2020年广西南宁市高考数学二模试卷（文科）
副标题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 已知集合，
1， A. B. 0，1， C. D. 2. 设复数z满足
，则
0，1，2，，则
1，2，
0，1，2，
A.
B.
C.
D.
3. 一个不透明的口袋中放有形状和大小相同的3个红球和1个白球，若从口袋中随机
取出两个小球，则取到两个红球的概率为
A. B. C. D.
4. 某学校为了解高三年级学生在线学习情况，统计了2020年2月18日日共10天他们在线学习人数及其增长比例数据，并制成如图所示的条形图与折线图的组合图．
根据组合图判断，下列结论正确的是
A. 前5天在线学习人数的方差大于后5天在线学习人数的方差
B. 前5天在线学习人数的增长比例的极差大于后5天的在线学习人数的增长比例的极差
C. 这10天学生在线学习人数的增长比例在逐日增大 D. 这10天学生在线学习人数在逐日增加 5. 已知各项不为0的等差数列
的前n项和为
，若
，则
A. 9
6. 若函数
象是
B. 12
，且
的值域为
C. 18 D. 36
，则函数
的图
A.
B.
C.
D.
7. 椭圆C：的左、右焦点为，，过的直线l交C于A，B
两点，且的周长为8，则a为
A. B. 2 C.
8. 某同学在课外阅读中国古代数学名著孙子算经
时，为解决“物不知数”问题，设计了如图所示的程序框图．执行此程序框图，则输出的a的值为 A. 13 B. 18 C. 23 D. 28 M，N分别为AC，9. 如图，在正方体中，
的中点，则下列说法错误的是
平面 A.
B.
C. 直线MN与平面ABCD所成角为
所成角为 D. 异面直线MN与
10. 已知函数
，则当
时，函数
D. 4
的零点个数为
A. 4
11. 已知双曲线E：
B. 3 C. 2
的右焦点为F，以
D. 1
为原点为直径若
的圆与双曲线E的两条渐近线分别交于点M，
，则双曲线E的离心率为
N异于点
A. 4
12. 已知函数
则函数
B. 2 C.
的图象经过点
D.
，一条对称轴方程为
的周期可以是
A.
B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知向量
，向量
，则
与
的夹角大小为______．
______． 14. 已知等比数列的前n项和为，，，则
15. 某部门从已参与报名的甲、乙、丙、丁四人中选派1人去参加志愿者服务，结果出
来前，甲、乙、丙、丁四人对选派人选做了如下预测： 甲说：丙或丁被选上；乙说：甲和丁均未被选上； 丙说：丁被选上；丁说：丙被选上．
若这四人中有且只有2人说的话正确，则被选派参加志愿者服务的是______． 16. 如图，正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿
AE，EF，AF把这个正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为若四面体外接球的表面积为，则正方形ABCD的边长为______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 如图，在平面四边形ABCD中，，，
的面积为． 求AC； 若，求四边形ABCD周长的最大值．
18. 红铃虫是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有
关．现收集到一只红铃虫的产卵数个和温度的8组观测数据，制成图1所示的散点图． 现用两种模型，分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图．
根据收集到的数据，计算得到如表值：
25 表中
646 ；
168 422688 ；
；
；
70308 根据残差图，比较模型、的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由； 根据中所选择的模型，求出y关于x的回归方程系数精确到，并求温度为时，产卵数y的预报值． 参考数据：，，， 附：对于一组数据
，
，
，
，其回归直线
的斜
率和截距的最小二乘估计分别为，．
19. 如图，在四棱锥
中，四边形ABCD是等腰梯形，，，
，三角形SAB是等边三角形，平面平面ABCD，E，F分别
为AB，AD的中点．
求证：平面平面SEF； 若，，求：的值．
20. 已知函数
若若
，其中e是自然对数的底数．
，证明：；
时，都有，求实数a的取值范围．
21. 已知抛物线C：，过点且互相垂直的两条动直线，与抛物线C
分别交于P，Q和M，N．
求的取值范围；
记线段PQ和MN的中点分别为E，F，求证：直线EF恒过定点． 22. 在直角坐标系xOy中，已知曲线
：
为参数，曲线
：
为参数，且，点P为曲线与的公共
点．
求动点P的轨迹方程；
x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，在以原点O为极点，直线l的极坐标方程
为，求动点P到直线l的距离的取值范围．
23. 已知a，b，c都为正实数，且证明：
；
．
答案和解析
1.【答案】A
1，， {解析}解：由集合
1，． 所以
故选：A．
求出集合A，由此能求出．
本小题主要考查一元一次不等式的自然数解和集合的交集运算等基础知识，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.【答案】B
{解析}解：
．
故选：B．
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3.【答案】B
{解析}解：令红球为a，b，c，白球为D， 取出两个小球的所有基本事件有：
，，，，，，共6个， 其中满足条件的有3个， 故所求概率为．
故选：B．
令红球为a，b，c，白球为D，利用列举法取出两个小球的所有基本事件有6个，其中满足条件的有3个，由此能求出取到两个红球的概率．
本小题主要考查古典概率等基本知识，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4.【答案】D
{解析}解：对于A，由柱状图可得前5天学习人数的变化幅度明显比后5天的小，故方差也小，故A错误
对于B：前5天的增长比例极差约为，后5天增长比例极差约为
，故B错误；
对于C：由折线图很明显，的增长比例在下降，故C错误； 对于D：由柱状图，可得学习人数在逐日增加，故D正确， 故选：D．
根据图象逐一进行分析即可
本小题考查统计图表等基础知识，考查统计思想以及学生数据处理等能力和应用意识． 5.【答案】C
{解析}解：由故选：C．
，则
． ，
利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可得出．
本小题主要考查等差数列通项公式和前n项和公式等基础知识，考查运算求解等数学能力，属于基础题． 6.【答案】A
{解析}解：，
当时，数当时，数故选：A
，若函数
，且
的值域为
，
，为减函数，
，为增函数，且函数是偶函数，关于y轴对称，
根据指数函数的图象和性质求出，利用对数函数的图象和性质进行判断即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，根据指数函数的图象和性质求出a的取值范围是解决本题的关键． 7.【答案】B
{解析}【分析】
本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义的运用，考查运算能力，属于基础题．
由椭圆的定义可得，，即可得出答案． 【解答】 解：椭圆C：
椭圆的焦点在x轴上， 则由椭圆的定义可得
的周长解得， 故选B．
，
，
，
8.【答案】C
{解析}解：模拟程序的运行，可得
，得， 不满足不满足不满足此时，满足
，，，
，得，得，得
， ， ，
，退出循环，输出a的值为23．
故选：C．
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本小题主要考查程序框图的应用等基础知识，考查阅读理解能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识，属于基础题．
9.【答案】D
{解析}【分析】 连结BD，，可得，得到平面，判定A正确； 证明平面，得，结合，得，判断B正确；
求出直线MN与平面ABCD所成角判断C正确； 求出异面直线MN与所成角判断D错误．
本题主要考查直线与平面平行、垂直的判定与性质、直线与平面所成角、异面直线所成角等基础知识；考查空间想象能力、论证推理能力，是中档题． 【解答】
解：如图，连结BD，， 由M，N分别为AC，的中点，知， 而平面，平面，
平面，故A正确；
在正方体中，平面，则，
，，故B正确；
直线MN与平面ABCD所成角等于与平面ABCD所成角等于，故C正确； 而为异面直线MN与所成角，应为，故D错误． 故选：D． 10.【答案】C
{解析}解：由当时，当故当
时，
可得，
，，符合题意， 可得
时，存在2个零点
符合题意，
，
．
故选：C．
令，结合分段函数的函数解析式即可直接求解．
本小题主要考查分段函数的图象，函数的零点等基础知识；考查分类讨论思想，方程思想．
11.【答案】D
{解析}解：因为OF为直径，点M在圆上，所以又， 由圆的对称性，有，所以
． 由渐近线斜率所以离心率为
， ．
故选：D．
画出图形，结合圆的对称性，求出
然后求解双曲线的离心率即可．
本小题主要考查双曲线及其性质等基础知识；考查运算求解、推理论证能力；考查数形结合等数学思想．
12.【答案】B
{解析}解：由则当
时，
，
， ．
，
故选：B．
直接根据对称中心和对称轴之间的距离即可求解结论． 本小题主要考查三角函数的图象和性质、正弦型函数
基本知识；考查推理论证等数学能力，化归与转化等数学思想．
图象和性质等
13.【答案】
{解析}解：
，且
．
，
与的夹角为故答案为：． 根据向量
的坐标即可得出
，从而可得出
，和的值，从而可得出
夹角的大小．
本小题主要考查平面向量的数量积，两个向量的夹角等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 14.【答案】255
{解析}解：设公比为q，由已知得
，解得
，
，
则．
故答案为：255
由已知结合等比数列的通项公式及求和公式即可求解．
本小题主要考查等比数列的通项公式，前n项和公式及其应用等基础知识；考查运算求解能力，化归与转化等数学思想． 15.【答案】丁
{解析}解：若甲被选上，甲、乙、丙、丁错误，不满足条件； 若乙被选上，甲、丙、丁错误，乙正确，不满足条件； 若丙被选上，甲、乙、丁正确，丙错误，不满足条件； 若丁被选上，甲、丙正确，乙、丁错误，满足条件， 所以被选派参加志愿者服务的是丁， 故答案为：丁．
逐个假设甲，乙，丙，丁被选上，检验是否符合题意即可．
本题主要考查了逻辑推理等基础知识，考查学生逻辑推理能力等能力，是基础题． 16.【答案】2
{解析}解：依题意折叠后的四面体如图1，设正方形边长为a，外接球半径为R， 则
，
，
将四面体补成如图2所示的长方体，它们具有共同的外接球； 由所以
得，解得
而．
，
故答案为：2．
画出折叠后的四面体，将四面体补成长方体，求出长方体外接球的半径， 计算外接球的体积，从而求出正方形的边长．
本题主要考查了直线与平面垂直以及球体表面积的计算问题，也考查了空间想象能力和运算求解能力．
面积公式， 17.【答案】解：由得所以
在所以
令在即有
所以，当且仅当则四边形ABCD周长为
所以，四边形ABCD周长的最大值为
．
中，根据余弦定理得
． ，， 中，根据余弦定理得
，即时，“．
”成立．
．
，
，
，
，
{解析}由面积公式结合已知先求出边BC长，再由余弦定理求出AC长．
由余弦弦定理找出边AD，DC的关系，用均值不等式求出的最大值，进而求周长的最大值．
本小题主要考查正弦定理、余弦定理等基本知识，考查化归与转化等数学思想以及推理论证、运算求解等数学能力．
18.【答案】解：应该选择模型．
由于模型残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型带状宽度窄，
所以模型的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型比较合适．
令，z与温度x可以用线性回归方程来拟合，
则，
，
，
则z关于x的线性回归方程为于是有， 产卵数y关于温度x的回归方程为当时，在气温在
．
．
个．
时，一个红铃虫的产卵数的预报值为250个．
{解析}由模型残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型带状宽度窄，说明模型的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高；
令
，z与温度x可以用线性回归方程来拟合，则
，由已知数据求求得y值得结论．
得与的值，可得产卵数y关于温度x的回归方程，取
本题主要考查回归方程、统计案例等基本知识，考查统计基本思想以及抽象概括、数据处理等能力和应用意识，是中档题．
平面ABCD，平面平面， 19.【答案】证明：平面
平面SAB，， 平面ABCD．
又平面ABCD，． 连接BD，，F分别为AB，AD的中点，
．
，．
又，
， ，则．
又，． 又，平面SEF． 又平面SCD，平面平面SEF；
解：记在DF边上的高为，在BC边上的高为． 则：：：1，在等腰梯形ABCD中，可知， 故
，
，
，
．
{解析}
由平面
得到
平面ABCD，利用平面与平面垂直的性质可得连接BD，由已知有再证明
平面
可得
由直线与平面垂直的判定可得
平面SEF；
记在DF边上的高为，
：1，得到
，则
平面进一步得到平面
可得
：
：
在BC边上的高为
，再由：
，得到的值可求．
本题考查平面与平面垂直的判定、平面与平面垂直的性质、三棱锥的体积、平面向量共线定理等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力和创新意识；考查化归与转化等数学思想．是中档题．
，则，所以， 20.【答案】解：若
当时，； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以在时取得极小值，也是最小值． 所以．
令，则原问题转化为在上恒成立． 由
，令
，则
在
上恒成立，
所以在上单调递增，
又， 当时，，所以在上单调递增， 所以，即，满足题意． 当时，因为在上单调递增，所以， 所以存在，使得当时，，在上单调递减， 此时，这与在上恒成立矛盾． 综上所述，， 故实数a的取值范围是．
{解析}若正负性与函数
，则，所以的单调性之间的联系即可得，而，进而得证；
，再利用导函数
的单调性，从而确定
的
构造函数，则原问题转化为在
上恒成立，然后求导，令，再求导，从而可确定在上单调递增，由于，于是分和两种情形，讨论函数的单调性，以便求证与0的关系．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，不等式的恒成立问题等，考查学生分类讨论和转化与化归的思想，以及运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：由题意可知两直线，的斜率一定存在，且不等于0． 设：
，
，
，则：
．
联立直线与抛物线的方程，有，
其中其中
，由韦达定理，有，由韦达定理，所以
．
．
设因为所以即当所以所以故
在
．
，又因为
在定义域内单调递增，易得时，
时，
；当
时，
， ． ，
，且当
单调递增， 时，
．
．
单调递减；
处取得最小值
的最小值为． 因为由
有
，
，
，同理点F的坐标为
．
所以PQ中点E的坐标为
于是，直线EF的斜率为，
则直线EF的方程为：所以直线EF恒过定点
．
的斜率一定存在，且不等于
设
：
，
{解析}
两直线，
，
，
，则：
联立直线与抛物线方程，利用
韦达定理，弦长公式的表达式，通过函数的导数求解最小值即可．
由
求出PQ中点E的坐标为
，同理点F的坐标为
求出直
线EF的斜率，得到直线EF的方程，即可求解直线EF恒过的定点． 本小题主要考查抛物线及其性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查运算求解、推理论证能力和创新意识；考查化归与转化、数形结合等数学思想．
． 22.【答案】解：设点P的坐标为
因为点P为曲线与的公共点， 所以点P同时满足曲线与的方程． 曲线曲线由
消去参数可得消去参数可得
，所以
， ．
．
所以点P的轨迹方程为．
由已知，直线l的极坐标方程根据，可化为直角坐标方程：因为P的轨迹为圆去掉两点，
，
．
圆心O到直线l的距离为
所以点P到直线l的距离的取值范围为
，
．
{解析}直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果．
利用点到直线的距离公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 23.【答案】证明：
当且仅当取“”． 所以
由a，b，c都为正实数，且
；
，可得
当且仅当
． 则
．
取“
”
{解析}
将
由三个数的完全平方公式，结合均值不等式和不等式的性质，即可得证；
代入原不等式的左边，化简整理，再由基本不等式和不等式的性质，
即可得证．
本题主要考查基本不等式、不等式的证明方法、含绝对值的不等式等基本知识，考查化归与转化等数学思想和推理论证等数学能力，是一道中档题．
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