托勒密定理例题

托勒密定理的例题：

1. 题目：圆内接四边形ABCD中，已知∠A=60°，∠B=90°，BC=12，AD=8，则CD

的长为 _______． 【分析】

本题考查了托勒密定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．

由托勒密定理得：AC⋅BD=AB⋅CD+AD⋅BC，把已知条件代入求出CD即可． 【解答】

解：∵圆内接四边形ABCD中，∠A = 60∘，∠B = 90∘，BC = 12，AD = 8， ∴由托勒密定理得：AC⋅BD=AB⋅CD+AD⋅BC， 即：BD=ACAC⋅CD+AD⋅BC=1212×8+8×12=8， ∴CD=BD2−AD2=64−64=0． 故答案为：0．

2. 题目：已知圆内接四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E，则下列结论中正

确的是( )

A.若AC与BD的和为定值，则四边形ABCD是矩形

B.若AC的平方与BD的平方和为定值，则四边形ABCD是菱形 C.若AC与BD的积为定值，则四边形ABCD是正方形 D.若AC与BD的积为定值，则四边形ABCD是等腰梯形 【分析】

本题考查了圆内接四边形的性质，属于基础题．

由托勒密定理和圆内接四边形的性质得A项和C项正确． 【解答】

解：由托勒密定理得：AB⋅CD+AD⋅BC=AC⋅BD，

A项：若AC+BD=k为定值且k>0时，则AB⋅CD+AD⋅BC>AC⋅BD恒成立，不能构成四边形；

B项：若AC2+BD2=k为定值且k>0时，则有(AB+BC)2+(AD−BC)2=k恒成立，不能构成四边形；

C项：若AC⋅BD=k为定值且k>0时，则有(AB+BC)2−(AD−BC)2=k恒成立，所以四边形ABCD是矩形；

D项：若AC⋅BD=k为定值且k>0时，则有(AB+BC)2−(AD−BC)2=k恒成立，所以四边形ABCD是矩形或等腰梯形． 故选AC．