第八章 分离变数法数学物理方法 梁昆淼

1. 设X(x)满足方程XX0和边界条件X'(0)X'(l)0，其中可为任意实数，试根据的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值和本征函数。

解：可分为三种情况讨论：

1) 0 ，解为X(x)C1exC2ex，由边界条件只能得到平庸解X(x)0，显然没有

意义。 ----------------(3分)

2) 0，解为X(x)C1xC2，代入边界条件得C10，于是X(x)C2,C2为任意常数。 ----------------(2分)

3) 0，解为X(x)C1cosxC2sinx.,代入边界条件得

C20,C20,C1sinl0. (C1sinlC2cosl)0.a) 当  的取值使得 sinl0 时，必有 C10 ，这和上两种情况一样没有意义。

b)当  的取值使得 sinl0 时， C1 不必为零，这种是有意义的情况。此时由

sinl0 得到本征值:

lnn222(n1,2,3,).l

n222(n0,1,2,3,).l综合2）和3）两种情况得本征值

此时，本征解为

X(x)C1cosnx.l ----------------(5分)

1. 2.已知复变量函数

件，

为解析函数，其实部

满足下面的条

(1) 试给出所满足的数学物理定解问题；

(2) 试用分离变数或其它方法找到泛定方程的一个特解，并利用它将或方向上的

；

边界条件齐次化，然后求解

(3) 根据求出虚部。

3.设X(x)满足方程XX0和边界条件X'(0)X'(2)0，其中可为任意实数，试根据的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值和本征函数。(本小题 11 分)

解：(1) 由题意，对于常微分方程：

X(x)X(x)0 (1)

X(0)X(2)0 (2)

现在先求解X，对0,0,0三种情况进行讨论：

a) 0，由(1)式的解是

X(x)C1e

xC2ex

积分常数C1，C2，由(2)决定，即

C1C202Ce，1EC2e2E0

由此得出C10， C20而X(x)0。无实际意义，即0无可能性。（3分）

b) 0，式(1)的解是

X(x)C1xC2 则根据(2)式，有

 C10， X(2)C10

即C2为任意数

此时X(x)C2。（3分）

c) 0，由(1)解是

X(x)C1cosxC2sinx 则由(2)式，有

C1sin20，C20，

由此有

C10且C20 或者 C20和sin20

因C10， C20时，X(x)0无实际意义。因此，只能有

sin2E0和C20

由sin20同时我们可以得到的表达式：

k2,(k1,2,3)4 (3) （4分）

k2X(x)C1cosx,(k1,2,3)4对应的本征函数为： （1分）

4. 设X(x)满足方程XX0和边界条件X'(0)X(/2)0，其中可为任意实数，试根据的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值和本征函数。

5. 设X(x)满足方程XX0和边界条件X(0)X(l)0，其中可为任意实数，试

根据的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值。

解：可分为三种情况讨论：

4) 0，微分方程解为X(x)C1eC1(elxC2ex，由X(0)0得C1C2，由X(l)0得

el)0，得C1C20，得到平庸解X(x)0，显然没有意义。

----------------(3分)

5) 0，解为X(x)C1xC2，代入边界条件得C1C20，也得到平庸解X(x)0，没有意义。

6) ----------------(2分)

7) 0，解为X(x)C1cosxC2sinx.,代入边界条件得

C10,C10,CcoslCsinl0.21C2sinl0.

a) 当  的取值使得 sinl0 时，必有 C20，这和上两种情况一样没有意义。

b) 当  的取值使得 sinl0 时， C2 不必为零，这种是有意义的情况。此时由

sinl0 得到本征值:

lnn222(n1,2,3,).l

此时，本征解为

X(x)C2sinnx.l

----------------(5分)