《完全平方公式》拓展练习
一、选择题（ 本大题共5小题，共25.0分）
1．（5分）已知x＝3y+5，且x2﹣7xy+9y2＝24，则x2y﹣3xy2的值为（ ） A．0
B．1
C．5
D．12
2．（5分）已知实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，则（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是（ ） A．12
B．20
C．28
D．36
3．（5分）若a+b＝10，ab＝11，则代数式a2﹣ab+b2的值是（ ） A．89
B．﹣89
C．67
D．﹣67
4．（5分）若a＝4+，则a2+A．14
B．16
的值为（ ）
C．18
D．20
5．（5分）已知a+b＝﹣5，ab＝﹣4，则a2﹣ab+b2的值是（ ） A．37
B．33
C．29
D．21
二、填空题（ 本大题共5小题，共25.0分）
6．（5分）已知（a﹣2017）2+（2018﹣a）2＝5，则（a﹣2017）（a﹣2018）＝ 7．（5分）在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将上述等号右边的式子的各项系数排成下表，如图： （a+b）0＝1 （a+b）1＝a+b （a+b）2＝a2+2ab+b2 （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
这个图叫做“杨辉三角”，请观察这些系数的规律，直接写出（a+b）5＝ ，并说出第7排的第三个数是 ．
8．（5分）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如下图），
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此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律． 例如：
（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；
（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8； …
根据以上规律，解答下列问题：
（1）（a+b）4展开式共有 项，系数分别为 ； （2）（a+b）n展开式共有 项，系数和为 ．
9．（5分）已知a2+b2＝4，则（a﹣b）2的最大值为 ． 10．（5分）已知a+＝﹣2，则
＝ ，
＝ ．
三、解答题（ 本大题共5小题，共50.0分） 11．（10分）已知：计算：猜想：
＝；
＝ ；
＝ ．
＝；
12．（10分）完全平方公式是同学们熟悉的公式，小玲同学在学习过完全平方公式后，通过类比学习得到（a+b）n（n为非负整数）的计算结果，如果将（a+b）n（n为非负整数）的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： （a+b）0＝1，它只有一项，系数为1； （a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1、1；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1、2、1； （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3它有四项，系数分别为1、3、3、1；
如果将上述每个式子的各项系数排成如图的表格，我们可以发现一些规律，聪明的你一
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定也发现了，请你根据规律解答下列问题： （1）尝试写出（a+b）4的结果，并验证；
（2）请直接写出（a+b）5共有 项，各项系数的和等于 ； （3）（a+b）n（n为非负整数）共有 项，各项系数的和等于 ； （a﹣b）n（n为非负整数）各项系数的和等于 ．
13．（10分）我们在解题时，经常会遇到“数的平方”，那么你有简便方法吗？这里，我们以“两位数的平方”为例，请观察下列各式的规律，回答问题： 272＝（27+7）×20+72＝729 322＝（32+2）×30+22＝1024 562＝（56+6）×50+62＝3136 …
（1）请根据上述规律填空：382＝ ＝ ；
（2）我们知道，任何一个两位数（个数上数字n十位上的数字为m）都可以表示为10m+n，根据上述规律写出：（10m+n）2＝ ，并用所学知识说明你的结论的正确性． 14．（10分）观察下列算式，尝试问题解决：
杨辉三角形是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示（a+b）n（此处n＝0，1，2，3，4，5..）的计算结果中的各项系数：
（1）请根据上题中的杨辉三角系数集”，仔细观察下列各式中系数的规律，并填空：（a+b）
13
2＝a+b各项系数之和1+1＝2＝21（a+b）＝a2+2ab+b2各项系数之和1+2+1＝4＝22（a+b）
＝a3+3a2b+3ab2+b3各项系数之和1+3+3+1＝8＝23
①请补全下面展开式的系数：（a﹣b）6＝a6+ a5b+15a4b2+ a3b3+15a2b4﹣
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6ab5+b6
②请写出（a+b）10各项系数之和：
（2）设（x+1）17＝a17x17+a16x16+…+a1x+a0，求a1+a2+a3+…+a16+a17的值． （3）你能在（2）的基础上求出a2+a4+a6+…+a14+a16的值吗？若能，请写出过程． 15．（10分）已知x+y＝5，xy＝1． （1）求x2+y2的值． （2）求（x﹣y）2的值．
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《完全平方公式》拓展练习
参考答案与试题解析
一、选择题（ 本大题共5小题，共25.0分）
1．（5分）已知x＝3y+5，且x2﹣7xy+9y2＝24，则x2y﹣3xy2的值为（ ） A．0
B．1
C．5
D．12
【分析】依据x﹣3y＝5两边平方，可得x2﹣6xy+9y2＝25，再根据x2﹣7xy+9y2＝24，即可得到xy的值，进而得出x2y﹣3xy2的值． 【解答】解：∵x＝3y+5， ∴x﹣3y＝5，
两边平方，可得x2﹣6xy+9y2＝25， 又∵x2﹣7xy+9y2＝24， 两式相减，可得xy＝1，
∴x2y﹣3xy2＝xy（x﹣3y）＝1×5＝5， 故选：C．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的运用，应用完全平方公式时，要注意：公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式．
2．（5分）已知实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，则（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是（ ） A．12
B．20
C．28
D．36
【分析】由题意实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，可以将（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）
2
，用x2+y2+z2和（xy+yz+xz）表示出来，然后根据完全平方式的基本性质进行求解．
【解答】解：∵实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，
∴（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2＝5（x2+y2+z2）﹣4（xy+yz+xz）＝20﹣2[（x+y+z）
2
﹣（x2+y2+z2）]＝28﹣2（x+y+z）2≤28
∴当x+y+z＝0时（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是28． 故选：C．
【点评】此题主要考查完全平方式的性质及代数式的求值，要学会拼凑多项式．
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3．（5分）若a+b＝10，ab＝11，则代数式a2﹣ab+b2的值是（ ） A．89
B．﹣89
C．67
D．﹣67
【分析】把a+b＝10两边平方，利用完全平方公式化简，将ab＝11代入求出a2+b2的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：把a+b＝10两边平方得： （a+b）2＝a2+b2+2ab＝100， 把ab＝11代入得： a2+b2＝78，
∴原式＝78﹣11＝67， 故选：C．
【点评】此题考查了完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关键．
4．（5分）若a＝4+，则a2+A．14
B．16
的值为（ ）
C．18
D．20
【分析】先将a＝4+，整理成a﹣＝4，再两边平方，展开整理即可得出结论． 【解答】解：∵a＝4+， ∴a﹣＝4，
两边平方得，（a﹣）2＝16， ∴a2+即：a2+故选：C．
【点评】此题主要考查了完全平方公式，给a﹣＝4两边平方是解本题的关键． 5．（5分）已知a+b＝﹣5，ab＝﹣4，则a2﹣ab+b2的值是（ ） A．37
B．33
C．29
D．21
﹣2＝16， ＝18，
【分析】先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可． 【解答】解：∵a+b＝﹣5，ab＝﹣4，
∴a2﹣ab+b2＝（a+b）2﹣3ab＝（﹣5）2﹣3×（﹣4）＝37，
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故选：A．
【点评】本题考查了完全平方公式，能灵活运用完全平方公式进行变形是解此题的关键． 二、填空题（ 本大题共5小题，共25.0分）
6．（5分）已知（a﹣2017）2+（2018﹣a）2＝5，则（a﹣2017）（a﹣2018）＝ 2 【分析】直接利用完全平方公式将原式变形，进而求出即可． 【
解
答
】
解
：（
a
﹣
2017
）（＝﹣
故答案是：2．
【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用，熟练应用完全平方公式是解题关键． 7．（5分）在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将上述等号右边的式子的各项系数排成下表，如图： （a+b）0＝1 （a+b）1＝a+b （a+b）2＝a2+2ab+b2 （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
这个图叫做“杨辉三角”，请观察这些系数的规律，直接写出（a+b）5＝ a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 ，并说出第7排的第三个数是 15 ．
a
﹣
2018
）
＝
﹣
＝2．
【分析】观察图表寻找规律：三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和． 【解答】解：（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5； 第7排的第三个数是15，
故答案为：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；15；
【点评】考查了完全平方公式问题，利用学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找出本题的数字规律是正确解题的关键．
8．（5分）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如下图），
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此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律． 例如：
（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；
（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8； …
根据以上规律，解答下列问题：
（1）（a+b）4展开式共有 5 项，系数分别为 1，4，6，4，1 ； （2）（a+b）n展开式共有 n+1 项，系数和为 2n ．
【分析】经过观察发现，这些数字组成的三角形是等腰三角形，两腰上的数都是1，从第3行开始，中间的每一个数都等于它肩上两个数字之和，展开式的项数比它的指数多1．根据上面观察的规律很容易解答问题．
【解答】解：（1）展开式共有5项，展开式的各项系数分别为1，4，6，4，1， （2）展开式共有n+1项，系数和为2n．
故答案为：（1）5；1，4，6，4，1；（2）n+1，2n．
【点评】本题考查完全平方式．本题主要是根据已知与图形，让学生探究，观察规律，锻炼学生的思维，属于一种开放性题目．
9．（5分）已知a2+b2＝4，则（a﹣b）2的最大值为 8 ．
【分析】应用基本不等式a2+b2≥2ab，先求出2ab的取值范围，再利用完全平方公式把（a﹣b）2展开代入即可得到取值范围，从而得到最大值． 【解答】解：∵a2+b2≥2|ab|， ∴2|ab|≤4， ∴﹣4≤﹣2ab≤4，
∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝4﹣2ab，
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∴0≤4﹣2ab≤8， ∴（a﹣b）2的最大值8． 故答案为：8．
【点评】本题考查了完全平方公式，利用基本不等式求出﹣2ab的取值范围是解题的关键，此题较难，不容易想到思路，希望同学们思路开阔灵活求解． 10．（5分）已知a+＝﹣2，则
＝ 2 ，
＝ 0 ．
，再进行求解即可得出答案． ＝2，
【分析】已知a+＝﹣2，两边分别平方可求得【解答】解：∵a+＝﹣2，两边平方得：∴对其两边进行平方得；∵
＝（
）（
＝2，
）＝（a+）（a﹣）×2，
∵＝﹣2＝2﹣2＝0，
∴a﹣＝0，
故（a+）（a﹣）×2＝0． 故答案为：2，0．
【点评】本题考查了完全平方公式，难度适中，关键是熟练灵活运用完全平方公式进行解题．
三、解答题（ 本大题共5小题，共50.0分） 11．（10分）已知：计算：猜想：
【分析】先计算出结果，然后根据三个式子的结果规律，得猜想． 【解答】解：原式＝故答案为：
由已知和计算的三个式子知：
＝； ＝；
＝
；
＝
．
＝；
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当n＝0时，当n＝1时，当n＝2时，原式＝所以猜想
． 故答案为：
＝…
＝＝，
＝
＝，
＝＝
【点评】本题考查了计算和规律型问题．解决本题的关键是找到计算结果的规律． 12．（10分）完全平方公式是同学们熟悉的公式，小玲同学在学习过完全平方公式后，通过类比学习得到（a+b）n（n为非负整数）的计算结果，如果将（a+b）n（n为非负整数）的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： （a+b）0＝1，它只有一项，系数为1； （a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1、1；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1、2、1； （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3它有四项，系数分别为1、3、3、1；
如果将上述每个式子的各项系数排成如图的表格，我们可以发现一些规律，聪明的你一定也发现了，请你根据规律解答下列问题： （1）尝试写出（a+b）4的结果，并验证；
（2）请直接写出（a+b）5共有 6 项，各项系数的和等于 32 ；
（3）（a+b）n（n为非负整数）共有 （n+1） 项，各项系数的和等于 2n ； （a﹣b）n（n为非负整数）各项系数的和等于 0 ．
【分析】（1）根据规律写出（a+b）4的结果，并用整式乘法的法则进行计算即可； （2）根据各项系数以及字母指数的变化规律写出各项，得出项数以及各项系数的和即可； （3）根据项数以及各项系数的和的变化规律，得出（a+b）n的项数以及各项系数的和，（a﹣b）n的各项系数的和即可．
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【解答】解：（1）（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4． 验证：（a+b）4 ＝（a+b）2（a+b）2
＝（a2+2ab+b2）（a2+2ab+b2） ＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．
（2）根据规律可得，（a+b）5共有6项， 各项系数分别为：1，5，10，10，5，1， 它们的和等于32；
（3）根据规律可得，（a+b）n共有（n+1）项， ∵1＝20， 1+1＝21， 1+2+1＝22， 1+3+3+1＝23，
∴（a+b）n各项系数的和等于2n； ∵1﹣1＝0， 1﹣2+1＝0， 1﹣3+3﹣1＝0，
∴（a﹣b）n各项系数的和等于0． 故答案为：6，32；（n+1），2n；0．
【点评】本题主要考查了完全平方式的应用，能根据杨辉三角得出规律是解此题的关键．在应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式．
13．（10分）我们在解题时，经常会遇到“数的平方”，那么你有简便方法吗？这里，我们以“两位数的平方”为例，请观察下列各式的规律，回答问题： 272＝（27+7）×20+72＝729 322＝（32+2）×30+22＝1024 562＝（56+6）×50+62＝3136 …
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（1）请根据上述规律填空：382＝ （38+8）×30+82 ＝ 1444 ；
（2）我们知道，任何一个两位数（个数上数字n十位上的数字为m）都可以表示为10m+n，根据上述规律写出：（10m+n）2＝ （10m+n+n）×10m+n2 ，并用所学知识说明你的结论的正确性．
【分析】（1）根据已知算式得出规律，再得出即可； （2）根据已知算式得出规律，再求出即可． 【解答】解：（1）382＝（38+8）×30+82＝1444， 故答案为：（38+8）×30+82，1444；
（2）（10m+n）2＝（10m+n+n）×10m+n2，
证明：∵（10m+n）2＝（10m）2+2×10m×n+n2＝100m2+20mn+n2， （10m+n+n）×10m+n2 ＝100m2+20mn+n2，
∴（10m+n）2＝（10m+n+n）×10m+n2， 故答案为：（10m+n+n）×10m+n2．
【点评】本题考查了完全平方公式的应用，能根据已知算式得出规律是解此题的关键． 14．（10分）观察下列算式，尝试问题解决：
杨辉三角形是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示（a+b）n（此处n＝0，1，2，3，4，5..）的计算结果中的各项系数：
（1）请根据上题中的杨辉三角系数集”，仔细观察下列各式中系数的规律，并填空：（a+b）
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2＝a+b各项系数之和1+1＝2＝21（a+b）＝a2+2ab+b2各项系数之和1+2+1＝4＝22（a+b）
＝a3+3a2b+3ab2+b3各项系数之和1+3+3+1＝8＝23
①请补全下面展开式的系数：（a﹣b）6＝a6+ （﹣6） a5b+15a4b2+ （﹣20） a3b3+15a2b4﹣6ab5+b6
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②请写出（a+b）10各项系数之和： 210
（2）设（x+1）17＝a17x17+a16x16+…+a1x+a0，求a1+a2+a3+…+a16+a17的值． （3）你能在（2）的基础上求出a2+a4+a6+…+a14+a16的值吗？若能，请写出过程． 【分析】（1）①根据“杨辉三角形”中系数规律确定出所求展开式即可； ②根据规律确定（a+b）10各项系数之和；
（2）根据“杨辉三角形”中系数规律确定出所求系数，并求出系数之和即可． （3）“杨辉三角系数集”的规律可知：a0＝1，分别将x＝1和x＝﹣1代入（2）式后相加即可求得．
【解答】解：（1）①：（a﹣b）6＝a6+（﹣6）a5b+15a4b2+（﹣20）a3b3+15a2b4﹣6ab5+b6； 故答案：﹣6，﹣20；
②∵（a+b）1＝a+b各项系数之和1+1＝2＝21， （a+b）2＝a2+2ab+b2各项系数之和1+2+1＝4＝22， （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3各项系数之和1+3+3+1＝8＝23， …
（a+b）10各项系数之和：210； 故答案为：210；
（2）由（1）得：（x+1）17各项系数之和：217， 即a0+a1+a2+a3+…+a16+a17＝217， ∴a1+a2+a3+…+a16+a17＝217﹣1；
（3）当x＝1时，（1+1）17＝217＝a17×1+a16×1+…+a1×1+a0＝a17+a16+…+a1+a0①， 当x＝﹣1时，（﹣1+1）17＝0＝﹣a17+a16﹣…+a2﹣a1+a0②， ①+②得：2（a0+a2+a4+a6+…+a14+a16）＝217， ∵a0＝1，
∴a2+a4+a6+…+a14+a16＝216﹣1．
【点评】此题考查了整式的混合运算，弄清“杨辉三角形”中系数规律是解本题的关键． 15．（10分）已知x+y＝5，xy＝1． （1）求x2+y2的值． （2）求（x﹣y）2的值．
【分析】（1）原式利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值； （2）原式利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值．
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【解答】解：（1）∵x+y＝5，xy＝1， ∴原式＝（x+y）2﹣2xy＝25﹣2＝23； （2）∵x+y＝5，xy＝1，
∴原式＝（x+y）2﹣4xy＝25﹣4＝21．
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
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