观理解----速度不变，转角减小，表明向心力减小，磁场强度降低。 另一种直观快速理解----速度相同时，磁场减小，转角减小磁场为零时，直线运动，方向不变。 　　点评：本题给定带电粒子在有界磁场中运动的入射速度的大小和方向，但由于有界磁场发生改变（包括磁感应强度的大小或方向的改变），从而改变了该粒子在有界磁场中运动的轨迹图，导致粒子的出射点位置变化。在处理这类问题时重点是画出磁场发生改变后粒子运动的轨迹图，再利用轨迹半径与几何关系确定对应的出射点的位置。 （2）给定入射速度和出射速度的大小和方向，判定动态有界磁场的边界位置 （另一文档由此题！！！！） 　　【例5】（1994年全国高考试题）如图12所示，一带电质点，质量为m，电量为q，以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域。为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径。重力忽略不计。 　　解析：质点在磁场中作半径为R的圆周运动， 　　qvB=（Mv2）/R，得R=（MV）/（qB）。 　　根据题意，质点在磁场区域中的轨道是半径等于R的圆上的1/4圆周（由入射、出射角度得到，而且粒子经过的空间一定有磁场），这段圆弧应与入射方向的速度、出射方向的速度相切。如图13所示，过a点作平行于x轴的直线，过b点作平行于y轴的直线，则与这两直线均相距R的O′点就是圆周的圆心。质点在磁场区域中的轨道就是以O′为圆心、R为半径的圆（图中虚线圆）上的圆弧MN，M点和N点应在所求圆形磁场区域的边界上。 　　在通过M、N两点的不同的圆周中，最小的一个是以MN连线为直径的圆周。所以本题所求的圆形磁场区域的最小半径为： 　　 ， 　　所求磁场区域如图13所示中实线圆所示。 　　点评：本题给定带电粒子在有界磁场中运动的入射速度和出射速度的大小和方向，但由于有界磁场发生改变（磁感应强度不变，但磁场区域在改变），从而改变了该粒子在有界磁场中运动的轨迹图，导致粒子的出射点位置变化。在处理这类问题时重点是画出磁场发生改变后粒子运动的轨迹图，确定临界状态的粒子运动轨迹图，再利用轨迹半径与几何关系确定对应的磁场区域的位置。 　　【巩固练习】 　　1．（2005年理综I）如图14所示，在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向里。许多质量为m带电量为+q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向，由小孔O射入磁场区域。不计重力，不计粒子间的相互影

响。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中 。哪个图是正确的？ A． B．

C．D． 答案：A

分析思路-----（1）已知条件特点，V相同，且垂直平面轨迹圆半径相同；（2）O

点左面、右面的轨迹不对称（不对称为一般结论，前面已做题目，此判断答案B、D错误，在A、B中B是负电荷轨迹，由此判断A对。）。 图形不对称的具体分析------由V与MN成零度开始分析，逐渐增加角度； 阴影边缘的分析-----极限角度、特殊角度，轨迹圆特性（半径均为为R） （a）V与MN夹角为零度---粒子与O点的垂直距离最大（红色圆） （b）V与MN夹角为90-----粒子与O点的水平距离最大（蓝色圆） 由

（c）其他阴影部分的获得方法---红色、蓝色圆通过0点，其他速度对的圆也

都通过0点，O点是这些圆的公共点，将红色圆向左旋转，保持0点在圆上，即得到包络线。另一方法：通过用圆规画一系列的半径相同的圆（用硬币一元更快捷！！！），且通过0点，这些圆离开O点的最远距离为2R。 快速分析方法：抓住特点---这些圆过0点，离O点的最远距离为2R。 2.（一个省的高考题不会突变,增加新型难题） 如图4所示，在xOy平面内有许多电子（质量为m，电量为e），从坐标原点O不断的以相同大小的速度

沿不同方向射入I象限，

现加一个垂直于xOy平面的磁感应强度为B的匀强磁场，要求这些电子穿过该磁场后都能平行于x轴向＋x方向运动，试求符合该条件的磁场的最小面积。 解析：设磁场B的方向垂直纸面向里（评注:必须先假设，否则无法确定电子环绕方向,而且要注意电子入射速速的的角度分布:在第一象限.） 首先确定电子可以到达的极限位置，这对应沿正y轴入射进入第一象限的电子。当电子在磁场沿圆周转向，速度平行正x轴时，电子轨迹为四分之一圆弧。当电子速度平行正x轴时，电子到达圆的最高点。 当电子速度偏离正y方向，速度角度与负y轴的夹角为。对应的轨迹圆半径与前面的相同，轨迹圆整体向下偏转。在此圆上，电子速度与正x轴平行时，电子在圆周上的形成小于电子轨迹为四分之一圆弧。 本题要求最小磁场面积，必须先得到磁场形状，而磁场形状由题目条件所限制，关键的条件是出射点出电子的速度平行正x轴。在出射点后，磁场可以为零，因此速度平行正x轴的出射点过程磁场的边界，入射角度改变，出射位置也改变。欲求该点的轨迹方程，一般方法是：求出该点坐标满足的制约方程。该点的坐标可以由速度平行正x轴求出，该点坐标满足的制约方程为半径为R。 在该问题中，从A点出磁场时其速度方向平行于x轴，也就是圆弧在y轴正向的最高

点，如图5所示，所有满足题意的点可看作是过定点O，以半径为的圆在纸面

内绕O转动90°角过程中圆弧最高点的集合，如图5所示。（A为其上一点）。 设A点坐标为（x，y），对应于圆心为

，

，由几何关系知：

y-RRcos 可得 由圆的知识得，满足题意要求的磁场区域边界是一段圆弧，对应圆心为，坐标

（O，R）。 最小磁场区域的面积即为图中阴影部分面积 边长为R的正方形面积-2*（边长为R的正方形面积-半径为R的四分之一圆面积） =

综上所述，运动的带电粒子垂直进入有界的匀强磁场，若仅受洛仑兹力作用时，它一定做匀速圆周运动，这类问题虽然比较复杂，但只要准确地画出运动轨迹图，并灵活运用几何知识和物理规律，找到已知量与轨道半径R、周期T的关系，求出粒子在磁场中偏转的角度或距离以及运动时间不太难。 此类题的一般性规律: (1) (2) 都是有界的均匀磁场; 粒子在某一定点射入磁场,通常速度为定值,一定角度有分布.由此圆的半径一样,任意轨迹圆为某一圆绕固定点(就是入射点)旋转得到。 速度相同，圆的半径一样，注意该结果的引深结论---粒子离开入射点的最大距离直线距离为直径。 (3) 不盲目画轨迹圆，而是注意粒子入射、出射的极限（最大、最小）角度、特殊角度分析，注意画该条件的轨迹图，用硬币画图（可以现场演示）。 只分析，不画图，无法将过程完全分析清楚。 (4) 粒子可以到达区域不对称. (5) 设计计算的核心公式为 知识。 ,以及变形.在计算中需要结合几何、三角

(6) 确定的圆周运动的关键参数：圆心、半径（周期，部分圆周的运动时间，在后面） 圆周运动的确定圆心、半径的方法：（a）圆心在角平分线上；（b）圆心在弦中垂线上，（c）圆周运动速度均垂直于各自对应的向心力——洛伦兹力，圆心在洛伦兹力上。上面两条线的交点就是圆心。 这两个洛伦兹力延长线交点即为圆心．然后在根据半径垂直入射、出射速度得到圆心。 (7) (8) 用一个一元硬币作图，已亲手试过，效果极好！！！，比随手画圆好，原因：半径、位置不确定，不能保证过固定点，得不到准确几何尺寸、位置关系。 圆周运动的半径 R＝mv/qB： 当磁场B相等时，速度大的转大圈，小的转小圈； 当速度一定时，磁场大转小圈，磁场小转大圈，没有磁场，直线运动（半径为无穷大）。 再次提醒：讨论圆周运动时，一定借助核心公式

，及其频率qBm（记忆方法---q、B愈大，洛伦兹力大，根据牛二定律，粒子转向快，所以圆频率与qB成正比，同理与m成反比）、周期（T1222m）f2fqB，半径公式。

(9) 是核心公式，其他是变形、衍生公式。 粒子在磁场中运动时间的确定：关键确定是粒子在磁场中转过了多少分之圆周，对应时间为多少分之圆周期。 圆弧的确定--求半径所夹的圆心角-求圆上两点之间速度的偏向角。 穿越磁场矩形磁场的时间：也是求部分圆周运动时间。 (10) (11) 注意几何知识应用 在方向不同的相邻有界磁场中，由于洛伦兹不做功，速度速度不变，轨迹圆的半径不变。