一、 实验目的
1. 研究音叉自由状态下振动的幅频情况； 2. 进行音叉双臂振动与对称双臂质量关系的测量；
3. 在音叉增加阻尼的情况下，测量音叉共振频率及锐度，并对比不同阻尼下的幅频曲
线。
二、 实验仪器
音叉受迫振动与共振实验仪、不同质量的小物块（5g、10g、15g）、阻尼磁铁 三、 实验原理
音叉在周期性外力的作用下做受迫振动。 1. 音叉在自由状态下的振动：
𝑑𝑥𝑑2𝑥
−𝑘𝑥−𝛾=𝑚2
𝑑𝑡𝑑𝑡𝑘2𝛾
令𝜔02= ,𝛿=
𝑚𝑚
当δ=0时，𝑥=𝐴0cos(𝜔0𝑡+𝜑0)
2. 音叉在驱动力与阻尼下的振动：
𝑑𝑥𝑑2𝑥
𝐹0𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡−𝑘𝑥−𝛾=𝑚2 𝑑𝑡𝑑𝑡𝑘2𝛾
令𝜔02= ,𝛿= 𝑚𝑚
解方程可得𝑥=𝐴0𝑒−𝛿𝑡cos(√𝜔02−𝛿2𝑡+𝜑0)+𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡+𝜑)
一段时间稳定后，振动式转化为𝑥=𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡+𝜑)
𝜔为驱动力的角频率，A、φ依赖于振子的性质、阻尼的大小和驱动力的相关参数
A=
𝐹0𝑘𝜔√𝛾2+(𝜔𝑚−𝜔)2
,𝜑=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
𝛾𝑘𝜔𝑚−𝜔
当ω=√𝜔02−2𝛿2时共振，即阻尼越大，共振频率越低。
3. 在音叉臂上对称添加物块的振动：
T=
𝜔0
2
2𝜋2𝜋= 𝜔√𝜔02−2𝛿2𝑘4𝜋24𝜋2
2
= ，故𝑇=𝑚0+𝑚𝑥 𝑚𝑘𝑘
4. 锐度
Q=
𝑓0
𝑓2−𝑓1
𝑓1、𝑓2为半功率点对应的频率，半功率点对应的幅度为0.707A.
四、 实验过程
仪器调试：将驱动线圈与接收线圈置于音叉末端，并保持正对状态，调节两线圈至音叉的距离。连接线路，打开音叉受迫振动与共振实验仪。调节实验仪频率至260Hz左右，观察电压变化。上下调节频率，观察电压变化，找到某一频率使得电压最大，并以此调节电压幅度值（约1.8V）和微调线圈对正情况。之后保持线圈位置、幅度旋钮不变。
1. 测量音叉自由状态下的幅频曲线：
调节频率在共振频率上下波动2Hz（依据电压情况），改变频率，测量并记录不同频率对应的电压值。
注：在共振频率附近测量数据点相对密集些。 2. 测量不同附加质量下的音叉共振频率：
在音叉上下臂上相同位置添加不同质量的物块（5g、10g、15g、20g、25g），分别测量并记录对应的共振频率。 3. 测量不同阻尼下的幅频曲线：
在音叉下方加一磁性棒，通过磁性棒对音叉的电磁力作用产生阻尼力。调节磁性棒距音叉距离来改变阻尼大小，粗测不同阻尼下的共振频率，调节频率在共振频率上下波动2Hz（依据电压情况），改变频率，测量并记录不同频率对应的电压值。 注：在共振频率附近测量数据点相对密集些。
五、 实验数据及处理
1. 测量自由状态下的音叉幅频特性曲线： 频率(Hz) 电压 (V) 频率(Hz) 电压 (V) 频率(Hz) 电压 (V) 频率(Hz) 电压 (V) 267.58 268.58 269.08 269.38 269.78 0.070 0.117 0.164 0.210 0.326 270.49 270.5 270.51 270.52 270.53 1.619 1.655 1.700 1.740 1.767 270.576 270.591 270.601 270.611 270.621 1.834 1.823 1.806 1.788 1.759 270.761 270.871 270.971 271.171 271.371 1.217 0.900 0.713 0.498 0.384 269.98 270.18 270.28 270.38 270.48 U(V)21.81.61.41.210.80.60.40.20266.50.436 0.646 0.835 1.125 1.568 270.54 270.55 270.56 270.57 270.572 1.797 1.814 1.828 1.834 1.835 270.631 270.641 270.671 270.701 270.731 1.732 1.693 1.574 1.459 1.335 271.871 272.471 273.571 275.572 0.247 0.177 0.121 0.083 音叉自由状态幅频特性曲线f(Hz)268.5270.5272.5274.5276.5 由图可知，在自由状态下，音叉的共振频率为270.572Hz，最大振幅为1.835V。 因此，半功率点对应的幅度值约为1.297V。通过图像可找出对应的𝑓1、𝑓2。
𝑓1≈270.415𝐻𝑧 ,𝑓2≈270.750𝐻𝑧 Q=
𝑓0270.572𝐻𝑧
==807.678
𝑓2−𝑓1270.750𝐻𝑧−270.415𝐻𝑧
2. 测量不同附加质量下的音叉共振频率：
质量(g) 频率(Hz) 𝑇2(1×10−5𝑠2) 5 257.325 1.510 10 245.376 1.661 15 234.514 1.818 20 224.736 1.980 25 215.894 2.145 𝑇^2 (10^(−5) 𝑠^2)2.32.22.121.91.81.71.61.51.438周期平方-质量曲线y = 0.0318x + 1.3461R² = 0.9997m(g)132
182328 4𝜋24𝜋2
本图像的方程为：𝑇=𝑚0+𝑚𝑥
𝑘𝑘
4𝜋24𝜋2
−52−1
由图可知：=0.0318×10𝑠∙g ，𝑚0=1.346110−5𝑠2
𝑘𝑘故音叉的劲度系数为k=1.24×105Kg∙s−2 ;折合质量为𝑚0=42.33𝑔 3. 测量不同阻尼下的幅频曲线： (1) 阻尼1 频率(Hz) 电压 (V) 频率(Hz) 电压 (V) 频率(Hz) 电压 (V) 频率(Hz) 电压 (V) 267.525 268.525 269.525 269.725 269.925 270.025 270.125 270.225 270.325 270.345 270.366 0.076 0.126 0.275 0.348 0.467 0.559 0.686 0.88 1.183 1.26 1.342 270.386 270.406 270.426 270.446 270.456 270.466 270.476 270.486 270.496 270.506 270.516 1.427 1.526 1.61 1.689 1.729 1.755 1.785 1.805 1.824 1.834 1.841 270.521 270.533 270.543 270.553 270.563 270.583 270.603 270.623 270.643 270.673 270.703 1.841 1.836 1.823 1.809 1.785 1.732 1.666 1.593 1.516 1.396 1.282 270.733 270.783 270.823 270.923 271.033 271.133 271.233 271.433 271.733 272.733 274.733 1.177 1.029 0.932 0.744 0.606 0.517 0.451 0.36 0.278 0.164 0.098 U(V)21.81.61.41.210.80.60.40.20267.2阻尼1下的幅频特性曲线270.521, 1.841F(HZ)268.2269.2270.2271.2272.2273.2274.2 由图可知，在阻尼1状态下，音叉的共振频率为270.521Hz，最大振幅为1.841V。 因此，半功率点对应的幅度值约为1.302V。通过图像可找出对应的𝑓1、𝑓2。
𝑓1≈270.356𝐻𝑧 ,𝑓2≈270.698𝐻𝑧 Q=
(2) 阻尼2 频率(Hz) 电压 (V) 频率(Hz) 电压 (V) 频率(Hz) 电压 (V) 频率(Hz) 电压 (V) 𝑓0270.521𝐻𝑧
==790.997
𝑓2−𝑓1270.698𝐻𝑧−270.356𝐻𝑧
267.409 268.409 269.409 269.609 269.809 269.909 0.073 0.119 0.248 0.307 0.396 0.462 270.409 270.429 270.449 270.459 270.469 270.479 1.554 1.638 1.714 1.751 1.775 1.802 270.556 270.566 270.586 270.606 270.636 270.666 1.793 1.766 1.708 1.640 1.523 1.405 270.906 271.016 271.086 271.176 271.416 271.616 0.768 0.624 0.556 0.488 0.367 0.306 270.009 270.109 270.209 270.309 270.339 270.369 270.389 U(V)21.81.61.41.210.80.60.40.202670.551 0.677 0.859 1.148 1.230 1.391 1.477 270.489 270.499 270.509 270.52 270.525 270.535 270.546 1.823 1.833 1.840 1.840 1.835 1.827 1.810 270.686 270.706 270.726 270.766 270.806 270.846 270.876 1.331 1.261 1.195 1.068 0.967 0.880 0.820 271.816 272.216 273.016 274.616 275.417 276.017 277.317 0.263 0.207 0.149 0.101 0.088 0.082 0.071 阻尼2下的幅频特性曲线270.509, 1.84269271273275277f(Hz) 由图可知，在阻尼2状态下，音叉的共振频率为270.509Hz，最大振幅为1.840V。 因此，半功率点对应的幅度值约为1.300V。通过图像可找出对应的𝑓1、𝑓2。
𝑓1≈270.343𝐻𝑧 ,𝑓2≈270.696𝐻𝑧 Q=
(3) 阻尼3 频率(Hz) 电压 (V) 频率(Hz) 电压 (V) 频率(Hz) 电压 (V) 频率(Hz) 电压 (V) 𝑓0270.509𝐻𝑧
==766.314
𝑓2−𝑓1270.696𝐻𝑧−270.343𝐻𝑧
267.473 0.079 270.363 1.531 270.501 1.816 270.741 1.045 268.473 269.473 269.673 269.873 269.973 270.073 270.173 270.273 270.283 270.303 270.323 270.343 U(V)21.81.61.41.210.80.60.40.20267.20.13 270.383 0.283 270.403 0.356 270.413 0.476 270.423 0.568 270.433 0.692 270.443 0.881 270.453 1.173 270.463 1.214 270.473 1.29 270.477 1.369 270.481 1.449 270.491 1.612 270.511 1.697 270.521 1.726 270.531 1.759 270.541 1.781 270.551 1.804 270.571 1.821 270.581 1.829 270.601 1.834 270.631 1.834 270.651 1.833 270.681 1.828 270.711 1.801 270.771 1.778 270.831 1.757 270.931 1.726 271.031 1.691 271.131 1.624 271.331 1.594 271.631 1.509 272.031 1.405 273.031 1.333 274.031 1.228 275.031 1.131 275.632 0.975 0.846 0.69 0.58 0.502 0.394 0.3 0.229 0.149 0.114 0.095 0.087 阻尼3下的幅频特性曲线270.473, 1.834268.2269.2270.2271.2272.2273.2274.2275.2f(Hz) 由图可知，在阻尼3状态下，音叉的共振频率为270.473Hz，最大振幅为1.834V。 因此，半功率点对应的幅度值约为1.297V。通过图像可找出对应的𝑓1、𝑓2。
𝑓1≈270.307𝐻𝑧 ,𝑓2≈270.665𝐻𝑧
Q=
六、 实验结论
𝑓0270.473𝐻𝑧
==755.511
𝑓2−𝑓1270.665𝐻𝑧−270.307𝐻𝑧
1. 音叉自由振动的共振频率约为：270.572Hz；
2. 音叉的劲度系数为k=1.24×105Kg∙s−2 ;折合质量为𝑚0=42.33𝑔
3. 随着阻尼的增大，音叉的共振频率逐渐减小，在不同阻尼下获得的幅频特性曲线的
锐度减小。
七、 实验误差分析
1. 音叉受迫振动与共振实验仪本身精确度限制导致频率与幅度值测量误差； 2. 若负载与音叉对应位置的两个物块未完全拧紧，存在轻微晃动现象导致测量误
差；同时如果仪器本身制作两个对称位置有一定偏差也会导致误差
3. 由于本实验阻尼变化极不明显，导致在计算与读数时，各阻尼之间对比不明显，
且很小的读数改变都会对实验结果造成较大影响。
八、 课后思考题
1. 驱动线圈位置不变，接收线圈向音叉节点处移动，共振幅度会发生怎样的变化？
共振幅度会减小。因为越靠近节点距离受驱动力区域越远，越易受阻尼影响而能量损耗；同时越靠近节点，两机械波叠加使得振幅减小。
2. 一对质量块加在音叉臂的不同位置会产生什么影响？试分析音叉两臂所加不同质
量块时，会对音叉的振动周期产生什么影响？
随着负载距音叉节点距离的增加，音叉的周期逐渐增大并为非线性变化。 本次实验可知当两臂分别加5g、10g、15g、20g、25g时，周期随质量增加而增大，且周期的二次方与所加质量程线性变化。
𝑑𝑥𝑑2𝑥
−𝑘𝑥−𝛾=𝑚2
𝑑𝑡𝑑𝑡𝑘2𝛾
令𝜔02= ,𝛿=
𝑚𝑚
当δ=0时，𝑥=𝐴0cos(𝜔0𝑡+𝜑0)
由ω0
2
𝑘4𝜋2
2
= ,T=𝑚 𝑚𝑘
𝑚=𝑚0+𝑚′ ,𝑚0为音叉质量，𝑚′为各臂附加质量
九、 实验总结
1. 在本次实验中，起初在调解频率时随着频率的降低，幅度值反而增加。后经调试，
发现本音叉的共振频率要高一些约270Hz。随着频率降低幅度增加的原因是有次波峰存在。
2. 在预实验确定幅度旋钮时，注意一定要调整到音叉的共振频率，并使得最大幅度值
约1.8V-1.9V。否则，若未达到共振频率旋转设置最大幅值，在实验中可能出现超量程情况。
3. 注意调节驱动线圈与接收线圈的相对位置与两线圈和音叉比的距离。
4. 在测量幅频曲线时，于共振频率附近数据点测量密集些，因为共振频率附近，曲线
斜率绝对值较小，因此实验误差可由增加数据点密度来减小。
5. 在音叉上固定小物块时，注意拧紧，否则系统不稳定会对实验造成影响。
6. 在施加阻尼时，应该尽量使小磁棒靠近音叉末端，这样改变阻尼时现象会较为明显。
1.851.651.451.251.050.850.650.450.250.05267.5268.5269.5270.5271.5272.5273.5274.5275.5U(v)不同阻尼大小的幅频曲线幅频曲线123f(Hz) U(V)1.91.81.71.61.51.41.31.2270.35不同阻尼下的幅频曲线局部放大图1230270.4270.45270.5270.55270.6270.65f(Hz)
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