第３３卷第４期 Ｖｏ１．３３ Ｎｏ．４ 井冈山大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｊｉｎｇｇａｎｇｓｈａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ） ５７ ２０１２年７月 Ｊｕｌｙ．２０１２ 文章编号：１６７４—８０８５（２０１２）０４—００５７—０４ 统一混沌系统的电路设计 刘明华 （井冈山大学电子与信息工程学院，江西，吉安３４３００９） 摘要：对统一混沌系统的动力学行为进行了分析，包括平衡点、Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数谱和计算机模拟。根据统一混沌 系统的状态方程，设计了其混沌电子电路，并对混沌电路设计过程进行了详细的推导和分析。给出了统一混沌系 统的计算机模拟结果和硬件电路实验结果，两者结果一致，证明了电路设计方法的可行性。 关键词：混沌；统一混沌系统；电路设计；硬件电路实验 中图分类号：ＴＮ７１０；ＴＮ９１８ 文献标识码：Ａ ＤＯＩ：１０．３９６９￣．ｉｓｓｎ．１６７４—８０８５．２０１２．０４．０１３ ＣＩＲＣＵＩＴ ＩＭＰＬＥＭＥＮ１１ＡＴＩｏＮ ｏＦ ＵＮＩＦＩＥＤ ＣＨＡｏＴＩＣ ＳＹＳＴＥＭ ＵＵＭｉｎｇ—ｈｕａ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ ａｎｄ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｊｉｎｇｇａｎｇｓｈａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｊｉ’ａｌｌ，Ｊｉａｎｇｘｉ ３４３００９，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｓｏｍｅ ｂａｓｉｃ ｄｙｎａｍｉｃａｌ ｂｅｈａｖｉｏｒｓ ａｒｅ ａｎａｌｙｚｅｄ ｉｎ ｕｎｉｉｅｄ ｃｈａｏｔｆｉｃ ｓｙｓｔｅｍ ｉｎｃｌｕｄｉｎｇ ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ， Ｌｙａｐｕｎｏｖ ｅｘｐｏｎｅｎｔｓ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ａｎｄ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ．Ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｓｔａｔｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｕｎｉｆｉｅｄ ｓｙｓｔｅｍ，ａ ｎｏｖｅｌ ｃｉｒｃｕｉｔ ｉｓ ｄｅｓｉｇｎｅｄ ｔｏ ｒｅａｌｉｚｅ ｔｈｅ ｕｎｉｆｉｅｄ ｃｈａｏｔｉｃ ｓｙｓｔｅｍ ａｎｄ ｔｈｅ ｄｅｔａｉｌｅｄ ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ ｏｆ ｈｅ ｃ￣ｃｕｔｉｔ ｉｓ ｇｉｖｅｎ． Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ ｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎｓ ａｇｒｅｅ ｗｉｔｈ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓ，ｗｈｉｃｈ ｃａｎ ｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｆｅａｓｉｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｃｈａｏｔｉｃ ｃｉｒｃｕｉｔ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｃｈａｏｓ；ｕｎｉｉｅｄ ｆｃｈａｏｔｉｃ ｓｙｓｔｅｍ；ｃｉｒｃｕｉｔ ｄｅｓｉｇｎ；ｈａｒｄｗａｒｅ ｃ￣ｃｕｉｔ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ １９６３年，Ｌｏｒｅｎｚ发现了第一个经典混沌系统…， 即Ｌｏｒｅｎｚ系统。在此基础上，Ｃｈｅｎ和Ｕｅｔａ用混沌 入端接地，这种设计方法可以使得所设计的电路简 洁统一、电路中元器件参数具体值与系统中系数具 有对应关系，文章最后给出了统一混沌系统的计算 机模拟结果和硬件电路实验结果。 反控制方法发现了一个与Ｌｏｒｅｎｚ系统对偶的新混 沌系统，即Ｃｈｅｎ系统【２１。之后，Ｃｈｅｎ和Ｌｎ进一步 发现了一个在Ｌｏｒｅｎｚ系统与Ｃｈｅｎ系统之间起着关 键桥梁作用的混沌系统，即Ｌｔｉ系统［引。这三个系统 之间都是拓扑不等价，但都是一个简单的三阶二次 １统一混沌系统的动学行为 根据参考文献【４］，统一混沌系统的状态方程可 表示为 ：自治微分方程，方程的右边都有两个二次非线性 项，都能产生双涡卷混沌吸引子，具有类似但不相 同的动力学行为。在他们的努力下，这三个被统一 起来，被称为统一系统【４】。近些年来，混沌的生成 与应用研究已成为一个热点，尤其是混沌电路的实 现方面 － 。 Ｑ （２５ ＋ｌ０）（ 一 ） ：（２８—３５ａ）Ｘ－－ＸＺ＋（２９ 一１） ＋８ ３ （１） Ｑ 本文在统一混沌系统的基础上，分析了它的动 力学行为，包括平衡点、Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数谱。更进一 步，设计了实现统一混沌系统的电子电路，电路中 ｄＺ ｄｒ 运算放大器都采用信号从反相输入端输入，同相输 其中参数 ∈［０，１］。考虑系统（１）的线性部分，一个 收稿日期：２０１２－０２—２４；修改日期：２Ｏ１２一Ｏ３—２７ 作者简介：刘明华（１９７５一），男，江西吉水人，副教授，博士，主要从事非线性电路与系统研究（Ｅ—ｍａｉｌ：ｌｉｕｍｉｎｇｈｕａ２０００＠ｓｉｎａ．ｃｏｍ） ５８ 井冈山大学学报（自然科学版） 常数矩阵Ａ＝［ａ ］３ｘ３，Ｖａｎｅｃｅｋ和Ｃｅｌｉｋｏｖｓｋｙ提出 ２混沌电路设计 的一个临界条件是ａ１，０２，［８】。根据这个条件，系统 的整个混沌系统族可以分为如下几类：（１１若 鉴于所设计的电路中采用了运算放大器ＴＬ０８２， ０ ＜０．８，有ａ１，ａ，１＞０，则系统属于广义Ｌｏｒｅｎｚ 根据手册可以查阅到ＴＬ０８２的工作电压为±１５Ｖ 系统；（２）若 ＝０．８，有ａ１，ａ， ＝０，则系统属于 时，线性动态范围为±１３．５Ｖ。因此设计电路时， 广义Ｌｎ系统；（１）若０．８＜ ｌ，有ａ＂ａ，，＜０， 必须考虑到系统（１）中变量的动态范围是否超出了 则系统属于广义Ｃｈｅｎ系统【９】。系统（１）随ａ变化的 运算放大器的线性动态范围。如果超出，则必须对 Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数如图１所示，且当 ＝０．８时，系统 原状态方程中的变量进行线性压缩，否则运算放大 的最大Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数达到Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数谱的最高 器会进入饱和状态，从而无法观察到完整、正确的 峰，即 ＝２．３５３８。如图２是系统（１）中 取三个 混沌波形。根据图２所示的计算机模拟结果可知， 不同值时的计算机模拟结果。 变量的动态范围超出了运算放大器件的线性动态 范围，因此要进行线性压缩。在此，取系统（１）的变 １ Ｖ Ｖ ＼Ｊ 量压缩１０倍，即令 ＝１０ｕ，Ｙ＝１０ｖ，ｚ＝１０ｗ， ，’ １ ２ 代入系统（１），得到 ｄｕＩ：（２５ａ＋１０）（ｖ－ｕ） ＵＺ－ 。人 —— ：（２８—３５ ） 一１０ ｗ＋（２９ａ～１）ｖ（４） 图１统一混沌系统的Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数 ：１ｏ ｖ一 ｗ Ｆｉｇ．１ Ｌｙａｐｕｎｏｖ ｅｘｐｏｎｅｎｔ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ｏｆｕｎｉｉｆｅｄ ｃｈａｏｔｉｃ ｓｙｓｔｅｍ 令粤：ｄ ｄ ：＿ｄｚ：０，即 由（４）式所得吸引子的计算机模拟如图３所示。很显 ｒ ｄ 然，图３中各变量的动态范围已经限制在运算放大 器的线性范围之内。 （２５ａ＋ｌＯ）（ｙ— 、＝０ （２８—３５ａ）ｘ一． ＋（２９ａ一１）ｙ＝０ （２） 一 ｚ：０ ３ ； ．； 可以计算出系统（１）的３个平衡点 分别为 ｆ ＝（０，０，０） 【ａ）ａ ０ Ｃｏ）ａ ０．８ 【ｃ）ｎ １．０ ｛ ＝（ ，ｘ／—（８＋ａ）（—９－２ａ），２７—６ ） 图３压缩后系统（１）计算机模拟结果 ｌ ＝（－￣／—（８＋ａ）（—９－２ａ），一￣／—（８＋ａ）（—９－２ａ），２７～６ａ） Ｆｉｇ．３ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓ ｂｙ ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｎｇ （３） 图４为实现混沌系统（１）的电路，电路中运算放 其中 是三维相空间中的一个鞍点， 和 一是不 大器及其外围电阻和电容器件可实现加减比例运 稳定的焦点。 算、积分运算、反相运算。所有运算放大器都采用 信号从反相端输入，同相端接地，这样设计的电路 从结构上对称，便于参数计算。乘法器则实现非线 性乘积项，须注意的是乘法器ＡＤ６３３的电压增益 （ａ）ａ＝０ Ｃｏ）ａ；０．８ （ｃ）ａ＝１．０ 为０．１。根据图４所示电路，可知对应的状态方程为 图２系统（１）计算机模拟结果 Ｆｉｇ．２ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓ ｏｆｕｎｉｆｉｅｄ ｃｈａｏｔｉｃ ｓｙｓｔｅｍ 井冈山大学学报（自然科学版） ｄｕ Ｒｒ １ Ｒｒ １ ５９ Ｒ３２＝ｌｋ，参数ａ与Ｒ１１、Ｒ１２、Ｒ２３、Ｒ２４、Ｒ３１的关 出 。。ＲＣ０ ｄｖ Ｒｒ １ ： ｃ０ Ｒｒ １ Ｒｒ １ 系如表１所示。运算放大器构与外围两个电阻 与 成反相器，可取 ＝ｌＯｋ。１／（ＲｏＣｏ）是积分因子，它 ｄｆ 。风 —— 一２２ ｖ一Ｖ一—— 一２３ ＲＣ０ （５） 混沌信号的频率，通过改变 或Ｃ０可以改变混沌信 号的频率，从而满足混沌通信的要求。在硬件电路 生 Ｒ ｖ（０１ ＷＩ、 ．Ｒ ｄｗ——＝一 ——生 Ｗ＋生 ＋ ——ＩＵｖ） 实验中，如果混沌信号的频率太低，不利于混沌信 一：一．１ ｖ） ｄｆ 。ＲＣ０ ：Ｒ 令ｆ＝ｔ／（ＲｏＣｏ），则（５）式可以变换为 ｄｕ Ｒｒ Ｒ， ｄｆ 墨ｌ １２ ｄｖ Ｒｆ Ｒｆ Ｒｆ ＝——Ｊ ——一 Ｖ一 ＋ ｄｒ ： ， （６） ＪＲ， ， — １，一— ｆ０．１ ｗ１ 一＝一 ——ｄＷ一：一生 Ｗ＋生 ＋ 一Ｉ… ｖＵ．１ １，｝） ｄｆ 民Ｃ０ ： Ｃ０ 图４统一混沌系统电路图 Ｆｉｇ．４ Ｃｉｒｃｕｉｔ ｄｉａｇｒａｍ ｏｆｕｎｉｆｉｅｄ ｃｈａｏｔｉｃ ｓｙｓｔｅｍ 比较（４）式和（６）式，可以推导出： Ｒｆ／Ｒ￣ｌ＝２５ａ＋１０，Ｒ／／Ｒｌ２＝２５ａ＋１０，Ｒｆ／Ｒ２１＝２８， Ｒｆ Ｒ２２＝１， ／ ３＝３５ａ， ／Ｒ２４＝２９ａ，Ｒｆ／Ｒ２５＝１００， ／ ｌ＝（ｃｃ＋８）／３，Ｒｆ／ ２＝１００，令ＲＩ＝１００ｋ，可 以计算出 ｌ＝２ｏ／（ｓａ＋２）ｋ， ２＝２０／（５ａ＋２）ｋ， ＲＥ１：３．５７ｋ， ＲＥ２＝１００ｋ， ＲＥ３＝２０／（７ａ）ｋ， ４：１００／（２９ａ）ｋ， ５＝ｌｋ，Ｒ３Ｉ＝３０ｏ／（ ＋８）ｋ， 号在普通的示波器上观察，为了使混沌信号能够在 普通的示波器上清晰显示，就必须提高混沌信号的 频率，最简单且有效的方法就是通过减小 或Ｃｏ， 从而可以在普通的示波器上可以观察到清晰、连 贯、完整而稳定的混沌信号。本电路中取心＝５０ｋ 和 ＝３３ｎＦ，可以满足硬件电路实验要求。 表１参数ａ与电阻（ｋＱ）关系 Ｔａｂｌｅ １ Ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ａ ａｎｄ ｒｅｓｉｓｔａｎｃｅ ０．１ ０．２ ０＿３ ０．４ ０．５ Ｏ．６ ０．７ ０．８ ０．９ １．０ Ｒｎ ８ ６．７ ５．７ ５ ４，４ ４ ３．６ ３．３ ３．１ ２．９ Ｒｔ２ ８ ６．７ ５．７ ５ ４．４ ４ ３．６ ３．３ ３．１ ２．９ Ｒ２３ ２８．８ ２４．３ ９．５ ７．Ｉ ５．７ ４．７ ４．２ ３．８ ３．２ ２．９ Ｒ２４ ３４．５ １７．２ １１．５ ８．６ ６．９ ５．７ ４．９ ４．３ ３．８ ３．４ Ｒ，ｌ ３７ ３６．６ ３６．１ ３５．７ ３５－３ ３４．９ ３４．５ ３４．１ ３３．７ ３３＿３ ３ 电路实验结果 根据图４所示的电路图搭建硬件电路平台，并 进行电路实验，实验结果如图５所示。其中（ａ）为 ａ＝０．１时Ｌｏｒｅｎｚ混沌吸引子在Ｕ．Ｗ平面上的相图； （ｂ）为ａ＝０．８时Ｌｎ混沌吸引子在Ｕ—Ｗ平面上的相 图，（ｃ）为 ：ｌ时Ｃｈｅｎ混沌吸引子在Ｕ—Ｗ平面上的 相图。计算机模拟结果与电路实验结果是吻合的。 Ｉ＿ｌ （ａ】ａ ０ Ｃｏ）ａ ０．８ （ｃ）ａ １．０ 图５电路实验结果 Ｆｉｇ．５ Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ ｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎｓ ４结论 本文在统一混沌系统的基础上，对它的动力学 行为进行了相关的研究。根据其状态方程，设计了 实现该混沌系统的电子电路，电路中所有运算器采 ６０ 井冈山大学学报（自然科学版） （上接第４７页） 参考文献： ［１］ Ｃｏｅｎ Ｅ Ｓ，Ｍｅｙｃｒｏ、】ｌｒｉｔｚ Ｅ Ｍ．Ｔｈｅ ｗａｒ ｏｆ ｔｈｅ ｗｈｏｒｌｓ： ｇｅｎｅｔｉｃ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ ｃｏｎｔｒｏｌｌｉｎｇ ｆｌｏｗｅｒ ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ［Ｊ］． Ｎａｔｕｒｅ，１９９１，３５３：３１－３７ ｓｅｘｕａｌ ｏｒｇａｎ ｏｎｔｏｇｅｎｅｓｉｓ：ａ ｇｅｎｅｔｉｃ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｏｖｕｌｅ ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ ｉｎ Ａｒａｂｉｄｏｐｓｉｓ ｔｈａｌｉａｎａ［Ｊ］．Ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ， １９９７，１２４：１３６７—１３７６ ｉｎｋ Ｖ．Ｐｈｏｔｏｒｅｃｅｐｔｏｒｓ ｉｎ ｓｉｇｎａｌ 【７】 Ｌｉｕ Ｚ，Ｆｒａｎｋｓ Ｒ Ｇ，Ｋｌ［２］ Ｃｏｎｎｅｒ Ｊ，Ｌｉｕ Ｚ．ＬＥＵＮＩＧ，ａ ｐｕｔａｔｉｖｅ ｔｒａｎｓｃｒｉｐｔｉｏｎａｌ ｃｏｒｅｐｒｅｓｓｏｒ ｔｈａｔ ｒｅｇｕｌａｔｅｓ ＡＧＡＭＯＵＳ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｄｕｒｉｎｇ ｔｒａｎｓｄｕｃｔｉｏｎ：ｐａｔｈｗａｙｓ ｏｆ ｅｎｌｉｇｈｔｅｎｍｅｎｔ［Ｊ］．Ｐｌａｎｔ Ｃｅｌｌ， ２０００，１２：１－１４ ｆｌｏｗｅｒ ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ［Ｊ］．Ｐｒｏｃ Ｎａｔｌ Ａｃａｄ Ｓｃｉ ＵＳＡ，２０００， ９７：１２９０２．１２９Ｏ７ Ｊ］．植物生理学通 ［８】 杨红玉，张学琴．拟南芥ＷＤ４０蛋白［讯，２００８，４４（５）：１０２５－１０３３ ［３】Ｌｉｕ Ｚ，Ｍｅｙｅｒｏｗｉｔｚ Ｅ Ｍ．ＬＥＵＮＩＧ ｒｅｇｕｌａｔｅｓ ＡＧＡＭＯＵＳ ［９】 Ｂｌａｃｋ Ｄ Ｌ．Ｍｅｃｈａｎｉｓｍｓ ｏｆ ａｌｔｅｒｎａｔｉｖｅ ｐｒｅ—ｍｅｓｓｅｎｇｅｒ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｉｎ Ａｒａｂｉｄｏｐｓｉｓ ｆｌｏｗｅｒｓ［Ｊ］．Ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ，１９９５， １２１：９７５．９９１ ＲＮＡ ｓｐｌｉｃｉｎｇ［Ｊ］．Ａｎｎｕ Ｒｅｖ Ｂｉｏｃｈｅｍ，２００３，７２：２９ １－３３６ Ａｒｉ Ｓ，Ｒａｆａｌｓｋａ Ｉ，ｅｔ ａ１．Ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ［１０］ Ｓｔａｍｍ Ｓ，Ｂｅｎ—［４】Ｄｒｅｗｓ Ｇ Ｎ，Ｂｏｗｍａｎ Ｊ Ｌ Ｍｅｙｅｒｏｗｉｔｚ Ｅ Ｍ．Ｎｅｇａｔｉｖｅ ｒｅｇｕｌａｔｉｏｎ ｏｆｔｈｅＡｒａｂｉｄｏｐｓｉｓ ｈｏｍｅｏｔｉｃ ｇｅｎｅＡＧＡＭＯＵＳ ａｌｔｅｎａｔｒｉｖｅ ｓｐｌｉｃｉｎｇ［Ｊ］．Ｇｅｎｅ，２００５，３４４：１－２０ Ｌａｒｅａｕ Ｌ Ｆ，Ｇｒｅｅｎ Ｒ Ｅ，Ｂｈａｔｎａｇａｒ Ｒ Ｓ，ｅｔ ａ１．Ｔｈｅ ｂｙ ｔｈｅ ＡＰＥＴＡＬＡ２ ｐｒｏｄｕｃｔ［Ｊ］．Ｃｅｌｌ，１９９１，６５：９９１—１００２ ［５］ Ｒｏｅ Ｊ Ｌ，Ｎｅｍｈａｕｓｅｒ Ｊ Ｌ，Ｚａｍｂｒｙｓｋｉ Ｐ Ｃ．ＴＯＵＳＬＥＤ ｐａｒｔｉｃｉｐａｔｅｓ ｉｎ ａｐｉｃａｌ ｔｉｓｓｕｅ ｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｄｕｒｉｎｇ ｇｙｎｏｅｃｉｕｍ ｅｖｏｌｖｉｎｇ ｒｏｌｅｓ ｏｆ ａｌｔｅｒｎａｔｉｖｅ ｓｐｌｉｃｉｎｇ［Ｊ］．Ｃｕｒｔ Ｏｐｉｎ Ｓｔｒｕｃ Ｂｉｏｌ，２００４，１４：２７３—２８２． Ｃｈｕｎｇ Ｂ，Ｓｉｍｏｎｓ Ｃ，Ｆｉｒｔｈ Ａ Ｅ，ｅｔ ａ１．Ｅｆｆｅｃｔ ｏｆ ５ｑ３ＴＲ ［１２】 ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ ｉｎ Ａｒａｂｉｄｏｐｓｉｓ［Ｊ］．Ｐｌａｎｔ Ｃｅｌｌ，１９９７，９： ３３５．３５３ ｉｎｔｒｏｎｓ ｏｎ ｇｅｎｅ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｉｎ Ａｒａｂｉｄｏｐｓｉｓ ｔｈａｌｉａｎａ［Ｊ］． ＢＭＣ Ｇｅｎｏｍｉｃｓ。２００６．７：１２０．１３２． 【６】 Ｓｃｈｎｅｉｔｚ Ｋ，Ｈｕｌｓｋａｍｐ Ｍ，Ｋｏｐｃｚａｋ Ｓ，ｅｔ ａ１．Ｄｉｓｓｅｃｔｉｏｎ ｏｆ