线性代数应用实例

线性代数应用实例

求插值多项式

右表给出函数f(t)上4个点的值，试求三次插值多项式

p(t) a0 a-|t a2t2 a3t3 ,

并求f (1.5)的近似值。

角军：令三次多项式函数 p(t) a0 a1t a2t

2

ti 表中已知的4点，可以得到四元线性方程组：

0 3 1 0 2 -1 3 6 f(ti) a。

ao ao

3 a1 2a1 3a1

a2 4a2 9a2

a3 8a3 27a3

0 1 6

ao

对于四元方程组，笔算就很费事了。应该用计算机求解了，键入:

>>A=[1,0,0,0;1,1,1,1;1,2,4,8;1,3,9,27], b=[3;0;-1;6], s=rref([A,b]) 得到x = 1 0 0 0 3

0 1

0

0 -2

0 0 1 0 -2

0 0 0 1 1 2, a2

2 3

得到 a0 3,a1

2,a3 1，三次多项函数为 p(t) 3 2t

2t t ,故f(1.5)近

1.125。

似等于 p(1.5) 3 2(1.5) 2(1.5) (1.5)

23

在一般情况下，当给出函数

2

f(t)在n+1个点ti(i 1,2,卅，n 1)上的值f(tj时，就可

n

以用n次多项式p(t) a。a1t a?t卅 ant对f (t)进行插值。

在数字信号处理中的应用——数字滤波器系统函数

数字滤波器的网络结构图实际上也是一种信号流图。它的特点在于所有的相加节点都 限定为双输入相加器；另外，数字滤波器器件有一个迟延一个节拍的运算，它也是一个线 性算子，它的标注符号为z o根据这样的结 构图，也可以用

1

u

m ---

类似

2

1

1

于例 7.4的方法，求它

X1

y

■ V

的输入输出之间的传递函数，在数字信号处 理中称为系统函

图1表示了某个数字滤波器的结构图， 现在要求出它统函数，即输出 y与输入 u之比。先在它的三个中间节点上信号 的名称x1,x2,x3，以便对每个节点列写方程。

-i ---- 11 -- —

1/4

■

1

z J1 1/4 * x2

3/8

数。 的系标注

二―]X

3

z,.

图1某数字滤波器结构图

由于迟延算子Z 1

不是数,

要用符号代替，所以取 Z J按照图示情况，可以写出

xi qx2 2u X2 3 8q

X3

X3

Xi

写成矩阵形式为

0 q 0

2 X1

X1

x

0

0 3 1

1 X—

2

-q 8

4

X2 —u x = Qx - Pu

X3

1

0

0

X4 3

0

经过移项后，系统函数 W 可以写成：

W = x/u = inv(l - Q)* P

现在可以列写计算系统函数的

MATLAB 程序 ea705,

syms q

%规定符号变量

Q(1,2) q; Q(2,3)=3/8*q 1/4; Q(3,1)=1;

%给非零元素赋值

Q(3,3)=0; %给右下角元素Q ( 3,3 )赋值后，矩阵中未赋值元素都自动置零

P=[2;1/4;0] W=inv(eye (3) Q)*P

%给P赋值

程序运行的结果为

%用信号流图求传递函数的公式

16/( 8 3*qA2 2*q) 2*q/( 8 3*qA2 2*q) ]

2*(3*q 2)/( 8 3*qA2 2*q) 2/( 8 3*qA2 2*q)] 16/( 8 3*qA2 2*q) 2*q/( 8 3*qA

2

2*q)]

我们关心的是以 y x3作为输出的系统函数,

故再键入

pretty(W(3))

整理后得到

W(3) - —

16 2qz 1 8

2 u 8 3q 2q 1.5q2

q 4

1.5z 2 z 1 4

用线性代数方法的好处是适用于任何复杂系统，并能用计算机解决问题。

信号与系统课程中的应用

线性时不变系统的零输入响应

描述n阶线性时不变(LTI )连续系统的微分方程为

dny

dn 1y

dy

」dm

u

」du 」

a

1 n a2n

a

2 a

n，

a

n 1 y b

1 m

b

m

b

m 1u

，

dt dt

dt dt dt

已知

解y及其各阶导数的初始值为 y(0)，y⑴(0)，…，y(n-1)(0)，求系统的零输入响应。

：

当LTI系统的输入为零时，其零输入响应为微分方程的齐次解(即令微分方程等

号右端为

y(t) C1ep1

t

C2

2ept

CnePn

t

0)，其形式为(设特征根均为单根)

其中 P1, p2,…，pn是特征方程 a1 n+a2

n 1

+…+ an + an+1 语句求得。

的根，它们可用 roots(a)

各系数 C1，…，Cn由y及其各阶导数的初始值来确定。对此有

C1+C2+…+Cn = yo yo = y(0)

=0

P1C1+P2C2+…+ pnCn=Dyo (Dyo表示y的导数的初始值 y⑴(0))

P1 叱1

n

P2 C2

1

pn 1C n

p

C

n

Dn 1y0

1

写成矩阵形式为

1

1 Pn

C1 C2

y0 Dy°

-n 1

p1

P2

n 1

n 1

n 1

P1 P2 Pn

C

n

D

y°

即 式中

C [C

VC = Y0 ,其解为 C =V \\ Y0

,Cn]T;

Yo 1 2

[yo, Dy。,]

, C

,

||,DnS] 1 Pn

n 1

1

1

V

P1

n 1

P2

n 1

P1 P2 Pn

V为范德蒙矩阵，在 MATLAB的特殊矩阵库中有 MATLAB 程序 ea703.m

a=input(' 输入分母系数向量 a=[a1 n=length(a)-1; Y0=input('

vander函数可直接生成。

，a2，...]=');

，Dy0，D2y0，...]=');

输入初始条件向量 Y0=[y0

p=roots(a);V=rot90(vander(p));c= V\\Y0'; dt=input('dt='); tf=input('tf=') t=0:dt:tf; y=zeros(1

， length(t));

for k=1: n y= y+c(k)*exp(p(k)*t);e nd plot(t ，y)，grid

程序运行结果

用这个通用程序来解一个三阶系统， 并输入

a=[3，5，7，1]; dt=0.2; tf=8;

运行此程序

0 2 4 6 8

而Y0取

[1，0，0];[0 ，1，0];[0 ，0，1]

图2三阶系统的零输入响应

三种情况，用hold on语句使三次运行生成的图形画在一幅图上，得到图 2。

减肥配方的实现

设三种食物每100克中蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量如下表，表中还给出了

80年

代美国流行的剑桥大学医学院的简捷营养处方。现在的问题是：如果用这三种食物作为每 天的主要食物，那么它们的用量应各取多少？才能全面准确地实现这个营养要求。

每100g食物所含营养 (g) 营养 蛋白质 碳水化合物 脂肪 脱脂牛奶 大豆面粉 乳清 减肥所要求的 每日营养量 36 52 0 51 34 7 13 74 1.1 33 45 3 设脱脂牛奶的用量为 X1个单位（100g），大豆面粉的用量为 X2个单位（100g），孚L清的 用量为X3个单位（ 100g）,表中的三个营养成分列向量为：

36

a1

52 , a2

51 34 ,

13

a

1

74 ,

07

1.1

则它们的组合所具有的营养为

36

x1a1 x2a2 x3a3 x1 52

x

51

2

13 x3

74 1.1

0

34 7

使这个合成的营养与剑桥配方的要求相等，就可以得到以下的矩阵方程：

36 52

51 13 34 7

74 1.1

x

1 2 3

33 45

x

Ax b

0

x

3

用 MATLAB 解这个问题非常方便，列出程序 ag763 如下：

A=[36,51,13;52,34,74;0,7,1.1] b=[33;45;3]

x=A\\b 程序执行的结果为：

0.2772

x 0.3919

0.2332

即脱脂牛奶的用量为 的综合营养量。

27.7g，大豆面粉的用量为 39.2g,乳清的用量为23.3g，就能保证所需

人口迁徙模型

设在一个大城市中的总人口是固定的。人口的分布则因居民在市区和郊区之间迁徙而 变化。每年有 6% 的市区居民搬到郊区去住，而有 2%的郊区居民搬到市区。假如开始时有 30% 的居民住在市区， 70% 的居民住在郊区， 问十年后市区和郊区的居民人口比例是多少？ 30 年、50 年后又如何？

这个问题可以用矩阵乘法来描述。把人口变量用市区和郊区两个分量表示，即

x

ck

X

x

,其中xc为市区人口所占比例，xs为郊区人口所占比例，k表示年份的次序。

sk

在 k=0 的初始状态： x0

xc0 xs0

0.3 0.7

一年以后，市区人口为 Xci= (1-0.02) Xco+O.O6xs0，郊区人口 xsi= O.O2xco + (1-O.O6)Xso，用

矩阵乘法来描述，可写成：

0.94 0.02

x

0.3

Ax0

0

0.2960 0.7040

1

x

s1

0.06 0.98 0.7

此关系可以从初始时间到k年,扩展为xk Axk

1 k 2

A x

川

Akx。,用下列

MATLAB 程序进行计算：

A=[0.94,0.02;0.06,0.98] x0=[0.3;0.7] x1=A*x0, x10=AA10*x0 x30=AA30*x0 x50=A50*x0

A

程序运行的结果为:

0.2960 x, x 0.7040 10

无限增加时间

0.2717

,x

0.2541

30

X

0.2508

50

k，市区和郊区人口之比将趋向一组常数

0.7283

0.7459 0.7492

0.25/0.75。为了弄清为什么这

T

个过程趋向于一个稳态值，我们改变一下坐标系统。在这个坐标系统中可以更

清楚地看到 乘以矩阵A的效果。选U1为稳态向量[0.25,0.75] 的任意一个倍数，令5=[1,3]丁和U2=[-1,1] 。 可以看到，用

T

A乘以这两个向量的结果不过是改变向量的长度，不影响其相角（方向）

Aui

0.94 0.02 1 0.06 0.98 3

1 3 1

u1 0.92

0.92u2

0.92

u1和 u2的线性组合;

Au2

0.94 0.02 0.06 0.98

1

初始向量 x0可以写成这两个基向量

0.30 X。

1

1

0.25u1 0.05u2 1

k

0.70

k

0.25

3

0.05

因此

Xk A X0

0.25ui

0.05(0.82) U2

k>27，这第

式中的第二项会随着 二项就可以忽略不计而得到

k的增大趋向于零。如果只取小数点后两位，则只要

Ax0

k0.25u1

0.25 0.75

适当选择基向量可以使矩阵乘法结果等价于一个简单的实数乘子，避免相角项出现， 使得问题简单化。这也是方阵求特征值的基本思想。

这个应用问题实际上是所谓马尔可夫过程的一个类型。所得到的向量序列 称

为马尔可夫链。马尔可夫过程的特点是

X1 ,x2,...,Xk

k时刻的系统状态Xk完全可由其前一个时刻的状态

xk-1所决定，与k-1时刻之前的系统状态无关。

交通流的分析

某城市有两组单行道，

构成了一个包含四个节点

A,B,C,D的十字路口如图6.5.2所示。

在交通繁忙时段的汽车从外部进出此十字路口的流量(每小时的车流数)标于图上。现要 求计算每两个节点之间路段上的交通流量

Xl,X 2,x 3,x 4。

解：在每个节点上，进入和离开的车数应该相等，这就决定了四个流通的方程： 节点 A: x i+450= X2+6IO 节点 B: x 2+520= X3+480 节点 C: x 3+390= X4+600 节点 D: x 4+640= X2+310

将这组方程进行整理，写成矩阵形式:

乙

x2

=160

X1

X2 X3

x

=-40 x = 210

4

X4 = -330

其系数增广矩阵为：

1 1 1

[A,b]

-160

1

—40 1 210 * 1 ・-330

1

图3单行线交通流图

1

1

用消兀法求其行阶梯形式,

或者直接调用 U0=rref([A,b]), 可以得出其精简行阶梯形式

1 0 0 1

为U0

0 0

-1 ・ 330

||

-1 ・ 170

*

二

0 0

0 0 0

1 -1 ・ 210

■

0，0

X1,X 2,x 3,x 4的系

注意这个系数矩阵所代表的意义，它的左边四列从左至右依次为变量

数，第五列则是在等式右边的常数项。把第四列移到等式右边，可以按行列写恢复为方程， 其结果为：

X1=X4+330, X2=X4+170, X3=X4+210 0 = 0

由于最后一行变为全零，这个精简行阶梯形式只有三行有效，也就是说四个方程中有 一个是相依的，实际上只有三个有效方程。方程数比未知数的数目少，即没有给出足够的 信息来唯一地确定 X1 ,X 2,X 3,和X4。其原因也不难从物理上想象，题目给出的只是进入和离 开这个十字路区的流量，如果有些车沿着这四方的单行道绕圈，那是不会影响总的输入输 出流量的，但可以全面增加四条路上的流量。所以 X4被称为自由变量，实际上它的取值也 不能完全自由，因为规定了这些路段都是单行道，

所以要准确了解这里的交通流情况，还应该在

X1,X 2,X 3,和X4。都不能取负值。 X1,X 2,X3,和X4中，再检测一个变量。

价格平衡模型

在Leon tiff成为诺贝尔奖金获得者的历史中，线性代数曾起过重要的作用，我们来看 看他的基本思路。假定一个国家或区域的经济可以分解为 品或服务的独立功能。设单列

n个部门，这些部门都有生产产

n元向量x是这些n个部门的产出，组成在 Rn空间的产出向

Leontiff提出的第一个问题是，各生产部门的实

量。先假定该社会是自给自足的经济，这是一个最简单的情况。因此各经济部门生产出的 产品，完全被自己部门和其它部门所消费。

际产出的价格p应该是多少，才能使各部门的收入和消耗相等，以维持持续的生产。

Leon tiff的输入输出模型中的一个基本假定是：对于每个部门，存在着一个在 Rn空间

单位消耗列向量 Vi，它表示第i个部门每产出一个单位(比如 100万美金)产品，由本部门 和其他各个部门消耗的百分比。在自给自足的经济中，这些列向量中所有元素的总和应该 为1。把这n个Vi，并列起来，它可以构成一个 nx

n的系数矩阵，可称为内部需求矩阵 V。

p如下表：

每单位输出的消耗分配 销售价格p (收入) 钢铁业 举一个最简单的例子，假如一个自给自足的经济体由三个部门组成，它们是煤炭业、 电力业和钢铁业。它们的单位消耗列向量和销售收入列向量

由下列部 门购买 煤炭业 电力业 钢铁业 煤炭业 电力业 0. 0.6 0.4 0.4 0.1 0.5 0.6 0.2 0.2 Pc Pe Ps 如果电力业产出了 100个单位的产品，有40个单位会被煤炭业消耗，10个单位被自己 消耗，而被钢铁业消耗的是

50个单位，各行业付出的费用为：

0.4

Pe V2 Pe 0.1

0.5

这就是内部消耗的计算方法，把几个部门都算上，可以写出

Pc Pc

各部门消耗成本=卩他 PeVe PsVs血弘弘]Pe

Ps

销售收入

Pe Ps

0.

V

0.4 0.1 0.5

0.6 0.2 0.2

其中

Vc, Ve,Vs

0.6 0.4

于是总的价格平衡方程可以写成为：

P -Vp = 0 (I -V ) P =0

此等式右端常数项为零，是一个齐次方程。它有非零解的条件是系数行列式等于 零，或者用行阶梯简化来求解。

用MATLAB 语句写出其解的表示式：

V=[0.,0.4,0.6;0.6,0.1,0.2;0.4,0.5,0.2], U0 = rref([[eye(3)-V],zeros(3,1)])

程序运行的结果为

1.0000

U 0

0

0 -0.9394 0 0

1.0000 -0.8485

0 0 0 0

这个结果是合理的，

简化行阶梯形式只有两行，

说明［I-V］的秩是2,所以它的行列式必

定为零。由于现在有三个变量，只有两个方程，必定有一个变量可以作为自由变量。记住

U0矩阵中各列的意义，它们分别是原方程中

表示的是下列方程：

pc, pe, ps,的系数，所以简化行阶梯矩阵 U0

Pc - 0.9394 ps = 0 pe - 0.8485 ps = 0

Pc = 0.9394 ps pe = 0.8485 ps

0.94和0.85

94万，电力业的

这里取ps为自由变量，所以煤炭业和电力业的价格应该分别为钢铁业价格的 倍。如果钢铁业产品价格总计为 价格总计为85万

100万元，则煤炭业的产品价格总计为

网络的矩阵分割和连接

在电路设计中，经常要把复杂的电路分割为局部电路，每一个电路都用一个网络’黑 盒子’来表示。黑盒子的输入为Ui,ii,输出为U2,i2,其输入输出关系用一个矩阵 图 7.6.1 所示）：

A来表示（如

u2

A i2

u1

i1 ------- i2

h

A U1 ■ U2 A是2X 2矩阵，称为该局部电路的传输矩阵。

把复杂的电路分成许多串接局部电路，分别求出 它们的传输矩阵，再相乘起来，得到总的传输矩阵， 可以使分析电路的工作简化。

以图7.6.2为例，把两个电阻组成的分压电路分 成两个串接的子网络。 第二个子网络只包含电阻

第一个子网络只包含电阻

图4单个子网络模型

R1,

R2，列出第一个子网络的电路方程为：

12 11, U2

U1

il 写成矩阵方程为：

! 親戶 ------ ■ T V ・・・ ., ■ ■ ■ q 1 q ■ • u2

1 R1

U1 i1

八

i2 0 1

A

U3

U2

:耐 * 一 V 、Y \\ 1 ■ 1 •■■■■■■J f同样可列出第二个子网络的电路方 程，

I3 I2

U

2 2>

/ R

图5两个子网络串联模型

写成矩阵方程为：

U3

1

0 1

U2

i

A

i3 1/R2

2

A

从上分别得到两个子网络的传输矩阵

1 A1 1

0 1 2

R1 1

, A2

1 0 1/ R2 1

整个电路的传输矩阵为两者的乘积

1 R1

A A1 A2

1 2

1 0 1 1/R2 1

1/R2 1 R1/R2

R1

0 1

实用中通常对比较复杂的网络进行分段，对于这样简单的电路是不分段的，这里只是一个 示例。