1.1 将军饮马

将军饮马

唐朝诗人李欣(690--751,四川三台)的诗《古从军行》的开头两句是：“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河.”这两句诗隐含着一个被称为“将军饮马问题”的有趣数学问题:如右图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营，问怎样走才能使总的行程最短？传说古希腊数学家海伦（公元前250年前后）解决了这类问题，其思路是：过A点作河流同侧岸边l的对称点A，连AB交l于C点，连AC,则折线ACB就是符合题意的最短行程。验证如下——证明：在同侧岸边线l（点C除外）再任取一点D，连AD、AD、BD，由于两点A、A关于直线l对称,则ADDBADDBABACCBACCB。所以，折线ACB是最短的行程。证毕。解决将军饮马问题的两个关键是先作轴对称点（这里也可过B点作河流同侧岸边l的对称点B），后面验证中两次运用到结论“线段的中垂线上任意一点到该线段两端点的距离相等”。复杂问题源于几个基本问题的拼叠，把将军饮马问题与其它基本知识混杂起来也可编拟出花样翻新的数学题，下面举例破解之。例1（2013年湖南省高考题）在等腰直角三角形ABC中，点P是边AB上异于A,B的一点，光线从点P出发，经AB=AC4，BC,CA发射后又回到始点P（如右图）.若光线QR经过ABC的重心，则AP等于。解：如左图，建立直角坐标系xAy，则B(4,0)、C(0,4)，则ABC的重心G(,434)。分别作点P关于直线BC、AC的对称点M、N，则3可证三点M、G、N三点共线。设P(m,0)，则M(4,4m)、N(m,0)。由于kMNkGN，则m4444，解得m0。所以，原题中的AP等于。m43m433附注：光线的入射角等于反射角，这是作轴对称点的依据。甘大旺2012年书《高中数学解题专家》、2015年稿《数学史的新花样》选摘

例2(2013年重庆市高考题)已知两个定圆C1:x2y31、）22圆C2:(x3)2(y4)29，且M,N分别是圆C1,C2上的动点，P为x轴上的动点，则PMPN的最小值为（（A）524（C）622（B）171（D）17解：如右图，作圆C1关于x轴的对称圆C:(x2)2(y3)21，可证PMPN最小时x轴上的动点P位于关连心线C2C上（记作P0），且此时点M位于线段P0C与圆C的交点M0于x轴的对称点M0，点N位于线段P0C与圆C2的交点。于是，PMPN的最小值为N0C2C13(32)2(43)24524。M0P0P0N0M0所以，选（A）。附注：①在试场解答选择、填空题时，对于熟知的结论，不必在费时证明，直接运用即可；②顺便地，易知PMPN的最小值为452。