CAPM证明的方法

多元正态分布假设下证明CAPM

对于市场上的每一个投资者而言，在单期决策中需要实现期望效用的最大化，即

~max Eui(Wi)

根据最优化条件，需要满足

~~Eui(Wi)(rjrf)0, i,jN~iwhere WiW0(1rfwij(~rjrf))j1

利用协方差定义，上式可以写成

~~~~Eui(Wi)E(rjrf)Cov(ui(Wi),rj)

两个符合联合正态分布的变量满足

Cov(g(X),Y)Eg(X)Cov(X,Y)

据此，上式可以化简为

~~~~~Eui(Wi)E(rjrf)Eui(Wi)Cov(Wi,rj)

定义投资者i的绝对风险厌恶系数为：

~Eui(Wi)i~Eui(Wi)

将式子

~~~~~Eui(Wi)E(rjrf)Eui(Wi)Cov(Wi,rj)变换得到

1i~~~E(rjrf)Cov(Wi,rj)，对i求和，得到

11~~~E(rjrf)()Cov(M,rj)Ii1iI Wm0(i11i)1Cov(~rm,~rj)I~~MWiWm0(1~rm)i1

式中

Wm0(i1I1i)1可以视为经济均衡时的综合相对风险厌恶系数。

把上式中的j换成m，可以得到

11~E(rmrf)Wm0()Var(~rm)Ii1i代入上式，可以得到

~~Cov(r,jrm)~~E(rjrf)E(rmrf)~Var(r)

m在二次效用函数条件下证明CAPM

假设二次效用函数为

bi2ui(z)aizz2

对于市场上的每一个投资者而言，在单期决策中需要实现期望效用的最大化，即

~max Eui(Wi)

根据最优化条件，需要满足

~Eui(Wi)(~rjrf)0, i,jN~iwhere WiW0(1rfwij(~rjrf))j1

利用协方差定义，上式可以写成

~~Eui(Wi)E(~rjrf)Cov(ui(Wi),~rj)

将效用函数代入，可得

1Iai~~~~E(rjrf)E(M)bWm0Cov(rm,rj)i1i

I~~MWiWm0(1~rm)i1其中。

将j换成m，可得

Iai~~E(rmrf)E(M)Wm0Var(~rm)bi1i

1结合上面两个式子，可以得到

~~Cov(r,rm)~jE(~rjrf)E(rmrf)~Var(r)m