维普资讯 http://www.cqvip.com ２００２年第３期 数学教学 ３— 教学中应加大数学语言表述与互译的力度 ２００２４０上海市闵行中学颛孙长宗魏世磊 在实际教学ｒ１＿Ｉ，我们经常发现这么一种现 象．面对一个并不复杂的数学问题，很多学生 题，但得分情况并不很理想，从试卷和与学尘 的交流中，我们发现，很多学生根本就不知道第 却束手无策．究其原因，说得简单一点，是学生 在阅读、获取数学信息的能力方面还存在着一 １题说的是什么，对于第２题中的条件，（ ）＝ ａｘ ＋言 ＋ｃ≤寺（１＋ ），不知道如何转化．象 例１所反映的问题，实质上还是对符号语言 理解存在不足，表述与转译当然有困难了．蔓 此，笔者认为教学ｒｌ－Ｉ，可按如下方式进行： 定的不足；说得严重一点，是学生的数学素养 还存在一定的差距．试想，当学生面对一个数 学问题（尤其是新情景下的数学问题），连题都 读不懂，问题又怎么解决呢？更谈不上什么研 究性学习和数学创新了．笔者认为，数学教学 Ｉ再嗣． ．广酾磊吾］ （数学问题）ｌ Ｉ与表述ｌ ｌ（书面表达） Ｉ符号语言或１ Ｉ问题Ｉ 『其它数学语言Ｉ Ｉ解决ｌ 应加大数学语言（普通语言、符号语言、图形 语言、图表语言、集合语言等）表述与互译的 力度．从某种意义上来说，学生对数学语言的 对于一个数学问题，学生如能准确地表谴 理解、表述准确与否 以及对数学语言能否熟 练地沟通与转译，是学生数学素养的重要标志． 因此，教学中只能加强，不能削弱．不妨通过几 个案例予以说明． 案例１面对抽象符号语言，只能望题兴叹 与转译出来，至少说他对问题的解决是比较；｝ｊ 楚的，则问题的解决也并非困难．我们不妨将 本案例的解答过程予以揭示． 理解与表述、转译与解答： 在某次函数（高三复习阶段）的检测中，我 们对如下两道题的得分情况进行统计， １．求，（ ）在闭区间［１，４】上最大值，只须 ｋ 函数，（ ）中的Ｐ与ｑ，而Ｐ与ｑ可由９（ ）的最，，ｊ． 值９（Ｘｏ）及取得最小值所对应的 ０求得，这是 因为，（ ）的最小值，（ ｏ）与ｇ（ｘｏ）相等． ４’． ｌ，已知Ａ＝｛ｘｌａ≤ ≤４｝，／（ｘ）： ＋ ｐ ＋ｇ和９（ ）＝ ＋二是定义在 上的函数， 厂— Ｖ ： ９（ ）＝ ＋二≥２、／ ・二＝４，此Ｉ时． ４ 当 ，Ｘ０∈Ａｆｉ于，有ｆ（ｘ）≥，（ ０），９（ ）≥９（ｘｏ） 且，（ ０）＝ｇ（ｚｏ），则，（ ）在 上的最大值是 ２．已知 ）＝ａｘ２＋ ＋ｃ，，（１）＝ｌ， 等号成立的条件为 ０＝二 ０ Ｘｏ＝２． ）：（ ＋ ） ＋ｇ—ｐ Ｚ， ’．．＾ ＸＯ＝一 ＝２ 二 们Ｐ＝－４， 对任何实数 都有，（ ）≤ 孚，求此二次函 数．厂（ｚ）． 统计情况见下表： 题号 分值 １ ２ ２ ｆ（ｘｏ）＝ｑ— Ａ＝ｑ一４：ｇ（ｘｏ）＝４ ｑ＝８．．’．ｆ（ｘ）＝ 一４ｘ＋８＝（ 一２） 一＋ ４ （１≤ ≤４）．．。．．厂（ ） ：／（４）＝８． 得分情况（百分比： ０分 １分 ４分 ５－６分 １０．１２分 ４分 ０．８５ ０．１５ ｌ２分 ０．１１ ｏ．４４ ０．２１ ０，２４ ２．由ｆ（１）＝１得０＋ｃ＝云 ２ｃ—ｌ＝ 一２。．又 ）：ａｘ２＋ １ ＋ｃ≤ ＝＝； 上述两道数学问题，无论怎么说，不能算难 （２ａ一１） ＋ 一２ａ≤０ Ｘ￣任意实数 都成立 维普资讯 http://www.cqvip.com ３一 所以只须 ２ｎ一 ＜ｕ ｎ一数学教学 由图象不难发现 ． ２００２年第３期 作出（１）、（２）、（３）所表示的函数的图象， Ｉ Ａ＝１＋８ａ（２ａ一１）≤０ ４ ／Ｆ２， ３２００ 案例２ 图表语言的理解与转译有待提高 在某次函数的检测４：１有这样一道试题： 某公司欲将一批不易存放的水果，急需从 １６００ 市运到 市，有汽车、火车、直升飞机三种 运输工具可供选择，三种运输工具的主要参考 数据如下： 运输工具 途中速度 途中费用 装卸时 装卸赀 ０ —３２—００ ２１ ７ ５ 图ｌ （千米／时） （元千米） 间（小时） 用（元） 汽车 火车 直升飞机 ５０ １ＯＯ ２００ ８ ４ １６ ２ ４ ２ １０００ ２０００ １０００ ００时（１）当Ｓ＜ １６－，Ｐ１＜Ｆ２，Ｐ１＜Ｆ３， 汽车运输最佳． 这批水果在运输过程（含装卸时间）中损耗为 ３００元／小时 （２）当ｓ： 时，Ｆ１：Ｆ２＜Ｆ３，汽车， 设两市的距离为Ｓ千米，Ｆ１、 、Ｆ３分别 表示汽车、火车、直升飞机三种运输工具运 火车运输同样最佳． （３）当Ｓ＞ 火车运输最佳． 时，Ｆ２＜１７＇１，Ｆ２＜Ｆ３， 输过程中的费用与损耗之和．（１）分别建立Ｆ１、 Ｆ２、Ｆ３与Ｓ的函数关系．（２）采用哪种运输工 具较好，即运输过程中的费用与损耗之和最小． 本题是一道由图表给出的数学应用题，其 众所周知，现实生活中大量的数学问题可 用图表（形）语言进行描述．近两年高考试题也 多次考查了这方面的问题．如２０００年全国卷 第６题、第２１题，２００１年全国卷第１２题、上 海卷第１２题，从考试的结果来看，学生的得分 情况并不乐观．教学中我们应加强这方面的训 检测结果是：得０分人数为２８．５％，仅能做第（１） 小题的人数为４３．８％，两小题都能做的人数为 ４１％，得满分的人数为１２％．阅卷中我们发现： 学生存在的主要问题有以下两点．其一：由图 表给出的信息，学生不能准确地收集与获取． 其二：对符号语言（Ｆ１、Ｆ２、Ｆ３与 的函数关 练，而图表（形）语言的处理方式可按如下程序 进行： 系），学生不能准确地转译为图形（象）语言，进 而再回答实际问题． 就本题的解答而言，汽车、火车、飞机这 三种运输工具，在运输过程中的费用与损耗之 和都由三部分构成：途中费用、损耗费用、装 卸费用．以题意，Ｆ１、Ｆ２、 关系应为： 与Ｓ之间的函数 ｌ图表（形）语Ｉ Ｉ普通ｌ Ｉ符号ｌ ｌ其它问Ｉ Ｉ数学ｌ ｛言（数学问题）ｌ ｌ语言Ｉ ｌ语言｛ｌ题解决Ｉ ｌ语言ｌ 案例３ 集合语言与其它数学语言的转译 欠准确 所谓集合语言，是指数学问题用有关集合 的特定符号、术语（集合教材中引入了ｌ２个新 名词，１０个新符号，１２个新关系）等加以叙述 的数学语言．集合知识与方程、函数、不等 式、排列组合、概率、复数、几何、向量等知 Ｐ１＝８Ｓ＋Ｉ ＋２｝３００＋１＼０ｕ ／ ０００ ＝１４Ｓ＋１６００ ，，． 、 （１） Ｆ２ ＝＝（孟 ）３。。＋２。。０ （２） 、 ／． 识有着密切的联系．教学中应注意集合语言与 其它数学语言的沟通与转译，否则学生对集合 的内涵与外延难以把握．本案例则足以说明这 一７Ｓ－４－３２００ 点． Ｆ３＝１６Ｓ＋Ｉ １７．５Ｓ＋１６００ Ｊ ３００＋ｌ０００ （３） 在某次函数的检测中、我们对如下两小题 的得分情况进行了统计： 维普资讯 http://www.cqvip.com ２００２年第３期 数学教学 形，即当ｃ≥０时，只须： １－－Ｃ￣－ ３—５ １．集合 ＝｛ Ｉ Ｉ ＋２Ｉ＋Ｉ 一２Ｉ＝６， ∈ Ｃ），Ｑ＝｛ ｆ ｆ ＋１Ｉ＝１： ∈Ｃ），则Ｐ与Ｑ的 正确关系是…………………一…………（） ｃ ≤７‘（Ａ）Ｐ ｃ Ｑ； （Ｃ）Ｐ］Ｑ； （Ｂ）Ｐ Ｑ； （Ｄ）Ｐ ｎ Ｑ＝ ． ．．０≤ｃ≤２． ２．若Ａ＝｛ Ｉ Ｉ 一１Ｉ＜ｃ），Ｂ＝｛ Ｉ Ｉ 一 ３Ｉ＞４），若 ｎ ＪＥ｝＝ ，则ｃ的范围为—— 统计情况见下表： 题号 参考人数 答对人数 １ ２ ５４ ５４ ２１ １８ 事实上，当Ａ＝ ，即ｃ＜０时，显然 ｎ Ｂ＝ 成立．故正确答案应为：ｃ≤２． 由上述三个案例不难发现，学生对数学语 言的阅读理解与转译，确实还存在着一定的差 距．从某种程度上来说，它已经成为影响学生 数学素养的重要因素之一．就数学问题的解决 而言，其实质，就是不断地变更、化归与转化数 案例３是由集合语言给出的两个数学问题． 在试卷中我们发现，对第１小题，学生没有真正 搞清楚集合Ｐ与Ｑ的涵义．受韦恩图思维定势 的影响，学生误认为ＪＦ）与Ｑ是包含关系，Ｉ！ｐＱ 学命题．化归与转化当然是以数学语言作为思 维的载体．教学中，我们务必加大数学语言理 解与转译的力度，不仅要注重数学语言的纵向 沟通，同时也要加大数学语言的横向转译．将 不同领域中的数学语言准确而熟练地沟通与 转译，很可能又是数学创新的源泉．由此看来， 培养学生收集与处理数学信息的能力，准确运 表示的圆在Ｐ表示的椭圆内，误选（Ｃ）的人数 较多．事实上，就ＪＦ）与Ｑ而言，它们分别表示曲 线圆与椭圆．就曲线的位置关系而言，它们应 是相交、相切或相离．由于两曲线无交点，故 用数学语言进行表述与交流的能力，是提高学 生数学素养不可缺少的重要环节，也是数学教 学的永恒主题．就目前学生的状况而言，真可 谓任重而道远． 应选（Ｄ）． 对第２小题，学生只考虑了 ≠ 时的情 幂函数的教学设计 ２００４３３上海复旦大学附属中学杨丽婷 在中学研究函数的性质是通过图象进行 其次，教学的过程是以学生为主体的“探究 发现一证明”教学过程． 我想所谓“探究一发现一证明”教学过程， 其本质就是在教学中充分发挥学生的主体作 用，使学生充分参与和体验知识技能由未知到 已知或由不掌握到掌握的过程，并在这一过程 中使全体学生对于数学概念的结论不仅会从特 殊形式发现出一般形式 而且能够证明结论． 以下就是幂函数的教学过程 一的，几个基本初等函数中又以幂函数图象的形 式最多．作为学生，他们不太容易搞清楚，作为 教师，幂函数的内容多而散乱，讲不出新意，大 家都不愿意以此内容来开公开课． 而作为新教师的我在老教师的关怀和建议 下 对于幂函数的教学有着自己的想法． 首先我利用现代化的工具一图形计算器， 让每个学生自己作图代替传统教学中的描点 作图． 构造情景 １．用板书过程构造情景 、