山西省忻州一中、长治二中、康杰中学、临汾一中2016届高三下学期第三次四校联考数学(理)试卷

数学（理）试题

命题：临汾一中 忻州一中 长治二中 康杰中学

【满分150分，考试时间为120分钟】

一、选择题(5〓12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号) 1.已知集合Myy2x,x0，Nxylgx，则MN为

A. (0,) B. (1,) C. 2,) D. 1,) 2．复数zi1，则|z| i A. 1 B.1+i C.2 D.1i

3.中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人所站的位置不做要求，那么不同的站法共有

1820A. A18种 B. A20种 2310218C.A3种 D. A2A18A10A18种

4．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出S的值为 A．4 B．8 C．10 D．12

5.等比数列an中，a42,a75，则数列lgan的前10项和等于 A. 2 B. lg50 C. 5 D. 10

226.若非零向量a,b满足ab，且(ab)(3a2b)，则a与b的夹角为

33A.  B . C. D.

244cos2xsin2xa1a2=a1a4a2a3，若f(x)7．定义22矩阵cos(2x)a3a42A. 图象关于,0中心对称 B. 图象关于直线xC.在区间[3，则f(x) 1对称

2

6,0]上单调递增 D. 周期为的奇函数

8. 设函数f(x)xsinxcosx的图像在点(t,f(t))处切线的斜率为k ，则函数kg(t)的

图像为

A B C D

2x2xy209.不等式组表示的点集记为M，不等式组表示的点集记为N，在M20y4yx中任取一点P，则P∈N的概率为 A.

10．已知一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 A.7 B.7 C. 722正视图9779 B. C. D. 16163232121侧视图132 D.8 31俯视图211. 已知双曲线

xy1(a0,b0)的左、右两个焦点分别为a2b2F1,F2,A,B为其左、右顶点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为

M，且MAB30,则双曲线的离心率为

A.

21211919 B . C. D. 2332212.已知函数f(x)axbxlnx(a0,bR),若对任意x0，f(x)f(1)，则 A.lna2b B . lna2b C. lna2b D. lna2b 二、填空题:（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）

13．已知随机变量X服从正态分布X～N(2，σ), P(X<4)＝0.84, 则P(X≤0)的值为 ．

14.若(ax2)6的展开式中x3项的系数为20，则a2b2的最小值为________．

15. 已知在ABC 中，B2A,ACB 的平分线CD 把三角形分成面积比为4:3的两部分，则cosA .

16.一个空心球玩具里面设计一个棱长为4的内接正四面体，过正四面体上某一个顶点所在的三条棱的中点作球的截面，则该截面圆的面积是 ．

三、解答题: （本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。） 17. （本小题满分12分）

在等差数列an中，a25,a511，数列bn的前n项和Snn2an.

2

bx（Ⅰ）求数列an，bn的通项公式; （Ⅱ）求数列

18.（本小题满分12分）

现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为3，命中得1分，没有命中

1的前n项和Tn．

bnbn14得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为2，每命中一次得2分，没有命中得0分．该

3射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．

（Ⅰ）求该射手恰好命中一次的概率；

（Ⅱ）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX．

19.（本小题满分12分）

如图,三棱柱ABC-A1B1C1所有的棱长均为2,B1在底面上的射影D在棱长BC上,且A1B∥平面ADC1。

（Ⅰ）求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；

（Ⅱ）求平面ADC1与平面A1AB所成角的正弦值．

20. （本小题满分12分）

12，0）为抛物线y2px（p＞0）的焦点，点N（x0，y0）（y0＞0）为其上25一点，点M与点N关于x轴对称，直线l与抛物线交于异于M，N的A，B两点，且|NF|=，

2已知F（

kNAkNB2。

（Ⅰ）求抛物线方程和N点坐标；

（Ⅱ）判断直线l中，是否存在使得MAB面积最小的直线l'，若存在，求出直线l'的方程和MAB面积的最小值；若不存在，说明理由．

21.（本小题满分12分）

已知函数f(x)xalnx,g(x)1a(aR) . x（Ⅰ）设函数h(x)f(x)g(x)，求函数h(x)的单调区间；

（Ⅱ）若不等式f(x)≤g(x)在区间[1，e]（e=2.71828…）的解集为非空集合，求实数

a的取值范围 .

选做题: 请考生从第22、23、24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分.做答时请写清题号。 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，AB为圆O的直径，BE为圆O的切线，点C为圆O上不同于A、B的一点，AD为∠BAC的平分线，且分别与BC交于H，与圆O交于D，与BE交于E，连结BD、CD．

（Ⅰ）求证：BD平分∠CBE; （Ⅱ）求证：AHBHAEHC.

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

x32cos在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（为参数）.

y42sin（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程； （Ⅱ）已知A(2,0),B(0,2)，圆C上任意一点M(x,y)，求ABM面积的最大值．

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)xa4x,a0.

（Ⅰ）当a2时，求不等式f(x)2x1的解集；

（Ⅱ）若x(2,)时，恒有f(2x)7xa3，求实数a的取值范围．

22016届高三年级第三次四校联考

数学（理）试题答案

命题：临汾一中 忻州一中 长治二中 康杰中学

1-5 BCDBC 6-10 DCBDA 11-12 BA 13.0.16 14.2

2 31616．

315.

17. 解：（1）设等差数列an的首项为a1，公差为d，则a2a1d5

a5a14d11a13 an3(n1)22n1 …………（3分） d2数列bn的前n项和Snn22n1

当n=1时，b1S14，

当n2时，对b1=4不成立， bnSnSn1(n22n1)(n1)22(n1)12n1，所以，数列bn的通项公式为bn4,(n1) …………（6分）

2n1,(n2)（2）n=1时，T111， b1b220n2时，所以

11111() ， bnbn1(2n1)(2n3)22n12n3Tn1111111111111n16n1()()20257792n12n320252n32010n1520(2n3)n=1仍然适合上式， …………（10分） 综上，Tn1n16n1 ………… （12分）

2010n1520(2n3)18. 解：（Ⅰ）记“该射手恰好命中一次”为事件A；“该射手设计甲靶命中”为事件B；“该

射手第一次射击乙靶命中”为事件C；“该射手第二次射击乙靶命中”为事件

D．---------2分

由题意知，P(B)3，P(C)P(D)2，

43由于ABCDBCDBCD，根据事件的独立性与互斥性得

P(A)P(BCDBCDBCD)P(BCD)P(BCD)P(BCD)

3(12)(12)(13)2(12)(13)(12)27---------4分 43343343336（Ⅱ）根据题意，X的所以可能取值为0,1,2,3,4,5． 根据事件的独立性和互斥性得

P(X0)P(BCD)(13)(12)(12)1，

43336 P(X1)P(BCD)3(12)(12)1，

43312P(X2)P(BCD)P(BCD)(13)2(12)21，

4339P(X3)P(BCD)P(BCD)32(12)21 4333P(X4)P(BCD)(13)221

4339P(X5)P(BCD)3221---------9分

4333故X的分布列为

X 0 1 2 3 4 5 P 1 361 121 91 31 91 3 所以EX01112131415141．---------12分

3612939312

19. （1）连接A1C交AC1于点O,连接OD,则平面A1BC∩平面ADC1=OD。（2分） ∵A1B∥平面ADC1,∴A1B∥OD,又为O为A1C的中点。 ∴D为BC的中点,则AD⊥BC。

又B1D⊥平面ABC,∴AD⊥B1D，BC∩B1D=D。 ∴AD⊥平面BCC1B1。

又AD平面ADC1,从而平面ADC1⊥平面BCC1B1。（6分）

（2）以D为坐标原点,DC,DA,DB1所在的直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则D（0,0,0）,B（-1,0,0）,A（0,3,0），B1（0,0,3），C1（2,0,3）（7分）

易知BA=（1,3,0）,BB1（1,0,3）,设平面A1AB的一个法向量为m=（x,y,z）。 x3y0BAm0则,即,取x=-3,则m=（-3,1,1）。（9分）

x3z0BB1m0易知DA=（0,3,0），（2,0,3），同理可得平面ADC1的一个法向量为n=（-3,0,2）。 DC1=mn535∴cos===。

757|m||n|那么平面ADC1与平面A1AB所成角的正弦值为

14。（12分） 720. （1）由题意

p1，则p1， 222故抛物线方程为y2x。 由|NF|=x0∵y0＞0， ∴y02，

所以N（2,2）。 （4分） （2）由题意知直线的斜率不为0，则可设直线l的方程为xtyb。

p52，则x02,y04。 22y22x2联立方程组，得y2ty2b0。

xtybyy设两个交点A（1，y1），B（2，y2）（y1≠〒2，y2≠〒2），则

22224t28b＞0,y1y22t, （6分） yy2b.12由kNAkNBy12y2242，整理得 22(y2)(y2)y12y221222b2t3。 （8分）

此时，4(t4t6)＞0恒成立。

故直线l的方程可化为x3t(y2)，从而直线l过定点E（3，-2）。 （9分）

因为M（2，-2），

所以M,E所在直线平行x轴， 所以△MAB的面积S21MEy1y2t24t6(t2)22当t=-2时有最小值为22，此时直线l'的方程为x2y10。 （12分）

解法二：（2）当l的斜率不存在时，l:x2（舍） 或x3，此时△MAB的面积s当斜率存在时，设l:ykxb ---------------------------6分

6

y22x22kbb2222kx(2kb2)xb0 ，x1x2,x1x22 2kkykxby1y222b ,y1y2kkkNAkNBy2y2212x12x22或

得

6k2(5b2)kb240b3k2kb2k2舍-----------9分

21k212kb21k216k24k点M到直线的距离d ，AB 222kk1k16k24k114SABd62----------------------------------1222kkk1分

综上，所以△MAB的面积最小值为2，此时k --------------------12分 21. (1)h(x)xalnx1 直线l'的方程为x2y10 21a ,定义域为（0，+∞）， xa1ax2ax(1a)(x1)x(1a) ……………………2h(x)12xxx2x2分

①当a10, 即a1 时，令h(x)0 ，x0,x1a,

令h(x)0 ，得0x1,a 故h(x) 在(0,1a)上单调递减，在(1a,) 上单调递增 ……………………3分 ②当a10, 即a1 时，h(x)0恒成立，h(x)在（0，+∞）上单调递增。 ……………………4分

综上，当a1时，h(x)的单调递减区间为(0,1a)，单调递增区间为(1a,)。 当a1时，h(x)的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间。 ……………………5分

（2）由题意可知，不等式f(x)≤g(x)在区间[1，e]（e=2.71828…）的解集为非空集合， 即在[1，e]存在x0 使得f(x0)g(x0) 成立，

由（1）中h(x)f(x)g(x)，则在[1，e]存在x0使得h(x0)f(x0)g(x0)0 即函数h(x)xalnx1a在[1，e]上的最小值h(x)min0 ……………………6分 x由（1）知，当a1时，h(x)在[1，e]上单调递增，h(x)minh(1)2a0,a2 7分

当a1时

①当a1e, 即ae1 时，h(x)在[1，e]上单调递减，

h(x)min1ae21h(e)ea0,a,

ee1e21e21e1,a; ……………e1e1………9分

②当0a11,即1a0 时，h(x)在[1，e]上单调递增，

h(x)minh(1)2a0,a2解 ……………………10分

,无

③当1a1e,即0ae1 时，h(x)在1,1a)上单调递减，在a1,e 上单调递增 h(x)minh(a1)a2aln(a1),此时h(x)min0 ，不合

题意。

……………………11分

e21综上可得，实数a 的取值范围是a 或a2 ……………………12分

e122. 证明：（I）由弦切角定理得到∠DBE=∠DAB，又∠DBC=∠DAC，∠DAB=∠DAC，所以∠DBE=∠DBC，即BD平分∠CBE. …………（5分）

(2) 由（1）可知BE=BH，所以AHBHAHBE，因为∠DAB=∠DAC，∠ACB=∠ABE，所以△AHC∽△AEB， 所以

（命题立意）本题考查弦切角定义，弦切角定理，以及相似三角形的判定定理及性质定理. （讲评价值）1. 熟悉弦切角定理，并能利用定理找出与其相等的角; 2. 熟悉相似三角形的判定定理及性质定理.

（解题思路）1. 利用弦切角定理找出与其相等的角，并进行相等角间转化; 2. 利用相似三角形的判定定理判定△AHC∽△AEB; 3. 利用相似三角形对应边成比例，证明有关问题. （易错点）1. 与弦切角相等的角找不对; 2. 相似三角形的对应边找不对.

（试题变式）在本例条件下，试证明ABDHCDBH

23. （1）圆C的参数方程为AHHC，即AHBEAEHC，即AHBHAEHC. ……（10分） AEBEx32cos（为参数），圆C的普通方程为

y42sin(x3)2(y4)24，所以圆C的极坐标方程为26cos8sin210 5

分

（2）法一：求直线AB方程为xy20 |AB|22，圆上的点到直线的最大距离为

922210分

，ABM的面积最大值为922 法二：易求直线AB方程为xy20 |AB|22 点M(x, y)到直线AB：xy20的距离为

d|xy2||32cos(42sin)2| 22|2cos2sin9| 21|AB|d|2cos2sin9||22sin()9| 24 ABM的面积S ABM的面积最大值为922.

24. （1）f(x)2x1，即x22x1，即x22x12x2x1或，解得

x20x20xx1. …………（5分）

（2）f(2x)7xa3可化为f(2x)7xa3，令F(x)f(2x)7x，

22a3xa(x)2，由于a>0，

因为F(x)f(2x)7x2xaxx(2,)，

aax(x)2所以当xaaaa时，F(x)有最小值F()，若使原命题成立，只需a23，解得2222a0,2. …………（10分）

2016届高三年级第三次四校联考

数学（理）试题答案

命题：临汾一中 忻州一中 长治二中 康杰中学

1-5 BCDBC 6-10 DCBDA 11-12 BA 13.0.16 14.2

2 31616．

315.

17. 解：（1）设等差数列an的首项为a1，公差为d，则a2a1d5

a5a14d11a13 an3(n1)22n1 …………（3分） d2数列bn的前n项和Snn22n1

当n=1时，b1S14，

当n2时，对b1=4不成立， bnSnSn1(n22n1)(n1)22(n1)12n1，所以，数列bn的通项公式为bn4,(n1) …………（6分）

2n1,(n2)（2）n=1时，T111， b1b220n2时，所以

11111() ， bnbn1(2n1)(2n3)22n12n3Tn1111111111111n16n1()()20257792n12n320252n32010n1520(2n3)n=1仍然适合上式， …………（10分） 综上，Tn1n16n1 ………… （12分）

2010n1520(2n3)18. 解：（Ⅰ）记“该射手恰好命中一次”为事件A；“该射手设计甲靶命中”为事件B；“该

射手第一次射击乙靶命中”为事件C；“该射手第二次射击乙靶命中”为事件

D．---------2分

由题意知，P(B)3，P(C)P(D)2，

43由于ABCDBCDBCD，根据事件的独立性与互斥性得

P(A)P(BCDBCDBCD)P(BCD)P(BCD)P(BCD)

3(12)(12)(13)2(12)(13)(12)27---------4分 43343343336（Ⅱ）根据题意，X的所以可能取值为0,1,2,3,4,5． 根据事件的独立性和互斥性得

P(X0)P(BCD)(13)(12)(12)1，

43336 P(X1)P(BCD)3(12)(12)1，

43312P(X2)P(BCD)P(BCD)(13)2(12)21，

4339P(X3)P(BCD)P(BCD)32(12)21 4333P(X4)P(BCD)(13)221

4339P(X5)P(BCD)3221---------9分

4333故X的分布列为

X 0 1 2 3 4 5 P 1 361 121 91 31 91 3 所以EX01112131415141．---------12分

3612939312

19. （1）连接A1C交AC1于点O,连接OD,则平面A1BC∩平面ADC1=OD。（2分） ∵A1B∥平面ADC1,∴A1B∥OD,又为O为A1C的中点。 ∴D为BC的中点,则AD⊥BC。

又B1D⊥平面ABC,∴AD⊥B1D，BC∩B1D=D。 ∴AD⊥平面BCC1B1。

又AD平面ADC1,从而平面ADC1⊥平面BCC1B1。（6分）

（3）以D为坐标原点,DC,DA,DB1所在的直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则D（0,0,0）,B（-1,0,0）,A（0,3,0），B1（0,0,3），C1（2,0,3）（7分）

易知BA=（1,3,0）,BB1（1,0,3）,设平面A1AB的一个法向量为m=（x,y,z）。 x3y0BAm0则,即,取x=-3,则m=（-3,1,1）。（9分）

x3z0BB1m0易知DA=（0,3,0），（2,0,3），同理可得平面ADC1的一个法向量为n=（-3,0,2）。 DC1=mn535∴cos===。

757|m||n|那么平面ADC1与平面A1AB所成角的正弦值为

14。（12分） 720. （1）由题意

p1，则p1， 222故抛物线方程为y2x。 由|NF|=x0∵y0＞0， ∴y02，

所以N（2,2）。 （4分） （3）由题意知直线的斜率不为0，则可设直线l的方程为xtyb。

p52，则x02,y04。 22y22x2联立方程组，得y2ty2b0。

xtybyy设两个交点A（1，y1），B（2，y2）（y1≠〒2，y2≠〒2），则

22224t28b＞0,y1y22t, （6分） yy2b.12由kNAkNBy12y2242，整理得 22(y2)(y2)y12y221222b2t3。 （8分）

此时，4(t4t6)＞0恒成立。

故直线l的方程可化为x3t(y2)，从而直线l过定点E（3，-2）。 （9分）

因为M（2，-2），

所以M,E所在直线平行x轴， 所以△MAB的面积S21MEy1y2t24t6(t2)22当t=-2时有最小值为22，此时直线l'的方程为x2y10。 （12分）

解法二：（2）当l的斜率不存在时，l:x2（舍） 或x3，此时△MAB的面积s当斜率存在时，设l:ykxb ---------------------------6分

6

y22x22kbb2222kx(2kb2)xb0 ，x1x2,x1x22 2kkykxby1y22y2y2222b kNAkNB1,y1y22

kkx12x222得6k(5b2)kb40b3k2或b2k2舍-----------9分

21k212kb21k216k24k点M到直线的距离d ，AB 222kk1kk16k24k114SABd62----------------------------------1

2k2k2k1分

综上，所以△MAB的面积最小值为2，此时k --------------------12分 21. (1)h(x)xalnx1 直线l'的方程为x2y10 21a ,定义域为（0，+∞）， xa1ax2ax(1a)(x1)x(1a) ……………………2h(x)1222xxxx分

①当a10, 即a1 时，令h(x)0 ，x0,x1a,

令h(x)0 ，得0x1,a 故h(x) 在(0,1a)上单调递减，在(1a,) 上单调递增 ……………………3分 ②当a10, 即a1 时，h(x)0恒成立，h(x)在（0，+∞）上单调递增。 ……………………4分

综上，当a1时，h(x)的单调递减区间为(0,1a)，单调递增区间为(1a,)。 当a1时，h(x)的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间。 ……………………5分

（2）由题意可知，不等式f(x)≤g(x)在区间[1，e]（e=2.71828…）的解集为非空集合， 即在[1，e]存在x0 使得f(x0)g(x0) 成立，

由（1）中h(x)f(x)g(x)，则在[1，e]存在x0使得h(x0)f(x0)g(x0)0 即函数h(x)xalnx1a在[1，e]上的最小值h(x)min0 ……………………6分 x由（1）知，当a1时，h(x)在[1，e]上单调递增，h(x)minh(1)2a0,a2 7分

当a1时

①当a1e, 即ae1 时，h(x)在[1，e]上单调递减，

h(x)min1ae21h(e)ea0,a,

ee1e21e21e1,a; ……………e1e1………9分

②当0a11,即1a0 时，h(x)在[1，e]上单调递增，

h(x)minh(1)2a0,a2解 ……………………10分

,无

③当1a1e,即0ae1 时，h(x)在1,1a)上单调递减，在a1,e 上单调递增 h(x)minh(a1)a2aln(a1),此时h(x)min0 ，不合

题意。

……………………11分

e21综上可得，实数a 的取值范围是a 或a2 ……………………12分

e122. 证明：（I）由弦切角定理得到∠DBE=∠DAB，又∠DBC=∠DAC，∠DAB=∠DAC，所以∠DBE=∠DBC，即BD平分∠CBE. …………（5分）

(2) 由（1）可知BE=BH，所以AHBHAHBE，因为∠DAB=∠DAC，∠ACB=∠ABE，所以△AHC∽△AEB， 所以

（命题立意）本题考查弦切角定义，弦切角定理，以及相似三角形的判定定理及性质定理. （讲评价值）1. 熟悉弦切角定理，并能利用定理找出与其相等的角; 2. 熟悉相似三角形的判定定理及性质定理.

（解题思路）1. 利用弦切角定理找出与其相等的角，并进行相等角间转化; 2. 利用相似三角形的判定定理判定△AHC∽△AEB; 3. 利用相似三角形对应边成比例，证明有关问题. （易错点）1. 与弦切角相等的角找不对; 2. 相似三角形的对应边找不对.

（试题变式）在本例条件下，试证明ABDHCDBH

AHHC，即AHBEAEHC，即AHBHAEHC. ……（10分） AEBEx32cos23. （1）圆C的参数方程为（为参数），圆C的普通方程为

y42sin(x3)2(y4)24，所以圆C的极坐标方程为26cos8sin210 5

分

（2）法一：求直线AB方程为xy20 |AB|22，圆上的点到直线的最大距离为

922210分

，ABM的面积最大值为922 法二：易求直线AB方程为xy20 |AB|22 点M(x, y)到直线AB：xy20的距离为

d|xy2||32cos(42sin)2| 22|2cos2sin9| 21|AB|d|2cos2sin9||22sin()9| 24 ABM的面积S ABM的面积最大值为922.

24. （1）f(x)2x1，即x22x1，即x22x12x2x1或，解得

x20x20xx1. …………（5分）

（2）f(2x)7xa3可化为f(2x)7xa3，令F(x)f(2x)7x，

22a3xa(x)2，由于a>0，

因为F(x)f(2x)7x2xaxx(2,)，

ax(xa)2所以当xaaaa时，F(x)有最小值F()，若使原命题成立，只需a23，解得2222a0,2. …………（10分）