基于二维正态分布的岩土参数Bayes方法优化

2006年6月

中国水利水电科学研究院学报

JournalofChinaInstituteofWaterResourcesandHydropowerResearch

Vol14　No12June,2006

文章编号:167223031(2006)0220093204

基于二维正态分布的岩土参数Bayes方法优化

赵宇飞,汪小刚,杨健

(中国水利水电科学研究院岩土工程研究所,北京　100044)

摘要:在岩土工程中,岩土强度参数是十分重要的设计参数。以往在研究岩土强度参数f和c时,通常都将两者分开考虑,忽略了二者之间的高度相关性。本文在假定岩土强度参数服从二维正态分布的基础上,介绍了利用Bayes方法对其分布概型进行优化的方法,并通过锦屏一级水电站中硬性结构面抗剪强度参数分布优化的算例,验证了该方法的可行性。

关键词:岩土强度参数;二维正态分布;Bayes方法;优化中图分类号:TU452

文献标识码:A

岩土参数具有相当的离散性,其一方面来自岩土体本身的不均匀性,另一方面来自样本在取样、运输、保管和试验中产生的扰动[1]。因此,对试验得到的岩土强度参数进行概率统计拟合分析,并在此基

础上对岩土参数进行优化,对于岩土强度设计参数的确定有着十分重要的意义。

建国以来,我国兴建了许多大型的水利水电工程,进行了大量的岩体抗剪强度试验,积累了丰富的岩土体抗剪强度试验资料。从这些积累的资料中可以整理得到某类岩土强度参数的概率分布密度函数,将其作为先验分布,并在此基础上对具体工程中的相关岩土强度参数的样本分布概型进行优化,然后根据优化后的后验概率分布进行工程设计指标的确定。这样不仅可以弥补工程中岩土试验样本缺乏的不足,同时也可以在一定程度上降低岩土参数的离散性,提高设计参数的可靠性。

本文在假定岩土强度参数的联合分布服从二维正态分布的基础上,推导了二维正态分布概型优化的Bayes方法,结合相应的工程实例验证了该方法的可行性。

1　岩土强度参数二维正态分布密度函数的确定

以往在进行岩土强度参数分布拟合研究时,通常是将岩土强度参数f和c分开进行考虑,这样就忽略了岩土强度参数f、c之间的高度相关性。因此,为了更符合实际,对于岩土强度参数应采用联合分布进行拟合研究

[3,4]

。本文采用二维正态分布对岩土强度参数进行拟合。

1-1・exp22

2(1-γ)1-γ

2

(c-󰁡c)2

σc

二维正态分布密度函数的表达式为

f(c,f)=

πσ2cσf

-2γ

(c-󰁡c)(f-󰁡f)σcσf

+

2(f-󰁡f)2

σf

(1)

σ　　　(σc>0,f>0,-1<γ<1)

σ式中:󰁡f、󰁡c为强度参数f、c的均值;σc的标准差;γ为f、c之间的相关系数。f、c为强度参数f、

式(1)中的参数都可以由现场或室内岩体强度试验资料利用最小二乘法回归分析按照下面的公式计算得到

󰁡f=(m󰁡c=

收稿日期:2006202206

作者简介:赵宇飞(1979-),男,山西陵川人,硕士,主要从事岩土工程力学特性方面的研究。

τp-∑τ∑Δp)Π∑

(∑τ∑τ∑τp)ΠΔp-∑

ii

i

i

(2)(3)

2i

iiii

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σf=σσc=σ

(mΠΔ)(Σp2i)ΠΔ

(4)(5)(6)

()γ=Covf,cσσf・c

式中:Δ=m∑pi-∑pi∑pi;σ=

2

22

∑(τσi-fpi-c)

τ;Cov(f,c)=-∑Pi

Δ;i为在pi正应力下的剪m-2

应力值;pi为第i试块的正应力值;f为摩擦系数;c为凝聚力;m为试件数目。

2　概型参数优化的Bayes方法

Bayes公式的表达式为

(θ)π(θ)π(θ|x)=px|m(x)

(7)

π(θ)为先验分布;p(x|θ)为给定样本分布,对于连续函数m(x)=∫p(x|θ)π(θ)dθ,为x的边缘式中:分布。

22当先验分布密度函数服从二维正态分布时,记为N(f1,c1,σf,σc,r1);样本分布密度函数也服从11

22

σ)同样也服从二维正态分二维正态分布,记为N(f2,c2,σf,c,r2)。其后验分布的分布密度函数h(・22

布。根据Bayes公式有

)=h(・

σσσN(f1,c1,σf,c,r1)・N(f2,c2,f,c,r2)2222

)・N′(・)dΩ

λN(・

Ω

2222

(8)

　　式(8)中,分母是一个独立的常数因子,它在计算后验分布密度中仅仅起到一个正则化因子的作用,所以可将其省略掉,Bayes公式改写为如下等价形式

2222

)∝N(f1,c1,σσσσh(・f,c,r1)・N(f2,c2,f,c,r2)2222

(9)

式中:符号“∝”表示两边仅仅相差一个常数因子。

)的核,在需要的时候可以利用适当的方式计式(9)虽然不是正常的密度函数,但它是后验分布h(・

)的核就是某常用分布的核时,不需计算就可以很快恢复所缺的算出后验分布密度函数,特别是当h(・

常数因子。这样一来就可以简化后验分布的计算,而且这在共轭先验分布与非共轭先验分布场合都是可以使用的

。

22σ),后验分布函数中的5个参数分别根据式(9)得到了Bayes后验分布密度函数N(f′,c′,σ′′′f,c,r

2

2[2]

σ为f′,c′,σ′′f,c,r,式(10)～式(14)是各分布参数的近似计算公式:

f′=c′=r′=

2

σ′=f

Ef1+Ff2

E+FEc1+Fc2E+F

(10)(11)(12)(13)(14)

(E+F)2

(A+B)(C+D)

Q2)2(A+B)(1-r′

2

σ′=c

Q2

)2(C+D)(1-r′

2222222222222222

式中:A=(1-r2)σcσfσc;B=(1-r1)σcσfσc;C=(1-r2)σfσfσc;D=(1-r1)σfσfσc;E=-r1(1112211222211222222222222-r2)σfσcσfσc;F=-r2(1-r1)σfσcσfσc;Q=2(1-r1)(1-r2)σfσcσfσc。112222111122

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通过上面的公式,可以由具体工程确定的强度参数的样本分布密度函数结合以往经验确定的岩土强度参数先验分布密度函数,计算得到其后验分布密度函数,即Bayes优化结果。

3　算例分析

在锦屏一级水电站工程设计中,坝区硬性结构面的抗剪强度参数是工程设计中十分重要的设计参数。但是,由于现场对结构面所做的抗剪强度试验数量有限,从有限的试验资料整理得到的强度参数不足以代表此类结构面的抗剪强度特征。因在以往相似的工程建设中,曾积累了大量的岩体硬性结构面的抗剪强度试验资料,为此可结合以往资料对锦屏工程中硬性结构面强度参数的分布概型进行优化。

收集以往工程中相关的硬性结构面抗剪强度试验资料,经过整理可以得到硬性结构面抗剪强度参数分布的先验分布。

根据锦屏一级水电站坝区硬性结构面的分类标准(如表1),可以将收集到的硬性结构面抗剪强度试验资料进行分类(共38个试验样本),从而得到各类结构面的抗剪强度参数f、c的二维正态先验分布,见表2。

表1　锦屏一级水电站坝区硬性结构面按性状分类标准结构面类型

A1A2地质类型新鲜硬接触节理裂隙无填充硬接触节理裂隙风化卸荷微风化～新鲜弱卸荷结构面特征

结构面平直粗糙,风化微～新鲜,结合紧密,有一定胶结,强度较高

结构面平直粗糙,微风化～弱风化,无胶结,强度中等表2　硬性结构面抗剪强度参数先验分布函数参数值

结构面类型

A1A2

f

c

σf

0.0500.0270.0200.062

σc

0.1210.0400.0310.072

γ

-0.80-0.67-0.74-0.56

抗剪断

抗剪抗剪断抗剪

0.850.620.550.55

0.350.080.150.04

对锦屏一级水电站现场进行的硬性结构面强度试验数据进行整理,可得到岩体硬性结构面抗剪强度参数的二维正态分布,即Bayes优化方法中的样本分布,见表3。

表3　硬性结构面抗剪强度参数样本分布函数参数值

结构面类型

A1A2

f

c

σf

0.0840.0610.0900.090

σc

0.5100.3570.2140.214

γ

-0.90-0.90-0.88-0.88

抗剪断

抗剪抗剪断抗剪

0.7460.7250.8270.868

0.9430.7890.0770.045

利用Bayes优化方法,得到优化后的后验分布密度函数中的分布参数值如表4所示。

由表4可以看出,在优化后的硬性结构面抗剪强度参数的二维正态分布中,f、c的均值介于样本均值和先验均值之间,优化后的标准差较样本标准差和先验标准差都要小,各参数的变异系数有很大的降低。由此可见,利用Bayes方法对硬性结构面强度参数进行处理,达到了优化的目的。

表4　硬性结构面抗剪强度参数后验分布函数参数值

结构面类型

A1A2

f

c

σf

0.0360.0210.0190.043

σc

0.1070.0370.0310.067

γ

-0.77-0.63-0.74-0.65

抗剪断

抗剪抗剪断抗剪

0.8260.6370.5700.717

0.4870.1950.1450.043

对强度参数进行优化后,可认为锦屏一级水电站中硬性结构面的抗剪强度参数服从Bayes优化后的二维正态分布。可以在此基础上,根据可靠度原理及有关规程在一定的置信概率下,进行硬性结构面

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的强度参数设计值选取,作为工程设计中使用的设计值。

4　结论

通过以上的分析可以看出,岩土强度参数服从二维正态分布,充分考虑了这2个参数之间的相关特性,较之以往将强度参数f、c分开来进行统计分析合理。

在基于岩土参数服从二维正态分布的基础上,利用Bayes方法对岩土强度参数的分布概型进行优化,得到了计算后验分布密度函数中各参数的计算公式。通过锦屏一级水电站硬性结构面的抗剪强度参数进行优化的实例可以看出,利用Bayes方法对岩土强度参数进行优化比较简单,从得到的结果还可看出,利用Bayes方法进行处理达到了岩土工程设计参数优化的目的。参　考　文　献:

[1]　松尾稔.地基工程学.可靠性设计的理论与实际[M].北京:人民交通出版社,1990.[2]　茆诗松.贝叶斯统计[M].北京:中国统计出版社,1990.[3]　光耀华.岩石抗剪强度指标的概率分析[J].岩石力学与工程学报.1994,(13):349-356.[4]　高大钊.土的抗剪强度指标的统计方法[J].工程勘查,1986,(4):1-5.

Bayesmethodofoptimizinggeotechnicalparameters

basedontwo2dimensionnormaldistribution

ZHAOYu2fei,WANGXiao2gang,YANGJian

(DepartmentofGeotechnicalEngineering,IWHR,Beijing　100044,China)

Abstract:Ingeotechnicalengineering,thegeotechnicalstrengthparameters(f,c)areveryimportantones,determinationoftheparameters’valueshasagreatimpactonthesafetyoftheprojects.Inprevious

practice,geotechnicalstrengthparameters(f,c)weretreatedindependently,sothatthecorrelationbetweenthetwowasignored.Basedonanassumptionofgeotechnicalparameters’two2dimensionnormaldistribution,theBayesmethodisintroducedtooptimizeitsdistributionprobabilitytype.Thevariation2coefficientofthegeotechnicalparametersafteroptimizationcouldbeminimizedsignificantly.ThefeasibilityofthismethodisprovedwithacasestudyinadistributionoptimizationofshearstrengthsfortheJinpingⅠhydropowerstation.

Keywords:geotechnicalstrengthparameters;two2dimensionnormaldistribution;Bayesmethod;optimization

(责任编辑:王成丽)

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