第5讲 函数的概念学生(新高一培优十六讲系列)

[玩前必备]

1.函数

(1)函数的定义：设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数.记作y＝f(x)，x∈A. (2)函数的定义域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域.

(3)函数的值域：所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域. 2.区间

设a，b∈R，且a＜b.

定义 {x|a≤x≤b} {x|a＜x＜b} {x|a≤x＜b} 名称 闭区间 开区间 半开半 闭区间 半开半 闭区间 符号 [a，b] (a，b) [a，b) 数轴表示 {x|a＜x≤b} 3.无穷区间的表示 定义 符号 {x|x≥a} [a，＋∞) (a，b] {x|x＞a} (a，＋∞) {x|x＜a} (－∞，a) {x|x≤a} (－∞，a] R (－∞，＋∞) 4.函数的常用表示方法 表示方法 列表法 图象法 解析法 (公式法) 5.分段函数定义 在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数.

[玩转典例]

题型一 函数的概念和判断

定义 通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法. 用“图形”表示函数的方法叫做图象法. 如果在函数y＝f(x)(x∈A)中，f(x)是用代数式(或解析式)来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析法(也称为公式法).

例1 下列对应或关系式中是A到B的函数的是( ) A.A∈R，B∈R，x2＋y2＝1

B.A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：

C.A＝R，B＝R，f：x→y＝

1 x－2

D.A＝Z，B＝Z，f：x→y＝2x－1 [玩转跟踪]

1.下列图形中，不可能是函数y＝f(x)的图象的是( )

2.在图(1)(2)(3)(4)中用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则，是不是函数关系？

题型二 同一函数的判断

例2 下列各组函数中，表示同一个函数的是( ) x2－1

A.y＝x－1和y＝ x＋1B.y＝x0和y＝1

C.f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2 x2x

D.f(x)＝和g(x)＝ xx2[玩转跟踪]

1.下列函数完全相同的是( ) A.f(x)＝|x|，g(x)＝(x)2 B.f(x)＝|x|，g(x)＝x2

x2

C.f(x)＝|x|，g(x)＝

xx2－9

D.f(x)＝，g(x)＝x＋3

x－3

2.下列各组函数中，f(x)与g(x)表示同一函数的是( ) A.f(x)＝x－1与g(x)＝x2－2x＋1 x2

B.f(x)＝x与g(x)＝

x3C.f(x)＝x与g(x)＝x3 x2－4

D.f(x)＝与g(x)＝x＋2

x－2题型三 函数的定义域

x

例3 (1)函数f(x)＝ln＋x2的定义域为( )

x－1A．(0，＋∞) C．(0,1)

B．(1，＋∞) D．(0,1)∪(1，＋∞)

1(2)(2013·大纲全国)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为( ) A．(－1,1) C．(－1,0) [玩转跟踪]

1. 已知函数f(x2)的定义域为[－2，2]，则f(x1)f(x1)的定义域为( ) A．[－1，1] B．[－2，2] C．[1，3]

D．[－1，5]

11

2.(1)已知函数f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f(x＋)＋f(x－)的定义域是________．

22(2)函数y＝

lnx＋1－x2－3x＋4

的定义域为__________________________________．

1

B．(－1，－)

21

D．(，1)

2题型四 求函数的解析式

2

例4 (1)已知f(＋1)＝lg x，则f(x)＝________.

x

(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝________. 1

(3)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f()·x－1，则f(x)＝________.

x

(4)已知f(0)1，对于任意实数x、y，等式f(xy)f(x)y(2xy1)恒成立，求f(x)． [玩转跟踪]

1.(1)已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)＝________.

(2)(2013·安徽)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.

1

(3)已知f(x)满足2f(x)＋f()＝3x，则f(x)＝________.

x

题型五 分段函数

x＋1，x≤－2，

例5 已知函数f(x)＝x2＋2x，－2＜x＜2，

2x－1，x≥2.5

(1)求f(－5)，f(－3)，f(f(－))的值；

2(2)若f(a)＝3，求实数a的值.

[玩转跟踪]

x－2，|x|≤1，1

1.已知函数f(x)＝则f[f()]＝________；

21＋x2，|x|＞1，

x＋1，x≥0，

2.已知函数f(x)＝1若f(x)＝2，则x＝________.

，x＜0，|x|

[玩转练习]

1.函数y＝1－x＋x的定义域是( ) A.{x|x≤1}

C.{x|x≥1，或x≤0}

B.{x|x≥0} D.{x|0≤x≤1}

2.已知函数f(x)＝2x－1，则f(x＋1)等于( ) A.2x－1 C.2x＋1

B.x＋1 D.1

4

3.设函数f(x)＝，若f(a)＝2，则实数a＝________.

1－x4.求下列函数的定义域： 1

(1)f(x)＝；

x＋1

(2)y＝x2－1＋1－x2； (3)y＝2x＋3； x＋1(4)y＝2.

x－1

1x＋1，x＜1，

5.已知函数f(x)＝则f(2)等于( )

x－1，x＞1，A.0 C.1

1

B. 3D.2

6.已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出

x f(x) x g(x) 1 2 1 3 2 1 2 2 3 1 3 1 (1)f[g(1)]＝______；(2)若g[f(x)]＝2，则x＝______. 7.已知f(2x＋1)＝3x－2且f(a)＝4，则a的值为________.

2x－4，0≤x≤2，

8.已知函数f(x)＝

2x，x＞2.

(1)求f(2)，f[f(2)]的值； (2)若f(x0)＝8，求x0的值.

1x

9. 如果f＝x1－x，则当x≠0,1时，f(x)等于( ) 1A. x1C. 1－x

1B. x－11D.－1 x

21－x，x≤1，1

10.设函数f(x)＝2则ff2的值是________.

x＋x－2，x＞1，

11.已知二次函数f(x)满足f(0)＝0，且对任意x∈R总有f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x).

12.求下列函数的解析式：

11

x－＝x2＋2＋1，求f(x)； (1)已知fxx

(2)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)的解析式.