六奥第十六讲 勾股与弦图

【知识概述】

在小学奥数中，会涉及到很多有关正方形的图形面积问题，我们在解决类似问题的时候， 用的比较多的就是弦图和旋转。

1. 弦图

弦图其实是在勾股定理的前提下引出的，大家知道，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是勾股定理。自古至今，勾股定理的证明方法不下百种，这里我们借助其中的一种来进入今天的学习。

第一种拼法：有四个完全相同的直角三角形，直角边分别为a和b（假设a＞b），斜边为c，将他们按下图方式，拼成正方形。

图中AF=a，DF=b，AD=c，正方形ABCD的面积等于c

正方形的面积=4个直角三角形的面积+中间小正方形EHGF的面积

212 =4×2×a×b+(ab)

=a+b 即a+b=c

第二种拼法：有四个完全相同的直角三角形，直角边分别为a和b（假设a＞b），斜边为c，将他们按下图方式，拼成正方形。

图中AE=a，AH=b，EH=c,

正方形ABCD的面积=(ab)

222222正方形ABCD的面积=4个直角三角形的面积+中间小正方形EHGF的面积

12 =4×2×a×b+c

=2ab+c 故(ab)=2ab+c 即得到a+b=c

熟记这两种图形的模型，对我们解决有关正方形的面积有很大帮助。 勾股定理：直角三角形两直角边的平方的和，等于斜边的平方。

222222【精选例题】

例1、如图所示，在直线l上的一侧摆放着七个正方形。已知斜放置的3个正方形的面积分别是1，2，3，水平放置的四个正方形的面积依次计为S1,S2,S3和S4。试确定S1+S2+S3+S4的值.。 例2、如图所示，4个形状大小完全相同的直角三角形和一个面积等于4的正方形，恰可拼成一个面积等于52的大正方形，试确定直角三角形的两条直角边的长。

例3、小华与小明分别用4个形状大小完全相同的直角三角形拼图。小华拼成的长方形的周长等于20cm.小明拼成一个大正方形，而大正方形中间有一个面积为1cm的小正方形的空洞。求小明

2

拼成的大正方形的周长

例4、如图，三角形ABC中，∠ACB=90，分别以AC,BC,AB为边向形外作正方形ACGF,BCHK和ABDE，正方形ABDE的面积是25平方厘米，正方形BCHK的面积是9平方厘米，问：图中阴影四边形AFBD的面积是多少平方厘米

例5、如图，CDEF是正方形，ABCD是等腰梯形，它的上底AD=23厘米，下底BC=35厘米，求三角ADE的面积。

E A B D F

C

例6、ABC是一个直角三角形，分别以AC、BC为边向?ABC外作正方形，又以AB为斜边向?ABC外作等腰直角三角形?ABD，AD =

O

BD。若阴影部份和为8，求?ABD的面积。

例7、如图，已知四边形ABCD和DEFG为正方形，且三角形ADG的面积为5，求三角形 DEC的面积。

2例8、下图是一个面积为18cm、CD7cm的四边形ABCD．其两条对角线BD和AC在四边形ABCD的内部相交，当BD10cm，ACBC，BCA90时，求△ACD的面积．

DABC

例9、△ABC是直角三角形，在边AB、BC、CA上分别取点D、E、F，使得

ADAFFCEC．当△DEF成为等腰直角三角形、BE3cm、DB1cm时，求△ABC的面积。

AFDBEC

例10、如图，P是正方形ABCD外面的一点，PB12厘米，△APB的面积是90平方厘米，

△CPB的面积是48平方厘米。请问：正方形ABCD的面积是多少平方厘米

ADBPC

【课后习题】

1.如图，由四个相同的直角三角形拼成的（直角边长分别为2和3），问大正方形的面积是多少? 2.如图直角梯形ABCD中，AD与BC平行，且AB与BC垂直，AD=2，BC=3，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连AE、CE，则△ADE的面积是多少

3.如图，梯形ABCD中，AB与DC平行，ADCBCD90，且DC=2AB，分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间有什么样的关系 4.如图AE＝AB，BC＝CD，∠EAB=∠BCD=90°，那么，按照图中所标注的数据，图中实线所围成的图形面积为是多少

5.如图所示，沿长方体表面系一根绳子连接A点与B点。如果让绳子的长度达到最短，其长度应是多少厘米

6.如图，三角形AGD的面积为5，分别以AG、GD、AD为边向外作正方形AGHI、DGFE、ABCD，求

S△ABI+S△HGF+S△DCE的值。

7.如图所示，4个相同的等腰三角形与一个边长为6厘米的正方形相连。将四个三角形向上折可形成一个锥体。若锥体的高是4厘米，则这个锥体的表面积是多少