妙算还从拙中来——纪念吴文俊院士诞辰100周年

机械化等领域做出开创性的贡献，对数学教育 也有着深刻的见解.张奠宙先生等认为：吴先

生关于数学教育的论述，已经并将继续对中国

4x2 - 4x + 6 = (x3 + x2 - 4x +2)(/ + 2x + 2) +2 = 2.的数学教育产生深刻的影响，进一步研究吴先 生的数学教育思想,具有重要的现实意义I〕.我们最关心的不是％的取值，而是两个多

项式之间的关系，而多项式除法能建立这种关

吴先生除了在思想上指导我们，他所创造

的吴方法，能否被更多中学数学老师了解，甚 至是进入中学课堂？早在上世纪80年代初，吴 先生就希望在中学里推行机械化数学，只是那

系.这一技巧在代数运算中并不罕见，但好像 并没引起足够的重视.吴先生却将这--技巧运

用得炉火纯青，并从中挖出了“金矿”.鉴于吴

方法解几何题的资料已经很多了，下面我们给 出一个代数方面的例子.例2已知a、b、c、％、y为实数，若处+

by = 1 , bx + cy = 1 , ex + ay = 1.求证：ab + be + ca = a2 + b2 + c2.时候计算机还不普及，难以进行•在1995年的 一次讲话中，吴先生再次提出这一问题，表示

现在不做，将来也还是要做，希望有愿意做的 同志加入进来.有试验表明，这是完全可能

的•推广普及机械化数学，是一个大任务.

分析：由 ax by = \\ , bx + cy = \\ ,得 acx + bey = c, b~x + bey = 6,相减得 x = -7----「，同理b~ - ach — (1 h ~ c得 y = ----，代入 ex + ay = 1 ,得 c --------- + ao - ac b_ — ac下面我们谈谈学习吴方法的一点粗浅心得.吴方法解几何题，是基于解析儿何.只不

过通常的解析法是根据几何关系列出等式，然 后尽可能多地解出未知数，然后将解出的结果 代入要求证的式子，判断是否为0.问题是有些

要求解的未知数交缠在多个方程中，方程并不

好解.吴先生别出心裁，采用了一个极其巧妙

------ = 1，所以 ab + be + ca = a2 4- b2 + c2.

b — ac需要注意,上述解法默认ac - b2 H 0.事实

的方式，避开了方程求解.上,所求等式ab + be + ca = a2 + b2 + c~可转化

这个方法说起来很简单，也常见先来看 初中代数问题.例 1 已知 x3 + x2 - 4.r + 2 = 0,求 / +

为(a - 6)2 + ( b - c)2 + (c - a)2 = 0,等价于

a = b = c,可推出 ac - b2 - 0.3.r4 - 4.1，- 4.1 + 6.证法 1 :由 ax + by - \\ , bx + cy - \\ .得 acx + bey = c, b2x + bey 二 b,相减得(/, - ac)x =

b - c,同理得(// - ac)y = b - a ,代入 ex + ay =

常规方法：先求解/ +x2 -4.r + 2 = 0,可 得x=- 1 +/3, -1-/3,1，然后分别将三个 解代入/ + 3.x4 - 4xz - 4x + 6,计算量比较大.

譬如计算(Q - I)5 + 3(73 - I)4 - 4(血-

I ,即(// - ac)cx + a( b2 - ac)y = l)2 - ac,得

c( b -c) + a(b - a) = b~ - ac,所以 ab + be + ca = a2 + b2 + c2.I)2 -4(73 - 1) + 6,花费很大力气求得结果

这样一来，b2 - ac不出现在分母，不管其是否为0,都不受影响.至于将c% + ay = 1两边

此时遇到分式2,增加了运算的麻烦.因

同乘以1$ - qc,也无需考虑b2 - ac是否为0.a证法 2： ab + be + ca 二 ab(ax + by) + bc(bx +此我们改用« x/2除以力，于是有：cy)+ ca( ex+ ay)=a(bx + cy) + b2 (ex+ay)+c2(ax + by)二 a2+b2+ c.______________b证法3：ab+be+

ca — a2-b2-C2

ax + by - 1 ) abx + acy - a二abx + b2y - bab - 1abax + by - \\(Ib0

ca - 1二caex + ay - \\=ca0即 a x. (bx + cy -

- (ax + by - xbc - 1bcbx + cy - \\bc0b + [ (ac - b2)y - a + b]，若设办=(ac ~ b2)y =0.~a + b,则有 a xf2=b x/, +/,.rax +多项式除法写成：扩倍因子x被除式=除

证法4：方程组\\bx + cyby ++ zz =二 0,0,有非零式X商+余式，是吴方法所要求的规范表述形

[ex + ay + z=0式•对上式而言，扩倍因子是a,被除式是厶=加

ab1+ cy - 1 ,除式是£ = ax + by - 1,商b,余式是

解(’，y, - 1),所以系数行列式bc1二(ac - b2 - a + b.ca1后面步骤,我们省略演算过程.0,展开得 ab + be + ca =『+ b2 +c2 .第二步，用厶扩倍除以X，得到a x厶=c X

证法 5 ： a2 + b2 + c2 - ab - be ~ ca - (ab -

/1 + [ («2 - bc)y - a + c]，设厶-(a2 - bc)y -

c2) (ax + by - 1) + (be - a2) (bx + cy - 1) + (ac a +c,则 a xf3 =c x/, + f5.-62) (ex + ay - 1) = 0.至此,力、/5中只和y有关,相当于消去了

上式右边展开化简之后恰好等于左边，因

九接下来再做除法，消去y,只剩和a、b、c有

此原式得证.关的多项式.证法5很有意思.如何想到的呢？不排除 第三步，用人扩倍除以九，得到(ac -尸)X

有天才凭直觉能写出•下面用吴方法“死板”地

f5 = (a2 - be) xf4 + a( a2 + b2 + c2 - ab - be -

推出.ca)，则(ac - b2) xf5 = (a2 - be) x/, + a x g.设 A = ax + by - \\,f2=bx+cy- \\ ,f3= ex

第四步，将结论表示出来.a x g = (ac - + ay - 1 , g = a2 + b2 + c2 - ab - 6c - ca,问题

62) x f5 - (a2 - 6c) x 九= (ac-F) x (a x

归结为：由fx =0,/2 =0./3 =0 推得g = 0./3 _ c x/i)- (/ - be) x (a x/2 - 6 x/,),即最直接的思路是证法I,用a、6、C表示X、

aXg=aX(ab -c') x /, + a x (be -

y.但事实上■ y的取值，并不是我们最关心

a2) xf2 + a x (ac — b2) x f*的•我们最关心的是久、/、人、g这四个多项式 若 a = 0,则 x = —, y =丨，这与 bx + cy ~

之间的关系，下面通过多项式除法，来建立 c b关系.1 =0矛盾，所以a HO,上述恒等式两边约去a,

第一步，用Z除以£,会得到可得证法5.b当看到证法5这一漂亮的恒等式解法，你

能想到中间过程要经过这么多次死板的除法

bx + cy - 1 运算吗？正如华罗庚先生诗中所说：妙算还从

bx +...

拙中来.(下转第9-35页)十111,亏口 •ISSN--------------- 0488 - 7387CN31 - 1024/G4定价:6.00元 每月12日出版代号：4-3572019年第9期9-35极限情形.学选修教材中对行列式也有一些简单介绍•本 类似地，下面这个命题也是命题10在双曲 文所举的例子也可供师生作参考.线中另一种极限情形.参考文献命题12⑻ 如图4,直线/与双曲线相交

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于点缶、与其渐近线相交于点血、禺，则 学教学,2015(8) ：41-43.人仏=

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[J]•数学通讯,1994(11):19-20.[6] 吴波.也说蝴蝶定理的一般形式[J].

将图4中的双曲线看作命题10中的5 ,两

数学通报,2012,51(6):47-50.渐进线构成的直线对看作C2,而无穷远直线xy

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(即图4中的虚线，此处它是一条二重直线)就

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处理完全一样了.何性质[M].蒋声，译.上海:上海教育出版社,

行列式是解析几何中的常用工具,高中数2002：107-10&?*w r(上接封底)我们永远学习.吴文俊先生近些年接受媒体采访时常说 谨以此文纪念吴文俊院士诞辰100周年.这样一句话：“数学是笨人学的•”⑹这让很

参考文献多人不解：学习数学需要天赋,数学好基本上 [1] 张奠宙，方均斌•研究吴文俊先生的 就是脑袋瓜聪明的同义词，笨人怎么学数学

数学教育思想[J].数学教育学报,2009, 18呢？吴先生的解释是：做研究不要自以为聪

(2)： 5-7.明，总是想些怪招，寄希望于灵机一动，而是

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扎扎实实下功夫寻找通法，形成算法•数学机

[J].数学教育学报,2009,18(2)： 8-12.械化研究的价值正在于此，让数学研究和数 [3] 张奠宙•努力实践吴文俊先生的数学

学教学摆脱大量、繁琐的机械计算和推理，把

教育思想[J]•数学教学,2017(6)：封底.节省下来的时间精力用于更富有创造性的工

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作中去.北京：科学出版社,2007.我们要学习吴先生的思想方法，更要学习 [5] 刘丽霞•高中数学选修课程《吴文俊

吴先生的精神.在上个世纪七八十年代，没有

与平面几何的机械化证明》的思考[J].课程教 电脑的情况下，吴先生采用“最笨”的办法—— 育研究,2012(3)： 89.把自己当作机器，一步步手算，开创了数学机

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