数列极限的教案

数列极限

极限这个概念在我们生活中经常出现，有人专门研究人的寿命极限，人的运动极限（包括人的速度极限，人的跳高极限，人的耐力极限等等），而我们今天研究数学中有关无穷数列的极限问题。

111111,,,,...,,...ann 例如：(1)234n 通项

1234nn,,,,...,,...bnn1 通项n1 (2)2345111111,,,,...,()n,...cn()n22 （3）24816 通项

当n无限增大时，这三个数列的发展趋势如何呢？我们可以在执教坐标系中，分别画出数列的图形，直接来观察数列的发展趋势。

图(1)略，

图(1)中，随着n的无限增大，数列中的点在向x轴不断靠近，函数值在不断接近于零，an无线趋近于零。

图(2)略，

图(2)中，随着n的无限增大，数列中的点在向y1这条直线不断靠近，函数值在不断接近于1，bn无限趋近于1。

图(3)略，

图(3)中，随着n的无限增大，cn无限趋近于0。

这三个数列都无限趋近于某一常数，趋近的方式有所不同，an递减趋近于0，bn递增趋近于1，cn 摆动趋近于0。

我们以第一个数列{an}为例，an无限趋近于0，是指随着n的增大，an与0的距离可以充分小，即可以小于事先给定的任何正数。

例如：给定整数0.1，只要n10，|an0|0.1；

给定正数0.01，只要n100，|an0|0.01；

给定正数0.001，只要n1000，|an0|0.001；

…

11nn ，即

一般化，用字母表示，给定正数，要使

|an0|

取

1Nmax{[],1}，当nN时，都有|an0|，（说明1：取整函数；说明2：N并不唯一）

11{}所以，随着n的增大，n与0的距离可以小于任何事先给定的正数，这时我们也可以称0是数列n的极限。

定义：设{an}为给定数列，A为一常数，如果对于任意给定的0，总存在相应的正整数N，使得nN时，都有|anA|，则称A为数列{an}的极限或叫做数列{an}收敛于A，记作nn1nn1例1：求证：

limlimanA。

n111|n1n1， 证明：对任意0，要使n1，即

|取

1Nmax{[1],1}nn1|lim1nn1 ，则当nN时，都有n1，|例2：判断下列函数是否存在极限

n5n,an11,n5an(1)n,nN*an6,nN*n(1) (2) （3）

解：(1)存在；(2)不存在；(3)存在