数理金融学作业1最优投资组合的计算（1）：不存在无风险资产情形

最优投资组合的计算（1）：不存在⽆风险资产情形1.(1)什么是最⼩⽅差资产组合？

（2）写出标准的最⼩⽅差资产组合的数学模型。（即不存在⽆风险资产时期望收益率为p r 的模型）（3）求解该模型，即求权重表达式及最⼩⽅差表达式

（4）已知市场上有两种证券，它们的收益率向量为12(,)T X X X =,假设X 服从联合正态分布，其期望收益率向量为()(1,2,0.5)TE X m ==,X 的 协⽅差矩阵为230350001轾犏犏=犏犏臌

，设某投资者的投资选择组合为12(,)T w w w =

求由这两种证券组成的均值-⽅差最优资产组合（允许卖空）12(,)T w w w =与其对应的最⼩⽅差，并画出有效前沿图。2.解：(1)最⼩⽅差资产组合是指对确定的期望收益率⽔平有最⼩的⽅差之资产组合。 (2)对⼀定期望收益率p r ，选择资产组合使其总风险最⼩的数学模型为：211min 22..()11Tp

T p p T w w s t E X w r ws m ==壮??

（3）应⽤标准的拉格朗⽇乘数法求解：令

其中1l 和2l 为待定参数，最优解应满⾜的⼀阶条件为：121210;0;110;TT p T Lw w Lr w L

w l m l m l l ?=-=-???=-???得最优解：*1

12(1)w l m l -=? ?。令1

11,11,TT

T a b m m m m ---===邋1

211,T c ac b -=D =-?则12,.p p r c ba rb l l --==DD

最⼩⽅差资产组合⽅差为：2**21()Tp p c b ww r c cs ==

-+D ? 当p b r c =时，资产组合达到最优组合，最优组合*111w c-= ?

， 最优组合⽅差为：*21p cs =。

（4）由题意知，230

350001轾犏犏=犏犏臌，所以，1

530350001-轾-犏犏=-犏犏臌?，()(1,2,0.5)T E X m == 1151 1.25,10.5,42

T T a b m m m --\\======邋129112,4T c ac b -==D =-=?。当14

p b r c ==时，资产组合达到最优组合，最优组合*1

111(2,2,1)(1,1,0.5)2T T w c -=?=?，最优组合⽅差为：*2112p

c s ==。 2.股票A 和股票B 的有关概率分布如下：

（1）股票A 和股票B 的期望收益率和标准差分别为多少？ （2）股票A 和股票B 的协⽅差和相关系数为多少？

（3）若⽤投资的40%购买股票A ，⽤投资的60%购买股票B ，求投资组合的期望收益率（9.9%）和标准差（1.07%）。（4）假设有最⼩标准差资产组合G ，股票A 和股票B 在G 中的权重分别是多少？ （4）%

.W %.W B ABB A B A ABB A B A 7753242222==-+-=ρσσσσρσσσ

3.在年初，投资者甲拥有如下数量的4种证券，当前和预期年末价格为：

这⼀年⾥甲的投资组合的期望收益率是多少？

4.下⾯给出了每种经济状况的概率和各个股票的收益：

（1）请分别计算这两只股票的期望收益率、⽅差和标准差；)＝7.3% σA＝4.9%E(RA

)＝2.5% σB＝21.36%E(RB

（2）请计算这两只股票的协⽅差和相关系数；σAB＝0.009275 ρAB＝0.88

（3）请⽤变异系数评估这两只股票的风险；

CV(A)＝4.9%／7.3%＝0.671 CV(B)＝21.36%／2.5%＝8.544

结论：与A股票相⽐，投资B股票获得的每单位收益要承担更⼤的投资风险（4）制作表格，确定在这两只股票不同投资⽐重（A股票⽐重从0%开始，每次增加10%）时，投资组合的收益、⽅差和标准差。AB 组合收益与风险

（5

⽅差最⼩：A 股票投资⽐重100%，B 股票投资⽐重0% （6）你会⽤怎样的投资⽐重来构建⼀个资产组合？请做出讨论。全部资⾦投资A 股票

5.假定3只股票有如下的风险和收益特征：

股票A 和其他两只股票之间的相关系数分别是：,0.35A B ρ=，,0.35A C ρ=-。 （1）根据投资组合理论，判断AB 组合和AC 组合哪⼀个能够获得更多的多样化好处？请解释为什么？

AC组合能够获得更多的多样化好处，因为相关程度越低，投资组合分散风险程度越⼤。（2）分别画出A和B以及A和C的投资可能集；

（3）AB中有没有哪⼀个组合相对于AC占优？如果有，请在风险/收益图上标出可能的投资组合。从图中可见，AB中任⼀组合都不占优于AC。