２０１ １年ｌ０月 西北工业大学学报 Ｏｃｔ． ２０ｌ１ 第２９卷第５期 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｎｏｒｔｈｗｅｓｔｅｒｎ Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ＶｏＩ．２９ Ｎｏ．５ 纤维缠绕复合材料壳体起伏区域刚度的研究 郭章新，韩小平，朱西平，支希哲 （西北工业大学力学与土木建筑学院，陕西西安７１００７２） 摘要：文章针对起伏区域纤维束的非正交交织的特点，提出一种计算缠绕复合材料的起伏区域内各 点刚度的方法。通过算例，计算了整个起伏区域内不同点在不同缠绕角时的各项刚度系数值，给出了 各项刚度系数随起伏区域的位置改变以及随着缠绕角变化的三维曲线，分析讨论了各项刚度系数在 整个起伏区域内的变化规律，为纤维缠绕复合材料气瓶等高压密封容器的提前泄露问题的有限元分 析提供了理论依据。 ， 关键词：纤维缠绕复合材料，纤维束交叉起伏，缠绕角，刚度系数，起伏区域 中图分类号：ＴＢ３３０ 文献标识码：Ａ 文章编号：１０００－２７５８（２０１１）０５－０７１４－０５ 纤维缠绕复合材料结构以其较高的比强度、比 合材料的弹性性能。文献［７］针对纤维束的交叠与 刚度，可设计性强，抗疲劳性能好等优点在大量的工 波动，提出一种计算纤维缠绕复合材料弹性模量的 业产品中得到应用，如火箭和飞机的壳体、火箭发动 方法，并通过实验验证了计算结果。文献［８］提出 机壳体、管形件和压力容器（如高压气瓶和管道 了一种缠绕复合材料等效刚度的计算方法，结果表 等）。由于纤维缠绕复合材料的广泛应用，其力学 明，考虑了纤维束的起伏、交织后缠绕复合材料刚度 特性如失效模式、损伤特性以及极限载荷（爆破压 矩阵发生了一些变化，特别是耦合刚度的变化更为 力）等受到很大的关注，国内外的很多学者对此进 明显。Ｒｏｕｓｓｅａｕ 对一系列缠绕结构进行试验研 行了研究。 究，对不同缠绕排列形式、不同加载方式的影响进行 在纤维缠绕工艺中，正在缠绕的纤维束与已经 了比较，结果表明，纤维交叉、起伏区附近的空穴可 缠绕的内层纤维束交叉时出现起伏状，在局部区域 能导致断裂，由此引起损伤扩展，引发缠绕结构提前 形成两个纤维铺层间的相互交织。由于起伏纤维束 泄露。还有一些学者对纤维缠绕气瓶进行了有限元 的取向不在同一个平面，因此起伏区域的面内力学 数值分析 Ｊ，但他们都将复合材料缠绕壳体简化 性能将会降低，并且该区域往往成为弯曲应力和断 为层合板模型，没有考虑纤维束的交织起伏现象，不 裂萌生的发源地，对缠绕结构的失效、破坏产生较大 能很好地解决缠绕壳体的提前泄露问题。 影响。Ｉｓｈｉｋａｗａ较早就选用代表体单元对平面编织 本文针对起伏区域纤维束的非正交交织特性， 复合材料进行了解析法分析研究 ’ ，结果表明，纤 引入螺旋缠绕角（面内转换角）和起伏层倾角（面外 维交叉起伏对面内的弹性模量有一定的折减。一些 转换角）这两个角度，提出一种缠绕复合材料的起 学者 针对纤维缠绕中的纤维束交织现象，粗略 伏区域内各点刚度的计算方法。通过算例，计算了 地利用实验结果进行了分析讨论，认为纤维束交叉 整个起伏区域内不同点在不同缠绕角时的各项刚度 现象的存在加速了材料损伤的扩展，对纤维缠绕结 系数值，给出了各项刚度系数随起伏区域的位置改 构的刚度、强度都会造成影响。 变以及随着缠绕角变化的三维曲线，分析讨论了各 付福超 根据缠绕复合材料内部结构划分出 项刚度系数在整个起伏区域内的变化规律，为纤维 一系列子单元，首先通过有限元法研究子单元的弹 缠绕复合材料气瓶等高压密封容器的提前泄露问题 性性能，再根据子单元的弹性性能得到整体缠绕复 的有限元分析提供了理论依据。 收稿日期：２０１０－１１一ｌ６ 作者简介：郭章新（１９８３一），西北工业大学博士研究生，主要从事复合材料及其结构的力学分析研究。 第５期 郭章新等：纤维缠绕复合材料壳体起伏区域刚度的研究 起伏彤状，即 １ 纤维交叉、起伏区域几何分析 由于纤维缠绕工艺的特点，纤维束在缠绕过程 中存在起伏弯曲现象，在芯模表面，相互交叉的两层 纤维组成菱形图案，如图１所示。不同缠绕层纤维 束交叉缠绕形成两种交织区域：螺旋起伏区域和环 （ ）＝号ｃ。ｓ（ ） （１） 式中，ｈ （ ）为纤维束中面的形状函数，ｈ为单层纤 维束厚度， 为沿着起伏方向的距离， 为起伏区域 长度。纤维束与缠绕面之间的偏转角０可表示为 日…ｃｔａｎ（ ） （２） 向起伏区域。 螺 伏 图ｌ纤维缠绕图案 每个菱形中纤维分布可以分为两个部分：沿 ＋ 和一妒方向的纤维，这部分纤维束没有起伏弯 曲，称为层合区域；纤维束交叉部分，这部分纤维束 存在起伏弯曲，称为起伏区域。整个菱形块由这两个 区域叠加而成。对典型起伏区域放大后如图２所示， 纤维束与整体坐标系夹角就是缠绕角 ，在起伏区 域内纤维束与缠绕面之间的偏转角为０。 起伏纤维束 上面的纤维柬 图２典型起伏区域放大图 选取三角函数来描述起伏区域中纤维束中面的 ２起伏区域内有效刚度矩阵计算方法 在纤维起伏区域，弯曲的纤维束可看作是由许 多微元段拼接而成，每个微元段又可看成是单向层 板，可采用层板复合材料理论进行分析。这样，在纤 维起伏区域内部各点的刚度矩阵就是空间位置的函 数，通过螺旋缠绕角和起伏层倾斜角，将三维刚度进 行两次转换，将起伏区域的三维刚度转化成缠绕层 面内二维有效刚度。其中，三维刚度转化为二维有 效刚度，要用到层合板理论的假设： ＝０， ＝０， ｏｒ：＝０两者的关系为 ｒ ｒ Ｑ ＝ｃ ｆ一 （ｉ√＝１，２，６）（３） ３３ Ｑ 是二维有效刚度，Ｃ 是起伏区域的三维刚度。 ３ 缠绕复合材料起伏区域刚度计算 方法 以缠绕管件为例，缠绕角为．－Ｉ－西，缠绕管件的长 为２２．８６ ｅｍ，直径为１５．２４ ｃｍ，缠绕管件所用的纤 维束单层厚度为０．１７３ ｍｍ，纤维束性能参数为：Ｅ， ＝１４８．４５ ＧＰａ，Ｅ２＝９．６７ ＧＰａ， １２＝０．３， ２３＝ ０．０３，Ｇ ＝５．５２ ＧＰａ。起伏区域的刚度系数是起伏 区域长度方向的距离 和缠绕角 的函数，下面来 计算沿起伏区域长度方向１ １个点处的刚度系数值， 缠绕角 从０。到９Ｏ。，递增角度为１５。。 纤维的材料主轴坐标系ｘ＇ｙ Ｚ与材料的偏轴坐 标系ｘｙｚ之间夹角为 ，需要将材料的正轴刚度Ｃ转 换到偏轴，其转换公式为 ［ｃ『］＝［ ［ｃ儿 ］ （４） 式中，转换矩阵 与［ ］之间的关系为 ［ ］Ｔ＝［ ］ （５） 转换矩阵的具体表达式参见文献［８］。 西北工业大‘学学报 第２９卷 从图２可以看到，弯曲纤维束除了倾斜角 之 外，还与长方体的 轴成一个夹角 ， 角相当于材 料正轴和偏轴之间的转换角，它和缠绕角 的换算 关系为： ＝９０。一２４，。再引入转换矩阵 ，就得到 转换两次之后起伏区域的三维刚度矩阵Ｃ 至５可以看出，“ｌ６”与“２６”项的值在 ＝４５。处呈 镜面对称，并且这些项关于缠绕角为４５。呈反对称 现象，这是因为两轴之间的转换角度为９０。。 ２）拉伸一剪切耦合系数（Ａ ）和弯曲一扭转耦合 系数（Ｄ ）：起伏区的／４ 和４ 项关于过 轴的中心 （ ＝１．２５ ｍｍ）并与 轴垂直的平面对称（图３）。Ａ 在 ＝３０。处取得最大值， 拍在 ＝６０。处取得最 ［Ｃ ］：［ ］ （［ ］ ［ｃ］［ ］）［［ ］ ｒ （６） 再根据（３）式，将三维刚度转换为二维有效刚度。 接下来采用下面的公式来计算起伏区的刚度矩 阵Ａ、 、Ｄ 大值，并且最大值都在起伏区域的中心位置（ ＝ １．２５ ｍｌＴ１）。由分析可以看出，纤维束交叉起伏对 项具有较大的影响。弯曲．扭转耦合系数（Ｄ ）的变 化趋势同对应的拉伸一剪切耦合系数（Ａ ）的变化 趋势类似。 ［Ａ （ ），Ｂ （ ），Ｄ （ ）］ ” ．ｈ ＝∑ｒ （ ， ）［１， ］ｄｚ （７） ３）弯曲一拉伸耦合刚度（Ｂ ）：耦合刚度矩阵曰 的所有项都关于过 轴的中心并与 轴垂直的平面 反对称（图４）。由于曰矩阵具有这种反对称的特点， 沿着整个起伏区域长度方向取平均值的时候，所有 将上面计算求得的起伏纤维束在局部坐标系中的刚 度矩阵转换到缠绕管件的整体坐标系中，其转换角 度为 Ｏｌ＝９０。一 （８） 项的值就都变成了零。曰 ： 、Ｂ． 和口 。项的最小 值和最大值分别在 ＝０．８３ ｍｍ和 ＝１．６７ ｍｍ处。 ４计算结果及讨论 起伏区域的刚度矩阵Ａ、曰和Ｄ的系数是沿着 另外，耦合刚度曰的项还具有与对应的刚度Ａ和Ｄ 的项相类似的性质。 起伏区域的长度 和纤维缠绕角西的函数，图３至图 ５作出了各项刚度系数与二者之间的三维函数图 形。在这些图形中， 轴代表沿着起伏区域长度方向 的距离，从０ ｍｍ到２．５ ｍｍ， 轴代表纤维缠绕角， 从０。到９０。， 轴代表各项刚度系数值。 轴每两个相 邻点间的距离为０．２５ ｍｍ，西轴每两个相邻点之间 为１５。。在这些刚度系数中，“１”代表圆柱壳的长度 方向，“２”代表环向。 图３拉伸刚度系数Ａ 随起伏区域的 位置和缠绕角的变化曲线 １）刚度系数随 和西变化的整体趋势：从图３ 第５期 郭章新等：纤维缠绕复合材料壳体起伏区域刚度的研究 图４耦合刚度系数 随起伏区域的位置和缠绕角的变化曲线 ｂ）Ｄ２６ 图５ 弯曲刚度系数Ｄ 随起伏区域的位置和缠绕角的变化曲线 ６Ｏ。处，并且最大值都在起伏区域的中心位置。 ５ 结 论 ３）耦合刚度 的刚度系数Ｂ 都关于过起伏区 域的中心位置并与起伏区域长度方向垂直的平面反 １）针对起伏区域纤维束的非正交性交织特性， 对称，并且曰． 、 ：：、Ｂ。 和Ｂ 项的最小值和最大值 提出了一种缠绕复合材料起伏区域内不同位置刚度 分别在起伏区域的１／３和２／３位置处。 系数的计算方法。 ４）考虑纤维束的起伏、交织之后，缠绕复合材 ２）起伏区域的刚度系数Ａ。 和Ｄ 的最大值出 料的刚度系数发生了明显的变化，特别是耦合刚度 现在缠绕角为３０。处，Ａ 和Ｄ： 最大值在缠绕角为 系数的变化更为明显。 参考文献： ［１］Ｉｓｈｉｋａｗａ Ｔ，Ｃｈｏｕ Ｔ Ｗ．Ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ａｎｄ Ｓｔｒｅｎｇｔｈ Ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ Ｗｏｖｅｎ Ｆａｂｒｉｃ Ｃｏｍｐｏｓｉｔｅｓ．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｍａｔｅｒｉａｌｓ Ｓｃｉｅｎｃｅ，１９８２，１７： ３２１１～３２２０ ［２］Ｉｓｈｉｋａｗａ Ｔ，Ｃｈｏｕ Ｔ Ｗ．Ｏｎｅ－Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ Ｍｉｃｒｏｍｅｃｈａｎｉｃａｌ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ Ｗｏｖｅｎ Ｆａｂｒｉｃ Ｃｏｍｐｏｓｉｔｅｓ．ＡＩＡＡ Ｊｏｕｒｎａｌ，１９８３，２１ （１２）：１７１４～１７２１ ［３］ 姜鲁珍，文献民，马兴瑞．复合材料圆管构件的等效模型研究．工程力学，２０００，１７（３）：１２７～１３２ ・７１８・ 西北工业大学学报 第２９卷 Ｊｉａｎｇ Ｌｕｚｈｅｎ，Ｗｅｎ Ｘｉａｎｍｉｎ，Ｍａ Ｘｉｎｇｒｕｉ．Ｏｎ ｔｈｅ Ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ Ｍｏｄｅｌ ｏｆ Ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ Ｔｕｂｕｌａｒ Ｅｌｅｍｅｎｔ．Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ， ２０００，１７（３）：１２７～１３２（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ） ［４］ Ｍｅｒｔｉｎｙ Ｐ，Ｅｌｌｙｉｎ Ｆ．Ａｎ Ｅｘｐｅｉｒｍｅｎｔｌａ Ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｉｏｎ ｏｎ Ｅｆｆｅｃｔ ｏｆ Ｍｕｌｔｉ－Ａｎｇｌｅ Ｆｉｌａｍｅｎｔ Ｗｉｎｄｉｎｇ ｏｎ ｔｈｅ Ｓｔｒｅｎｇｔｈ ｏｆ Ｔｕｂｕｌａｒ Ｃｏｍ． ｐｏｓｉｔｅ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ．Ｃｏｍｐｏ Ｓｃｉ ａｎｄ Ｔｅｃｈ，２００４，６４：１—９ ［５］ Ｓｕｎ Ｗ，Ｌｉｎ Ｆ，Ｈｕ Ｘ．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ—Ａｉｄｅｄ Ｄｅｓｉｇｎ ａｎｄ Ｍｏｄｅｌｉｎｇ ｏｆ Ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ Ｕｎｉｔ Ｃｅｌｌｓ．Ｃｏｍｐｏ Ｓｃｉ ａｎｄ Ｔｅｃｈ，２００１，６ １：２８９～ ２９９ ［６］ 付福超．纤维缠绕复合材料结构刚度预测模型与力学分析方法研究：［硕士学位论文］．南京：南京航空航天大学，２００７ Ｆｕ Ｆｕｃｈａｏ．Ｔｈｅ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ Ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｆ Ｆｉｌａｍｅｎｔ Ｗｏｕｎｄ Ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ Ｓｈｅｌｌｓ．Ｍａｓｔｅｒ Ｄｅｇｒｅｅ Ｄｉｓｓｅｒｔａｔｉｏｎ．Ｎａｎｊｉｎｇ：Ｎａｎｊｉｎｇ Ｕｎｉ． ｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ａｅｒｏｎａｕｔｉｃｓ ａｎｄ Ａｓｔｒｏｎａｕｔｉｃｓ，２００７（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ） ［７］ 孙江，肖琪．纤维缠绕复合材料纤维束形态的细观分析及弹性模量预测．复合材料学报，２００６，２３（６）：１９２～１９８ Ｓｕｎ Ｊｉａｎｇ，Ｘｉａｏ Ｑｉ．Ｅｌａｓｔｉｃ Ｍｏｄｕｌｕｓ Ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ ｏｆ Ｆｉｌａｍｅｎｔ Ｗｉｎｄｉｎｇ Ｃｏｍｐｏｓｉｔｅｓ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｍｅｓｏ．Ｓｃａｌｅ Ｆｉｌａｍｅｎｔ Ｕｎｄｕｌａｔｉｏｎ Ｐｒｏｐｅｒｔｙ Ａｎａｌｙｓｉｓ．Ａｃｔａ Ｍａｔｅｒｉａｅ Ｃｏｍｐｏｓｉｔａｅ Ｓｉｎｉｃａ，２００６，２３（６）：１９２～１９８（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ） ［８］ 郭章新，韩小平，朱西平，支希哲．纤维束交叉起伏对缠绕复合材料刚度的影响．复合材料学报，２０１０，２７（１）：１７９ １８４ Ｇｕｏ Ｚｈａｎｇｘｉｎ，Ｈａｎ Ｘｉａｏｐｉｎｇ，Ｚｈｕ Ｘｉｐｉｎｇ，Ｚｈｉ Ｘｉｚｈｅ．Ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ Ｓｔｉｆｎｅｓｓ ｏｆ Ｆｉｌａｍｅｎｔ Ｗｉｎｄｉｎｇ Ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｆｏｒ Ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ ｔｈｅ Ｆｉｌａｍｅｎｔ Ｕｎｄｕｌａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｃｒｏｓｓｏｖｅｒ．Ａｃｔａ Ｍａｔｅｒｉａｅ Ｃｏｍｐｏｓｉｔａｅ Ｓｉｎｉｃａ，２０１０，２７（１）：１７９～１８４（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ） ［９］ Ｒｏｕｓｓｅａｕ Ｊ，Ｐｅｒｒｅｕｘ Ｄ．Ｔｈｅ Ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ ｏｆ Ｗｉｎｄｉｎｇ Ｐａｔｔｅｒｎｓ ｏｎ ｔｈｅ Ｄａｍａｇｅ Ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ Ｆｉｌａｍｅｎｔ．Ｗｏｕｎｄ Ｐｉｐｅｓ．Ｃｏｍｐｏ Ｓｃｉ ａｎｄ Ｔｅｃｈ，１９９９，９：１４３９—１４４９ ［１０］Ｘｉａ Ｍ，Ｔａｋａｙａｎａｇｉ Ｈ，Ｋｅｍｍｏｃｈｉ Ｋ．Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ Ｔｒｎｓａｖｅｒｓｅ Ｌｏａｄｉｎｇ ｆｏｒ Ｌａｍｉｎａｔｅｄ Ｃｙｌｉｎｄｒｉｃａｌ Ｐｉｐｅｓ．Ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ． ２００１，５３：２７９—２８５ ［１１］杨福全，张天平，刘志栋，王小永．复合材料气瓶的有限元建模与屈曲分析．真空与低温，２００５，１１（１）：４０～４５ Ｙａｎｇ Ｆｕｑｕａｎ，Ｚｈａｎｇ Ｔｉａｎｐｉｎｇ，Ｌｉｕ Ｚｈｉｄｏｎｇ，Ｗａｎｇ Ｘｉａｏｙｏｎｇ．Ｆｉｎｉｔｅ Ｅｌｅｍｅｎｔ Ｍｏｄｅｌｉｎｇ ａｎｄ Ｂｕｃｋｌｉｎｇ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ＣＯＰＶ．Ｖａｃｕ— ｔｉｍ ａｎｄ Ｃｒｙｏｇｅｎｉｃｓ，２００５，１１（１）：４０—４５（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ） ［１２］Ｖｅｌｏｓａ Ｊ Ｃ，Ａｎｔｕｎｅｓ Ｊ Ｐ，Ｓｉｌｖａ Ｊ Ｆ，Ｍａｒｑｕｅｓ Ａ Ｔ．Ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ ｏｆ ａ Ｎｅｗ Ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ ｏｆ Ｆｉｌａｍｅｎｔ Ｗｏｕｎｄ Ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ Ｐｒｅｓｓｕｒｅ Ｃｙｌｉｎｄｅｒｓ．Ｃｏｍｐｏ Ｓｃｉ ａｎｄ Ｔｅｃｈ，２００９。６９：１３４８～ｌ３５３ Ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ ｏｆ Ｆｉｂｅｒ Ｕｎｄｕｌａｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｏｆ Ｔｈｉｎ Ｆｉｌａｍｅｎｔ—Ｗｏｕｎｄ Ｃｙｌｉｎｄｅｒｓ Ｇｕｏ Ｚｈａｎｇｘｉｎ，Ｈａｎ Ｘｉａｏｐｉｎｇ，Ｚｈｕ Ｘｉｐｉｎｇ，Ｚｈｉ Ｘｉｚｈｅ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，Ｎｏｒｔｈｗｅｓｔｅｒｎ Ｐｏｌｙｔｅｅｈｎｉｃａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ ａｎ ７１００７２，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｉｍ．Ｔｈｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｌｌ ｐａｐｅｒ ｒｅｖｉｅｗｓ ａ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｐａｐｅｒｓ ｉｎ ｔｈｅ ｏｐｅｎ ｌｉｔｅｒａｔｕｒｅ ａｎｄ ｔｈｅｎ ｐｒｏ— ｐｏｓｅｓ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ－ｍｅｎｔｉｏｎｅｄ ｔｉｔｌｅ ｓ ｒｅｓｅａｒｃｈ，ｗｈｉｃｈ ｗｅ ｂｅｌｉｅｖｅ ｉｓ ｍｏｒｅ ｅｆｉｃｉｅｎｔ ｔｈａｎ ｐｒｅｖｉｏｕｓｌｙ ａｎｄ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｅｘ—ｆ ｐｌａｉｎｅｄ ｉｎ ｓｅｃｔｉｏｎｓ １ ｔｈｒｏｕｇｈ ４．Ｆｉｇ．２ ｉｎ ｓｅｃｔｉｏｎ １ ｇｉｖｅｓ ｔｈｅ ｍｉｃｒｏｍｅｃｈａｎｉｃａｌ ｇｅｏｍｅｔｒｙ ｉｎ ｔｈｅ ｆｉｂｅｒ ｃｒｏｓｓｏｖｅｒ ｒｅｇｉｏｎｓ ｏｆ ｉｆｌａｍｅｎｔ－ｗｏｕｎｄ ｃｙｌｉｎｄｅｒｓ．Ｓｅｃｔｉｏｎ ２ ｓｈｏｗｓ ｈｏｗ ｔｏ ｃａｌｃｕｌａｔｅ ｔｈｅ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｍａｔｉｒｃｅｓ Ａ（ｓｔｒｅｔｃｈｉｎｇ），Ｂ（ｓｔｒｅｔｃｈｉｎｇ— ｂｅｎｄｉｎｇ ｃｏｕｐｌｉｎｇ）ａｎｄ Ｄ（ｂｅｎｄｉｎｇ）ａｌｏｎｇ ｔｈｅ ｌｅｎｇｔｈ ｏｆ ｔｈｅ ｕｎｄｕｌａｔｉｏｎ ａｓ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｗｉｎｄｉｎｇ ａｎｇｌｅ．Ｓｅｃｔｉｏｎ ３ ｇｉｖｅｓ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ ｔｈｅ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｏｆ ｆｉｌａｍｅｎｔ ｗｉｎｄｉｎｇ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅｓ．Ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｒｅｓｕｈｓ，ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｉｎ Ｆｉｇｓ．３ ｔｈｒｏｕｇｈ ５ ｉｎ ｓｅｃｔｉｏｎ ４，ａｎｄ ｔｈｅｉｒ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｐｒｏｖｉｄｅ ｕｓｅｆｕｌ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｅｆｉｃｉｅｎｔｆｌｙ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｉｎｇ ｔｈｅ ＦＥＡ （ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ａｎａｌｙｓｉｓ）ｏｆ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｐｒｅｓｓｕｒｅ ｖｅｓｓｅｌｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ，ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ，ｐｒｅｓｓｕｒｅ ｖｅｓｓｅｌｓ，ｆｉｌａｍｅｎｔ ｗｉｎｄｉｎｇ，ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｍａｔｉｒｘ，ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｍａｔｅｒｉａｌｓ，ｆｉｌａｍｅｎｔ ｕｎｄｕｌａｔｉｏｎ ａｎｄ ｃｒｏｓｓｏｖｅｒ，ｗｉｎｄｉｎｇ ａｎｇｌｅ．