2018年全国高中数学联合竞赛B

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。

1．设集合A{2,0,1,8}，B{2a|aA}，则AB的所有元素之和是__________． 2．已知圆锥的顶点为P，底面半径长为2，高为1．在圆锥底面上取一点Q，使得直线

PQ与底面所成角不大于45，则满足条件的点Q所构成的区域的面积为

__________．

3．将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为a,b,c,d,e,f，则abcdef是偶数的概率为__________．

直线l过原点，n(3,1)是l的一个法向量．已知数列{an}4．在平面直角坐标系xOy中，

满足：对任意正整数n，点(an1,an)均在l上．若a26，则a1a2a3a4a5的值为

__________．

ππ

5．设α,β满足tan(α)3，tan(β)5，则tan(αβ)的值为__________．

366．设抛物线C：y22x的准线与x轴交于点A，过点B(1,0)作一直线l与抛物线C相切于点K，过点A作l的平行线，与抛物线C交于点M，N，则△KMN的面积为

__________．

7．设f(x)是定义在R上周期为2的偶函数，在[1,2]严格递减，且满足f(π)1，

0≤x≤1,

的解集为__________． f(2π)0，则不等式组

≤≤0f(x)1,

8．已知复数z1,z2,z3满足|z1||z2||z3|1，|z1z2z3|r，其中r是给定实数，则

z1z2z3

的实部是__________（用含有r的式子表示）． z2z3z1

二、解答题：本大题共3小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

9．（本题满分16分）

已知数列{an}满足a17，

an1

an2,n1,2,3,，求满足an42018的最小正an

整数n．

10．（本题满分20分）

|log3x1|,0x≤9,

已知定义在R的函数f(x)

x9,4x,设a,b,c是三个互不相同的实数，且满足f(a)f(b)f(c)，求abc的取值范围．

11．（本题满分20分）

如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A，B与C，D分别是椭圆x2y2

Γ：221(ab0)的左，右顶点与上，下顶点．设P，Q是Γ上且位于第一象ab

限的两点，满足OQ∥AP，M是线段AP的中点，射线OM与椭圆交于点R．

证明：线段OQ，OR，BC能够成一个直角三角形．

RMAyCODPQBx2018年全国高中数学联合竞赛加试试题（B卷）

一、（本题满分40分）

设a,b是实数，函数f(x)axb

9

． x

证明：存在x0[1,9]，使得|f(x0)|≥2．

二、（本题满分40分）

如图所示，在等腰△ABC中，ABAC，边AC上一点D及BC延长线上一点E满ADBC

，以AB为直径的圆ω与线段DE交于一点F． 

DC2CE

足

证明：B,C,F,D四点共圆．（答题时请将图画在答卷纸上）

AωDFBCE

三、（本题满分50分）

设集合A{1,2,,n}，X，Y均为A的非空子集（允许XY）．X中的最大元和Y

中的最小元分别记为maxX,minY．求满足maxXminY的有序集合对(X,Y)的数目． 四、（本题满分50分）

给定整数a≥2，证明：对任意正整数n，存在正整数k，使得连续n个数ak1，

ak2，，akn均是合数．