矩阵知识点归纳

(一)二阶矩阵与变换

1．线性变换与二阶矩阵

x′＝ax＋by，

在平面直角坐标系xOy中，由(其中a，b，c，d是常数)构成的变换称

y′＝cx＋dy，

a b称为二阶矩阵，其中a，b，c，

为线性变换．由四个数a，b，c，d排成的正方形数表

c d

d称为矩阵的元素，矩阵通常用大写字母A，B，C，…或(aij)表示(其中i，j分别为元素aij所在的行和列)．

2．矩阵的乘法

b11b11行矩阵[a11a12]与列矩阵的乘法规则为[a11a12]＝[a11b11＋a12b21]，二阶矩阵b21b21

a b与列矩阵x的乘法规则为a bx＝ax＋by.矩阵乘法满足结合律，不满足交换律c dyc dycx＋dy和消去律．

3．几种常见的线性变换

1 0；

(1)恒等变换矩阵M＝

0 1

cos θ －sin θ

(2)旋转变换Rθ对应的矩阵是M＝；

sin θ cos θ

(3)反射变换要看关于哪条直线对称．例如若关于x轴对称，则变换对应矩阵为M1＝1 0－1 0

；若关于y轴对称，则变换对应矩阵为M＝；若关于坐标原点对称，则20 －1 0 1

－1 0

变换对应矩阵M3＝；

 0 －1

k1 0，表示将每个点的横坐标变为原来的k倍，纵

(4)伸压变换对应的二阶矩阵M＝1

0 k2

坐标变为原来的k2倍，k1，k2均为非零常数；

1 0(5)投影变换要看投影在什么直线上，例如关于x轴的投影变换的矩阵为M＝； 0 01 k，

(6)切变变换要看沿什么方向平移，若沿x轴平移|ky|个单位，则对应矩阵M＝

0 1

1 0若沿y轴平移|kx|个单位，则对应矩阵M＝.(其中k为非零常数)． k 1

4．线性变换的基本性质

xλxx1x2设向量α＝，规定实数λ与向量α的乘积λα＝；设向量α＝，β＝，规定yλyy1y2

x1＋x2

向量α与β的和α＋β＝.

y1＋y2

(1)设M是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ是一个任意实数，则①M(λα)＝λMα，②M(α＋β)＝Mα＋Mβ.

(2)二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线(或一点)．

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(二)矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量

1．矩阵的逆矩阵

(1)一般地，设ρ是一个线性变换，如果存在线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝I，则称变换ρ可逆．并且称σ是ρ的逆变换．

(2)设A是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B，使得BA＝AB＝E，则称矩阵A可逆，或称矩阵A是可逆矩阵，并且称B是A的逆矩阵．

(3)(性质1)设A是一个二阶矩阵，如果A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的．A的逆矩

－

阵记为A1．

－－－

(4)(性质2)设A，B是二阶矩阵，如果A，B都可逆，则AB也可逆，且(AB)1＝B1A1. (5)已知A，B，C为二阶矩阵，且AB＝AC，若矩阵A存在逆矩阵，则B＝C.

－bd ad－bcad－bca b－1

(6)对于二阶可逆矩阵A＝. (ad－bc≠0)，它的逆矩阵为A＝

c d－ca

ad－bcad－bc

2．二阶行列式与方程组的解

ax＋by＝m，a b称为二阶行列式，它的

对于关于x，y的二元一次方程组我们把

c dcx＋dy＝n，

a b运算结果是一个数值(或多项式)，记为det(A)＝＝ad－bc. c d

a b记为D，m b记为D，a m记为D，则当D≠0时，

若将方程组中行列式xy

c dn dc nDxx＝，

D

方程组的解为

Dyy＝.

D





3．二阶矩阵的特征值和特征向量 (1)特征值与特征向量的概念

设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，α称为A的一个属于特征值λ的一个特征向量．

(2)特征多项式

a b的一个特征值，x则Ax＝λx，

设λ是二阶矩阵A＝它的一个特征向量为α＝，

c dyyy

ax＋by＝λx，λ－ax－by＝0，即也即(*) cx＋dy＝λy，－cx＋λ－dy＝0.

a b是一个二阶矩阵，λ∈R，我们把行列式f(λ)＝λ－a －b＝λ2－(a

定义：设A＝

c d－c λ－d

＋d)λ＋ad－bc称为A的特征多项式．

(3)矩阵的特征值与特征向量的求法

如果λ是二阶矩阵A的特征值，则λ一定是二阶矩阵A的特征多项式的一个根，即f(λ)

x0x0＝0，此时，将λ代入二元一次方程组(*)，就可得到一组非零解，于是非零向量即为y0y0

A的属于λ的一个特征向量

．

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所有变换矩阵

单位矩阵：M10，点的变换为(x,y)(x,y) 01k0伸压变换矩阵：M：k1，将原来图形横坐标扩大为原来k倍，纵坐标不变

010k1，将原来图形横坐标缩小为原来k倍，纵坐标不变

点的变换为(x,y)(kx,y)

10M： k1，将原来图形纵坐标扩大为原来k倍，横坐标不变

0k0k1，将原来图形纵坐标缩小为原来k倍，横坐标不变

点的变换为(x,y)(x,ky)

反射变换： M10：点的变换为(x,y)(x,y) 变换前后关于x轴对称 0110：点的变换为(x,y)(x,y) 变换前后关于y轴对称 M0110：点的变换为(x,y)(x,y) 变换前后关于原点对称 M0101：点的变换为(x,y)(y,x) 变换前后关于直线yx对称 M10旋转变换：Mcossinsin0101009090：逆时针：；顺时针： MMcos1010ab 旋转变化矩阵还可以设为：M

ba投影变换：

10：将坐标平面上的点垂直投影到x轴上 M00点的变换为(x,y)(x,0)

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M0001：将坐标平面上的点垂直投影到y轴上 点的变换为(x,y)(0,y)

M1010：将坐标平面上的点垂直于x轴方向投影到yx上

点的变换为(x,y)(x,x)

M0101：将坐标平面上的点平行于x轴方向投影到yx上

点的变换为(x,y)(y,y)

1

M1

22

11：将坐标平面上的点垂直于yx方向投影到yx上22

点的变换为(x,y)(xyx2,y2) 切变变换：M1k：把平面上的点沿x轴方向平移01|ky|个单位  点的变换为(x,y)(xky,y)

M10k1：把平面上的点沿y轴方向平移|kx|个单位 点的变换为(x,y)(x,kxy)

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