高中物理“等时圆” 大家共享

不同的“等时圆”

【例1】倾角为30°的长斜坡上有C、O、B三点，CO = OB = 10m，在C点竖直地固定一长10 m的直杆AO。A端与C点间和坡底B点间各连有一光滑的钢绳，且各穿有一钢球（视为质点），将两球从A点由静止开始、同时分别沿两钢绳滑到钢绳末端，如图1所示，则小球在钢绳上滑行的时间tAC和tAB分A 2

别为（取g = 10m/s）

A．2s和2s B．2s 和 2s C．2s和4sD．4s 和2s

解析：由于CO= OB =OA，故A、B、C三点共圆，O为圆心。又因直杆AO竖直，A点是该圆的最高点，如图2所示。两球由静止释放，且光滑无摩擦，满足“等时圆”条件。设钢绳AB和AC与竖直方向夹角分别为α1、α2，该圆半径为r，则对钢球均有

C O 30图1

B A α2 C α1

12rcosgcos•t2

2解得：tO 4r, 钢球滑到斜坡时间t跟钢绳与竖直方向夹角α无g30D 图2

B 关，且都等于由A到D的自由落体运动时间。代入数值得t=2s，选项A正确。

【例2】如图3所示，Oa、Ob、Oc是竖直平面内三根固定的光滑细杆，O、a、b、c四点位于同一圆周上，d点为圆周的最高点，c为最低点，每根杆上套着一个小滑环（图中未画出），三个滑环都从图中O点无初速释放，用t1、t2 、t3、依次表示滑到a、b、c所用的时间，则

A．t1t2t3 B．t1t2t3 C．t1t2t3 D.t3t1t2

解析：如果不假思索，套用结论，就会落入“陷阱”，错选A。必须注意，“等时圆”的适用条件是：光滑斜面上初速为零的匀加速直线运动，且运动起点（或终点）应在“等时圆”的最高（或最低）点。题图中O不是最高点，题设圆不是“等时圆”。

现以O点为最高点，取合适的竖直直径Oe，作“等时圆”交Ob于b，如图4所示，显然，O到f、b、g、e才是等时的，比较图示位移Oa＞Of，Oc＜Og，故可推知

d

O

a b c 图3 d

O f a b g 图4

e c __________________________________________________

__________________________________________________

t1t2t3，正确的选项是B。

【例3】如图5所示，在竖直面内有一圆，圆内OD为水平线，圆周上有三根互成30的光滑杆OA、OB、OC，每根杆上套着一个小球（图中未画出）。现让一个小球分别沿三根杆顶端无初速下滑到O,所用的时间分别为tA、tB、tC，则（ ）

A tAtBtC B tAtBtC C tAtBtC D 无法确定

解析：题设图中O点不在圆的最低点，故不是“等时圆”。延长OA，过B作BB⊥BO，则

/0A 30030 0 O B

C D 300

图5

O、B、B/在同一圆周上，B/处自由下落到O

C/

的时间和小球沿光滑杆由B无初速滑到O的时间相同。同理，过C作C/C⊥CO，则

O、C、C/在同一圆周上，C/处自由下落到

O的时间和小

B/

B 球沿光滑杆由C无初速滑到O的时间相同。C/、B/、A自由下落到O的时间依次递减，故选项B正确。

【例4】如图7所示，在同一竖直平面内，从定点P到固定斜面(倾角为θ)搭建一条光滑轨道PM，使物体从P点释放后，沿轨道下滑到斜面的时间最短，则此轨道与竖直线的夹角α为多少？

解析：先用解析法求解。从定点P向斜面作垂线，垂足为D，如图8所示，设P到斜面距离为h，则轨道长度为

A 30030 0 O 图6

C 300 D •P α M

PMhcos()

θ 图7

物体沿轨道下滑的加速度agcos 由于PM12at 2联立解得：t2h

gcos•cos()θ •P α h D M 图8

)，利用积化和差得： 令根式中分母ycos•cos(y1coscos(2)，θ一定，当时，分母y取得最大值，物体沿轨道下滑

22的时间t最小。

再用“等时圆”作图求解。以定点P为“等时圆”最高点，作出系列半径r不同（动态的）“等时圆”，所有轨道的末端均落在对应的“等时圆”圆周上，如图9中甲所示，则轨道__________________________________________________

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长度均可表示为PM2Rcos 物体沿轨道下滑的加速度agcos 由于PM12at，故得：t24r， g•P α1 α2 M2 M1 θ 乙 图9

•P α θ M2 欲t最小，则须“等时圆”的半径r最小。显然，半径最小的“等时圆”在图中与斜面相切于M2点，如图9中乙所示。再根据几何关系可知：2。

θ 在这里，用了转化的思想，把求最短时甲 间转化为求作半径最小的“等时圆”，避免了用解析法求解的复杂计算。

【例5】如图10所示，在同一竖直平面内，地面上高H的定点P，到半径为R的定圆的水平距离为L，从P搭建一条光滑轨道到定圆的圆周上。现使物体从P点释放后，沿轨道下滑到定圆的时间最短，该轨道与竖直方向夹角应多大？H和L满足题设要求。

解析：先用解析法求解。如图11所示，延长PM与定圆相交于N，过N作水平线与PD相交于K，则物体沿光滑轨道下滑的加速度为gsinθ，即 ag••P H L 图10

T M PK， PNN 12又 PMat ，

2•P α M′ K H θ Q 2PM2PM•PN所以 t agPK2D 图11

2由圆的切割线定理得：PM•PNPT=常数，

2PT2PT2所以t，式中为常数，PK为变量。当M点的选择不同时，PK的值也

gg•PK不同，当PK=H时，其值最大，此时t最小。也就是轨道PM/延长线PQ与定圆相交于和地面的接触点Q，物体沿轨道下滑的时间最短，轨道PM/与竖直线的夹角α满足

22tanQDLL或arctan.

HPDH•P α / 再用“等时圆”作图求解。以定点P为“等时圆”最高点，作出系列半径r不同（动态的）“等时圆”， 所有轨道的末端均落在对应的“等时圆”圆周上。其中，刚好与定圆⊙O外

O __________________________________________________

Q M O、 H L 图12

D __________________________________________________

切于M的“等时圆”半径最小，如图12所示，由P沿轨道下滑到M点的时间也最短。图中PD和OQ都垂直于地面，由几何关系可知，轨道PM的延长线必与定圆⊙O的交于Q，求得PM与竖直线的夹角α满足tan

【例6】在竖直平面内，固定一个半径为R的大圆环，其圆心为O，在圆内与圆心O同一水平面上的P点搭一光滑斜轨道PM到大环上，如图13所示，OP=d＜R。欲使物体从P点释放后，沿轨道滑到大环的时间最短，求M点位置（用OM与水平面的夹角α的三角函数表达）。

解析：若用解析法求解，轨道长度由余弦定理求得

QDLL或arctan。

HPDHPMd2R22dRcos

设轨道PM与水平面夹角为θ，则物体沿轨道下滑的加速度

agsin

dR由正弦定理得：

sin( )sin()又 PM

M P d O α θ 图13

12at 2联立以上四个方程，有α、θ、PM、a和t五个变量，可以建立起下滑时间t与OM倾角α之间的函数关系，再利用数学工具求极值，但计算相当复杂。

如果改用“等时圆”作图求解，以定点P为最高点，可作出系列半径r不同（动态的）“等时圆”， 所有轨道的末端均落在对应的“等时圆”圆周上。其中，刚好与大环内切的“等时圆”半径最小，如图14所示，该“等时圆”的圆心O/满足OMOP，且在OM连线上。该圆就是由P到定圆的半径最小的“等时圆”，物体沿轨道由P滑到M点的时间也最短。

P d O θ r α ·O/ R2d2几何关系有rdRr，得r

2R22M 图14 则OM与水平面的夹角α满足tanrRdd2dR22或

R2d2arctan。

2dR

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