函数的奇偶性与周期性检测题与详解答案

A级——保大分专练

1．下列函数为奇函数的是( ) A．f(x)＝x＋1 C．f(x)＝e

x3

1－x B．f(x)＝ln

1＋x D．f(x)＝xsin x

1＋x3

解析：选B 对于A，f(－x)＝－x＋1≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于B，f(－x)＝ln

1－x1－x－x＝－ln＝－f(x)，所以其是奇函数；对于C，f(－x)＝e≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于

1＋xD，f(－x)＝－xsin(－x)＝xsin x＝f(x)，所以其不是奇函数．故选B.

9＋1

2．(2019·南昌联考)函数f(x)＝x的图象( )

3A．关于x轴对称 C．关于坐标原点对称

xx B．关于y轴对称 D．关于直线y＝x对称

9＋1x－x解析：选B 因为f(x)＝x＝3＋3，易知f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴

3对称．

log2

3．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝

gxx＋1，x≥0，

，x＜0，

则f(－7)＝( )

A．3 C．2

B．－3 D．－2

解析：选B 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，

log2

且f(x)＝

gxx＋1，x≥0，

，x＜0，

所以f(－7)＝－f(7)＝－log2(7＋1)＝－3.

4．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝e，则g(x)＝( ) A．e－e 1－xxC.(e－e) 2

xx－xx1x－x B.(e＋e)

21x－x D.(e－e)

2

－x解析：选D 因为f(x)＋g(x)＝e，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e， 1x－x所以g(x)＝(e－e)．

2

1

52

5．设f(x)是定义在R上周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x－x，则f－＝( )

2

1A．－

41C. 4

1

B．－

21 D.

2

551解析：选C 因为f(x)是定义在R上周期为2的奇函数，所以f－＝－f＝－f.又当0222

11121512

≤x≤1时，f(x)＝x－x，所以f＝－＝－，则f－＝.

422224

6．(2019·益阳、湘潭调研)定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，当x∈(－3,0]时，

f(x)＝－x－1，当x∈(0,2]时，f(x)＝log2x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)的值等于( )

A．403 C．806

B．405 D．809

解析：选B 定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，即函数f(x)的周期为5.又当x∈(0,2]时，f(x)＝log2x，所以f(1)＝log21＝0，f(2)＝log22＝1.当x∈(－3,0]时，f(x)＝－x－1，所以f(3)＝f(－2)＝1，f(4)＝f(－1)＝0，f(5)＝f(0)＝－1.故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)＝403×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)]＋f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＋f(2 019)＝403×1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝403＋0＋1＋1＋0＝405.

17．已知函数f(x)是偶函数，当x＞0时，f(x)＝ln x，则ff2的值为________．

e

11解析：由已知可得f2＝ln2＝－2， ee

1所以ff2＝f(－2)．

e

又因为f(x)是偶函数，

1所以ff2＝f(－2)＝f(2)＝ln 2. e

答案：ln 2

1

8．(2019·惠州调研)已知函数f(x)＝x＋－1，f(a)＝2，则f(－a)＝________.

x1

解析：法一：因为f(x)＋1＝x＋，

x1

设g(x)＝f(x)＋1＝x＋，

x1

易判断g(x)＝x＋为奇函数，

x 2

11

故g(x)＋g(－x)＝x＋－x－＝0，

xx即f(x)＋1＋f(－x)＋1＝0，故f(x)＋f(－x)＝－2. 所以f(a)＋f(－a)＝－2，故f(－a)＝－4. 1

法二：由已知得f(a)＝a＋－1＝2，

a111即a＋＝3，所以f(－a)＝－a－－1＝－a＋－1＝－3－1＝－4.

aaa

答案：－4

9．(2019·陕西一测)若函数f(x)＝ax＋b，x∈[a－4，a]的图象关于原点对称，则函数g(x)＝bx＋，x∈[－4，－1]的值域为________．

解析：由函数f(x)的图象关于原点对称，可得a－4＋a＝0，即a＝2，则函数f(x)＝2x＋b，2

其定义域为[－2,2]，所以f(0)＝0，所以b＝0，所以g(x)＝，易知g(x)在[－4，－1]上单调递

axx1减，故值域为[g(－1)，g(－4)]，即－2，－. 2

1答案：－2，－

2

10．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg x，则满足f(x)>0的x的取值范围是____________．

解析：当x>0时，lg x>0，所以x>1， 当x<0时，由奇函数的对称性得－111．f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x＋3x＋1，求f(x)的解析式． 解：当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－2(－x)＋3(－x)＋1＝－2x－3x＋1. 由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)， 所以当x<0时，f(x)＝2x＋3x－1. 因为f(x)为R上的奇函数，故f(0)＝0.

－2x＋3x＋1，x>0，

综上可得f(x)的解析式为f(x)＝0，x＝0，

2x2＋3x－1，x<0.

2

2

2

2

2

3312．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f＋x＝－f－x成立．

22

(1)证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期；

3

(2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值．

33解：(1)证明：由f＋x＝－f－x， 22

3333且f(－x)＝－f(x)，知f(3＋x)＝f＋＋x＝－f－＋x＝－f(－x)＝f(x)，

2222

所以y＝f(x)是周期函数，且T＝3是其一个周期． (2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，

且f(－1)＝－f(1)＝－2，又T＝3是y＝f(x)的一个周期，所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2.

B级——创高分自选

1．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x－x，则函数y＝

3

f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( )

A．6 C．8

B．7 D．9

3

解析：选B 因为f(x)是最小正周期为2的周期函数，且0≤x<2时，f(x)＝x－x＝x(x－1)(x＋1)，

所以当0≤x<2时，f(x)＝0有两个根，即x1＝0，x2＝1.

由周期函数的性质知，当2≤x<4时，f(x)＝0有两个根，即x3＝2，x4＝3；当4≤x≤6时，f(x)＝0有三个根，即x5＝4，x6＝5，x7＝6，故f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为7.

2．(2019·洛阳统考)若函数f(x)＝ln(e＋1)＋ax为偶函数，则实数a＝________. 解析：法一：(定义法)∵函数f(x)＝ln(e＋1)＋ax为偶函数，∴f(－x)＝f(x)， 即ln(e＋1)－ax＝ln(e＋1)＋ax，

e＋11

∴2ax＝ln(e＋1)－ln(e＋1)＝lnx＝lnx＝－x，

e＋1e

－x－x－xxxxx1

∴2a＝－1，解得a＝－.

2

法二：(特殊值法)由题意知函数f(x)的定义域为R，由f(x)为偶函数得f(－1)＝f(1)， e＋11

∴ln(e＋1)－a＝ln(e＋1)＋a，∴2a＝ln(e＋1)－ln(e＋1)＝ln＝ln＝－1，

e＋1e

－1

1

－1

1

－1

1

∴a＝－.

21

答案：－ 2

－x＋2x，x>0，

3．已知函数f(x)＝0，x＝0，

x2＋mx，x<0

2

是奇函数．

4

(1)求实数m的值；

(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围． 解：(1)设x<0，则－x>0，

所以f(－x)＝－(－x)＋2(－x)＝－x－2x. 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， 于是x<0时，f(x)＝x＋2x＝x＋mx，所以m＝2. (2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，

2

2

2

2

结合f(x)的图象(如图所示)知

a－2>－1，

a－2≤1，

故实数a的取值范围是(1,3]． 所以1＜a≤3，5