2015高中数学 2.3数学归纳法练习 新人教A版选修2-2

一、选择题

111*

1．用数学归纳法证明1＋＋＋„＋n1)时，第一步应验证不等式

232－1( )

1

A．1＋<2

211

C．1＋＋＜3

23[答案] B

[解析] ∵n∈N，n＞1，∴n取第一个自然数为2，左端分母最大的项为选B.

2．(2014·秦安县西川中学高二期中)用数学归纳法证明1＋a＋a＋„＋a(n∈N，a≠1)，在验证n＝1时，左边所得的项为( )

A．1 C．1＋a [答案] B

[解析] 因为当n＝1时，a3．设f(n)＝1A． 2n＋111C．＋ 2n＋12n＋2[答案] D

[解析] f(n＋1)－f(n)＝－＝

11111 ＋＋„＋＋＋2n2n＋12n＋1n＋1＋1n＋1＋2

n＋1

*

2

*

11

B．1＋＋＜2

23111D．1＋＋＋＜3

234

11

＝，故2－13

2

n＋1

1－a＝

1－an＋2

B．1＋a＋a D．1＋a＋a＋a

2

3

2

＝a，所以此时式子左边＝1＋a＋a.故应选B.

22

111*

＋＋„＋(n∈N)，那么f(n＋1)－f(n)等于( ) n＋1n＋22n1

B． 2n＋211D．－ 2n＋12n＋2

111＋1＋„＋1＝1＋－ 2n2n＋12n＋1n＋1n＋1n＋211

－. 2n＋12n＋2

*

4．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得( )

A．当n＝6时该命题不成立 C．当n＝4时该命题不成立 [答案] C

B．当n＝6时该命题成立 D．当n＝4时该命题成立

[解析] 原命题正确，则逆否命题正确．故应选C.

5．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，x＋y能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是( )

A．假设n＝k(k∈N)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立 B．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立 C．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋2时命题也成立 D．假设n＝2k＋1(k∈N)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立 [答案] C

[解析] ∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1.故应选C.

6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为( ) A．f(n)＋n＋1 C．f(n)＋n－1 [答案] C

[解析] 增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C.

二、填空题

7．(2014·湖北重点中学高二期中联考)用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)„(n＋n)＝2·1·3„(2n－1)(n∈N)时，从“n＝k到n＝k＋1”左边需增乘的代数式为( )

A．2k＋1 2k＋1C．

k＋1[答案] B

[解析] n＝k时，等式为(k＋1)(k＋2)„(k＋k)＝2·1·3·„·(2k－1)，

kn**

nnB．f(n)＋n D．f(n)＋n－2

B．2(2k＋1) 2k＋3D． k＋1

n＝k＋1时，等式左边为(k＋1＋1)(k＋1＋2)„(k＋1＋k＋1)＝(k＋2)(k＋

3)„(2k)·(2k＋1)·(2k＋2)，右边为2＋1)，故选B.

1111123

8．已知数列，，，„，，通过计算得S1＝，S2＝，S3＝，由

1×22×33×4nn＋1234此可猜测Sn＝________.

[答案]

k＋1

·1·3·„·(2k－1)(2k＋1)．左边需增乘2(2knn＋1

[解析] 解法1：通过计算易得答案．

1111

解法2：Sn＝＋＋＋„＋

1×22×33×4nn＋11111111

＝1－＋－＋－＋„＋－ 22334nn＋1＝1－

1n＝. n＋1n＋1

11111111

9．用数学归纳法证明：1－＋－＋„＋－＝＋＋„＋，第一步应

2342n－12nn＋1n＋22n验证的等式是________．

11

[答案] 1－＝ 22

111

[解析] 当n＝1时，等式的左边为1－＝，右边＝，∴左边＝右边．

222三、解答题

10．(2013·大庆实验中学高二期中)数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N)． (1)计算a1、a2、a3，并猜想an的通项公式； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．

[证明] (1)当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1； 3

当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝；

27

当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝.

42－1*

由此猜想an＝n－1(n∈N)

2

(2)证明：①当n＝1时，a1＝1结论成立， ②假设n＝k(k≥1，且k∈N)时结论成立， 2－1即ak＝k－1，

2当n＝k＋1时，

k*

*

nak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，∴2ak＋1＝2＋ak

2＋ak2－1

∴ak＋1＝＝， k22

2－1

∴当n＝k＋1时结论成立，于是对于一切的自然数n∈N，an＝n－1成立．

2

*

k＋1

n

一、选择题

11．用数学归纳法证明1＋2＋3＋„＋n＝础上加上( )

A．k＋1

k＋1＋k＋1C． 21)

[答案] D

2

4

2

2

2

n4＋n2

2

，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基

B．(k＋1)

D．(k＋1)＋(k＋2)＋(k＋3)＋„＋(k＋

2

2

2

2

[解析] n＝k时，左边＝1＋2＋3＋„＋k，n＝k＋1时，左边＝1＋2＋3＋„＋k＋(k＋1)＋(k＋2)＋„＋(k＋1)，故选D.

2

2

222

12．设凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.( )

A．2π πC． 2[答案] B

[解析] 将k＋1边形A1A2„AkAk＋1的顶点A1与Ak相连，则原多边形被分割为k边形A1A2„Ak与三角形A1AkAk＋1，其内角和f(k＋1)是k边形的内角和f(k)与△A1AkAk＋1的内角和π的和，故选B.

13．(2014·揭阳一中高二期中)用数学归纳法证明“n＋(n＋1)

3

*

3

3

B．π πD．

3

＋(n＋2)(n∈N)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开( )

A．(k＋3) C．(k＋1) [答案] A

[解析] 因为从n＝k到n＝k＋1的过渡，增加了(k＋1)，减少了k，故利用归纳假设，只需将(k＋3)展开，证明余下的项9k＋27k＋27能被9整除．

14．(2014·合肥一六八中高二期中)观察下列各式：已知a＋b＝1，a＋b＝3，a＋b＝4，a＋b＝7，a＋b＝11，„，则归纳猜测a＋b＝( )

A．26 C．28 [答案] D

[解析] 观察发现，1＋3＝4,3＋4＝7,4＋7＝11,7＋11＝18,11＋18＝29，∴a＋b＝29. 二、填空题

15．用数学归纳法证明“2

n＋1

7

7

4

4

5

5

7

7

2

2

3

3

3

2

3

3

33

B．(k＋2)

D．(k＋1)＋(k＋2)

3

3

3

B．27 D．29

≥n＋n＋2(n∈N)”时，第一步的验证为________．

2*

[答案] 当n＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立

[解析] 当n＝1时，左≥右，不等式成立， ∵n∈N，∴第一步的验证为n＝1的情形． 16．对任意n∈N3[答案] 5

[解析] 当n＝1时，3＋a能被14整除的数为a＝3或5，当a＝3时且n＝3时，3＋3不能被14整除，故a＝5.

三、解答题

17．在平面内有n条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．

求证：这n条直线将它们所在的平面分成

5

6

3

10

*,4n＋2

*

＋a2n＋1

都能被14整除，则最小的自然数a＝________.

n2＋n＋2

2

个区域．

[证明] (1)n＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立． (2)假设当n＝k(k≥2)时，k条直线将平面分成

k2＋k＋2

2

块不同的区域，命题成立．

当n＝k＋1时，设其中的一条直线为l，其余k条直线将平面分成

k2＋k＋2

2

块区域，直线l与其余k条直线相交，得到k个不同的交点，这k个点将l分成k＋1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k＋1块．

从而k＋1条直线将平面分成

k2＋k＋2

2k＋1＋k＋1＋2

＋k＋1＝块区域．

2

2

所以n＝k＋1时命题也成立． 由(1)(2)可知，原命题成立．

18．试比较2＋2与n的大小(n∈N)，并用数学归纳法证明你的结论． [分析] 由题目可获取以下主要信息：

①此题选用特殊值来找到2＋2与n的大小关系； ②利用数学归纳法证明猜想的结论． 解答本题的关键是先利用特殊值猜想． [解析] 当n＝1时，2＋2＝4>n＝1， 当n＝2时，2＋2＝6>n＝4， 当n＝3时，2＋2＝10>n＝9， 当n＝4时，2＋2＝18>n＝16， 由此可以猜想， 2＋2>n(n∈N)成立 下面用数学归纳法证明： (1)当n＝1时，

n2

*4

2

3

2

2

21

2

n2*

n2

左边＝2＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边， 所以原不等式成立．

当n＝2时，左边＝2＋2＝6， 右边＝2＝4，所以左边>右边；

当n＝3时，左边＝2＋2＝10，右边＝3＝9， 所以左边>右边．

(2)假设n＝k时(k≥3且k∈N)时，不等式成立， 即2＋2>k.那么当n＝k＋1时， 2

k＋1

k2

*

3

2

2

2

1

＋2＝2·2＋2＝2(2＋2)－2>2·k－2.

2

2

2

kk2

又因：2k－2－(k＋1)＝k－2k－3 ＝(k－3)(k＋1)≥0， 即2k－2≥(k＋1)，故2

2

2

k＋1

＋2>(k＋1)成立．

*

2

根据(1)和(2)，原不等式对于任何n∈N都成立．