第二十一章 一元二次方程之答禄夫天创作
创作时间：二零二一年六月三十日 21．1 一元二次方程
1. 了解一元二次方程的概念, 应用一元二次方程概念解决一些简单问题．
2
2．掌握一元二次方程的一般形式ax＋bx＋c＝0(a≠0)及有关概念．
3．会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念． 重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索．
难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项．
一、自学指导．(10分钟) 问题1：
如图, 有一块矩形铁皮, 长100 cm, 宽50 cm, 在它的四角各切去一个同样的正方形, 然后将四周突出部份折起, 就能制作
2
一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm, 那么铁皮各角应切去多年夜的正方形？
分析：设切去的正方形的边长为x cm, 则盒底的长为__(100－2x)cm__, 宽为__(50－2x)cm__．列方程__(100－2x)·(50－2x)
2
＝3600__, 化简整理, 得__x－75x＋350＝0__．①
问题2：要组织一次排球邀请赛, 参赛的每两个队之间都要角逐一场．根据场地和时间等条件, 赛程计划安插7天, 每天安插4场角逐, 角逐组织者应邀请几多个队参赛？
分析：全部角逐的场数为__4×7＝28__．
设应邀请x个队参赛, 每个队要与其他__(x－1)__个队各赛
x（x－1）x（x－1）1场, 所以全部角逐共__场．列方程__＝222
28__, 化简整理, 得__x－x－56＝0__．②
探究：
(1)方程①②中未知数的个数各是几多？__1个__． (2)它们最高次数分别是几次？__2次__．
归纳：方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是__整式__, 只含有__一个__未知数(一元), 而且未知数的最高次数是__2__的方程．
创作时间：二零二一年六月三十日
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1．一元二次方程的界说
等号两边都是__整式__ , 只含有__一__个未知数(一元), 而且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程, 叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式
一般地, 任何一个关于x的一元二次方程, 经过整理, 都能化成如下形式：
2
ax＋bx＋c＝0(a≠0)．
2
这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中__ax__是二次项, __a__是二次项系数, __bx__是一次项, __b__是一次项系数, __c__是常数项．
点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包括它前面的符号．二次项系数a≠0是一个重要条件, 不能漏失落．
二、自学检测：学生自主完成, 小组内展示, 点评, 教师巡视．(6分钟)
1．判断下列方程, 哪些是一元二次方程？
322
(1)x－2x＋5＝0； (2)x＝1；
1232
(3)5x－2x－＝x－2x＋；
452
(4)2(x＋1)＝3(x＋1)；
222
(5)x－2x＝x＋1; (6)ax＋bx＋c＝0. 解：(2)(3)(4)．
点拨精讲：有些含字母系数的方程, 尽管分母中含有字母, 但只要分母中不含有未知数, 这样的方程仍然是整式方程．
2．将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式, 并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
22
解：去括号, 得3x, 合并同类项, 得3x, 一次项系数是－8, 常数项是－10.
点拨精讲：将一元二次方程化成一般形式时, 通常要将首项化负为正, 化分为整．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路, 小组活动后, 小组代表展示活动功效．(8分钟)
22
1．求证：关于x的方程(m－8m＋17)x＋2mx＋1＝0, 无论m取何值, 该方程都是一元二次方程．
22
证明：m－8m＋17＝(m－4)＋1,
2
∵(m－4)≥0,
22
∴(m－4)＋1>0, 即(m－4)＋1≠0.
∴无论m取何值, 该方程都是一元二次方程．
创作时间：二零二一年六月三十日
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点拨精讲：要证明无论m取何值, 该方程都是一元二次方程,
2
只要证明m－8m＋17≠0即可．
2
2．下面哪些数是方程2x＋10x＋12＝0的根？ －4, －3, －2, －1, 0, 1, 2, 3, 4.
解：将上面的这些数代入后, 只有－2和－3满足等式, 所以
2
x＝－2或x＝－3是一元二次方程2x＋10x＋12＝0的两根．
点拨精讲：要判定一个数是否是方程的根, 只要把这个数代入等式, 看等式两边是否相等即可．
二、跟踪练习：学生自力确定解题思路, 小组内交流, 上台展示并讲解思路．(9分钟)
1．判断下列方程是否为一元二次方程．
22
(1)1－x＝0; (2)2(x－1)＝3y；
122
(3)2x－3x－1＝0; (4)－＝0；
x2x
22; 2
(5)(x＋3)＝(x－3) (6)9x＝5－4x. 解：(1)是；(2)不是；(3)是； (4)不是；(5)不是；(6)是．
2
2．若x＝2是方程ax＋4x－5＝0的一个根, 求a的值．
2
解：∵x＝2是方程ax＋4x－5＝0的一个根, ∴4a＋8－5＝0,
3
解得a＝－.
4
3．根据下列问题, 列出关于x的方程, 并将其化成一元二次方程的一般形式：
(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25, 求正方形的边长x；
(2)一个长方形的长比宽多2, 面积是100, 求长方形的长x.
222
解：(1)4x＝25, 4x－25＝0；(2)x(x－2)＝100, x－2x－100＝0.
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
1．一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程．
2
2．一元二次方程的一般形式ax＋bx＋c＝0(a≠0), 特别强调a≠0.
3．要会判断一个数是否是一元二次方程的根．
学习至此, 请使用本课时对应训练部份．(10分钟)
21．2 解一元二次方程
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21． 配方法(1)
1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程． 2. 渗透转化思想, 掌握一些转化的技能．
2
重点：运用开平方法解形如(x＋m)＝n(n≥0)的方程；领会降次——转化的数学思想．
2
难点：通过根据平方根的意义解形如x＝n(n≥0)的方程, 知
2
识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m)＝n(n≥0)的方程．
一、自学指导．(10分钟)
2
问题1：一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm, 小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外概况, 你能算出盒子的棱长吗？
设正方体的棱长为x dm, 则一个正方体的概况积为22
__6x__dm, 根据一桶油漆可刷的面积列出方程：
2
__10×6x＝1500__,
2
由此可得__x＝25__,
根据平方根的意义, 得x＝__±5__, 即x1＝__5__, x2＝__－5__．
可以验证__5__和－5都是方程的根, 但棱长不能为负值, 所以正方体的棱长为__5__dm.
探究：对比问题1解方程的过程, 你认为应该怎样解方程(2x22
－1)＝5及方程x＋6x＋9＝4?
2
方程(2x－1)＝5左边是一个整式的平方, 右边是一个非负数, 根据平方根的意义, 可将方程变形为__2x－1＝±5__, 即将方程酿成__2x－1＝5和__2x－1＝－5__两个一元一次方程, 从而
1＋51－52
获得方程(2x－1)＝5的两个解为x1＝__, x2＝__22__．
在解上述方程的过程中, 实质上是把一个一元二次方程“降次”, 转化为两个一元一次方程, 这样问题就容易解决了．
2
方程x＋6x＋9＝4的左边是完全平方式, 这个方程可以化成
2
(x＋__3__)＝4, 进行降次, 获得 __x＋3＝±2__ , 方程的根为x1＝ __－1__, x2＝__－5__.
归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两
22
个一元一次方程．如果方程能化成x＝p(p≥0)或(mx＋n)＝p(p≥0)的形式, 那么可得x＝±p或mx＋n＝±p.
二、自学检测：学生自主完成, 小组内展示, 点评, 教师巡
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视．(6分钟)
解下列方程：
22
(1)2y＝8； (2)2(x－8)＝50；
22
(3)(2x－1)＋4＝0; (4)4x－4x＋1＝0.
22
解：(1)2y＝8, (2)2(x－8)＝50,
22
y＝4, (x－8)＝25,
y＝±2, x－8＝±5,
∴y1＝2, y2＝－2； x－8＝5或x－8＝－5, ∴x1＝13, x2＝3；
22
(3)(2x－1)＋4＝0, (4)4x－4x＋1＝0,
22
(2x－1)＝－4<0, (2x－1)＝0, ∴原方程无解； 2x－1＝0,
1
∴x1＝x2＝.
2
2
点拨精讲：观察以上各个方程能否化成x＝p(p≥0)或(mx＋2
n)＝p(p≥0)的形式, 若能, 则可运用直接开平方法解．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路, 小组活动后, 小组代表展示活动功效．(8分钟)
1．用直接开平方法解下列方程：
22
(1)(3x＋1)＝7; (2)y＋2y＋1＝24；
2
(3)9n－24n＋16＝11.
－1±74±11
解：(1)；(2)－1±26；(3).
33
2
点拨精讲：运用开平方法解形如(mx＋n)＝p(p≥0)的方程时, 最容易犯错的是漏失落负根．
22
2．已知关于x的方程x＋(a＋1)x－3＝0的一个根是1, 求a的值．
解：±1.
二、跟踪练习：学生自力确定解题思路, 小组内交流, 上台展示并讲解思路．(9分钟)
用直接开平方法解下列方程：
22
(1)3(x－1)－6＝0 ; (2)x－4x＋4＝5；
22
(3)9x＋6x＋1＝4; (4)36x－1＝0；
22
(5)4x＝81; (6)(x＋5)＝25；
2
(7)x＋2x＋1＝4.
解：(1)x1＝1＋2, x2＝1－2；
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(2)x1＝2＋5, x2＝2－5；
1
(3)x1＝－1, x2＝；
3
11
(4)x1＝, x2＝－；
6699
(5)x1＝, x2＝－；
22
(6)x1＝0, x2＝－10； (7)x1＝1, x2＝－3.
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
1．用直接开平方法解一元二次方程． 2．理解“降次”思想．
22
3．理解x＝p(p≥0)或(mx＋n)＝p(p≥0)中, 为什么p≥0?
学习至此, 请使用本课时对应训练部份．(10分钟)
21． 配方法(2)
1．会用配方法解数字系数的一元二次方程．
2．掌握配方法和推导过程, 能使用配方法解一元二次方程． 重点：掌握配方法解一元二次方程．
2
难点：把一元二次方程转化为形如(x－a)＝b的过程．
(2分钟)
1．填空：
22
(1)x－8x＋__16__＝(x－__4__)；
22
(2)9x＋12x＋__4__＝(3x＋__2__)；
p2p22
(3)x＋px＋__()__＝(x＋____).
222
2．若4x－mx＋9是一个完全平方式, 那么m的值是__±12__．
一、自学指导．(10分钟)
问题1：要使一块矩形场地的长比宽多6 m, 而且面积为16 m2, 场地的长和宽分别是几多米？
设场地的宽为x m, 则长为__(x＋6)__m, 根据矩形面积为16 m2, 获得方程__x(x＋6)＝16__, 整理获得__x2＋6x－16＝0__．
2
探究：怎样解方程x＋6x－16＝0?
2
比较这个方程与前面讨论过的方程x＋6x＋9＝4, 可以发现2
方程x＋6x＋9＝4的左边是含有x的完全平方形式, 右边是非负
2
数, 可以直接降次解方程；而方程x＋6x－16＝0不具有上述形
创作时间：二零二一年六月三十日
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式, 直接降次有困难, 能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？
2
解：移项, 得x＋6x＝16,
62b22
两边都加上__9__即__()__, 使左边配成x＋bx＋()的形
22
式, 得
2
__x__＋6__x__＋9＝16＋__9__,
左边写成平方形式, 得
2
__(x＋3)＝25__,
开平方, 得
__x＋3＝±5__, (降次)
即 __x＋3＝5__或__x＋3＝－5__,
解一次方程, 得x1＝__2__, x2＝__－8__．
归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法, 叫做配方法；配方的目的是为了降次, 把一元二次方程转化为两个一元一次方程．
问题2：解下列方程：
22
(1)3x－1＝5； (2)4(x－1)－9＝0；
2
(3)4x＋16x＋16＝9.
15
解：(1)x＝±2；(2)x1＝－, x2＝；
22
71
(3)x1＝－, x2＝－.
22
归纳：利用配方法解方程时应该遵循的步伐：
2
(1)把方程化为一般形式ax＋bx＋c＝0；
(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边； (3)方程两边同时除以二次项系数a；
(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
(5)此时方程的左边是一个完全平方式, 然后利用平方根的界说把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．
二、自学检测：学生自主完成, 小组内展示, 点评, 教师巡视．(8分钟)
1．填空：
22
(1)x＋6x＋__9__＝(x＋__3__)；
1122
(2)x－x＋____＝(x－____)；
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(3)4x＋4x＋__1__＝(2x＋__1__). 2．解下列方程：
22
(1)x＋6x＋5＝0; (2)2x＋6x＋2＝0；
2
(3)(1＋x)＋2(1＋x)－4＝0.
2
解：(1)移项, 得x＋6x＝－5,
2222
配方得x＋6x＋3＝－5＋3, (x＋3)＝4, 由此可得x＋3＝±2, 即x1＝－1, x2＝－5.
2
(2)移项, 得2x＋6x＝－2,
2
二次项系数化为1, 得x＋3x＝－1,
323252
配方得x＋3x＋()＝(x＋)＝,
2243553
由此可得x＋＝±, 即x1＝－,
2222
53
x2＝－－.
22
2
(3)去括号, 整理得x＋4x－1＝0,
2
移项得x＋4x＝1,
2
配方得(x＋2)＝5,
x＋2＝±5, 即x1＝5－2, x2＝－5－2.
点拨精讲：解这些方程可以用配方法来完成, 即配一个含有x的完全平方式．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路, 小组活动后, 小组代表展示活动功效．(5分钟)
如图, 在Rt△ABC中, ∠C＝90°, AC＝8 m, CB＝6 m, 点P, Q同时由A, B两点动身分别沿AC, BC方向向点C匀速移动, 它们的速度都是1 m/s, 几秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半？
解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半．根据题意可列方程：
111
(8－x)(6－x)＝××8×6, 222
2
即x－14x＋24＝0,
2
(x－7)＝25, x－7＝±5,
∴x1＝12, x2＝2,
x1＝12, x2＝2都是原方程的根, 但x1＝12分歧题意, 舍去．
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22
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答：2秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半．
点拨精讲：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半, △PCQ也是直角三角形．根据已知条件列出等式．
二、跟踪练习：学生自力确定解题思路, 小组内交流, 上台展示并讲解思路．(8分钟)
1．用配方法解下列关于x的方程：
22
(1)2x－4x－8＝0； (2)x－4x＋2＝0；
122
(3)x－x－1＝0 ; (4)2x＋2＝5.
2
解：(1)x1＝1＋5, x2＝1－5； (2)x1＝2＋2, x2＝2－2；
117117
(3)x1＝＋, x2＝－；
444466
(4)x1＝, x2＝－.
22
2．如果x－4x＋y＋6y＋z＋2＋13＝0, 求(xy)的值．
22
解：由已知方程得x－4x＋4＋y＋6y＋9＋z＋2＝0, 即(x22
－2)＋(y＋3)＋z＋2＝0, ∴x＝2, y＝－3, z＝－2.
1z－2
∴(xy)＝[2×(－3)]＝.
36
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
1．用配方法解一元二次方程的步伐．
2．用配方法解一元二次方程的注意事项．
学习至此, 请使用本课时对应训练部份．(10分钟)
21． 公式法
1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程, 了解公式法的概念．
2. 会熟练应用公式法解一元二次方程． 重点：求根公式的推导和公式法的应用． 难点：一元二次方程求根公式的推导．
(2分钟)
用配方法解方程：
22
(1)x＋3x＋2＝0； (2)2x－3x＋5＝0. 解：(1)x1＝－2, x2＝－1； (2)无解． 一、自学指导．(8分钟)
2
问题：如果这个一元二次方程是一般形式ax＋bx＋c＝0(a≠
创作时间：二零二一年六月三十日
2
2
z
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0), 你能否用上面配方法的步伐求出它们的两根？
2
问题：已知ax＋bx＋c＝0(a≠0), 试推导它的两个根x1＝－b＋b2－4ac－b－b2－4ac
, x2＝.
2a2a
分析：因为前面具体数字已做得很多, 现在无妨把a, b, c也当做一个具体数字, 根据上面的解题步伐就可以一直推下去．
2
探究：一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程的系数a, b, c而定, 因此：
2
(1)解一元二次方程时, 可以先将方程化为一般形式ax＋bx
2
＋c＝0, 当b－4ac≥0时, 将a, b, c代入式子x＝－b±b2－4ac2
就获得方程的根, 当b－4ac＜0时, 方程没有实
2a数根．
－b±b2－4ac2
(2)x＝叫做一元二次方程ax＋bx＋c＝
2a
0(a≠0)的求根公式．
(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．
(4)由求根公式可知, 一元二次方程最多有__2个实数根, 也可能有__1__个实根或者__没有__实根．
22
(5)一般地, 式子b－4ac叫做方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)的
2
根的判别式, 通经常使用希腊字母Δ暗示, 即Δ＝b－4ac.
二、自学检测：学生自主完成, 小组内展示, 点评, 教师巡视．(5分钟)
用公式法解下列方程, 根据方程根的情况你有什么结论？
22
(1)2x－3x＝0； (2)3x－23x＋1＝0；
2
(3)4x＋x＋1＝0.
3
解：(1)x1＝0, x2＝；有两个不相等的实数根；
23
(2)x1＝x2＝；有两个相等的实数根；
3
(3)无实数根．
点拨精讲：Δ＞0时, 有两个不相等的实数根；Δ＝0时, 有两个相等的实数根；Δ＜0时, 没有实数根．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路, 小组活动后, 小组代表展示活动功效．(8分钟)
2
1．方程x－4x＋4＝0的根的情况是( B )
创作时间：二零二一年六月三十日
创作时间：二零二一年六月三十日
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根
2．当m为何值时, 方程(m＋1)x－(2m－3)x＋m＋1＝0, (1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？
111
解：(1)m＜； (2)m＝； (3)m ＞.
44422
3. 已知x＋2x＝m－1没有实数根, 求证：x＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根.
2
证明：∵x＋2x－m＋1＝0没有实数根, ∴4－4(1－m)＜0, ∴m＜0.
22
对方程x＋mx＝1－2m, 即x＋mx＋2m－1＝0,
2
Δ＝m－8m＋4, ∵m＜0, ∴Δ＞0,
2
∴x＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根．
二、跟踪练习：学生自力确定解题思路, 小组内交流, 上台展示并讲解思路．(10分钟)
1．利用判别式判定下列方程的根的情况：
322
(1)2x－3x－＝0; (2)16x－24x＋9＝0；
2
(3)x－42x＋9＝0 ; (4)3x＋10x＝2x＋8x. 解：(1)有两个不相等的实数根； (2)有两个相等的实数根； (3)无实数根；
(4)有两个不相等的实数根． 2．用公式法解下列方程：
122
(1)x＋x－12＝0 ; (2)x－2x－＝0；
4
2
(3)x＋4x＋8＝2x＋11; (4)x(x－4)＝2－8x；
22
(5)x＋2x＝0 ; (6)x＋25x＋10＝0. 解：(1)x1＝3, x2＝－4；
2＋32－3
(2)x1＝, x2＝；
22
(3)x1＝1, x2＝－3；
创作时间：二零二一年六月三十日
2
2
2
2
创作时间：二零二一年六月三十日
(4)x1＝－2＋6, x2＝－2－6； (5)x1＝0, x2＝－2; (6)无实数根．
2
点拨精讲：(1)一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a, b, c确定的；
(2)在解一元二次方程时, 可先把方程化为一般形式, 然后在
－b±b2－4ac2
b－4ac≥0的前提下, 把a, b, c的值代入x＝
2a
2
(b－4ac≥0)中, 可求得方程的两个根；
(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根．
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
1.求根公式的推导过程．
2.用公式法解一元二次方程的一般步伐：先确定a, b, c的
2
值, 再算出b－4ac的值、最后代入求根公式求解．
3.用判别式判定一元二次方程根的情况．
学习至此, 请使用本课时对应训练部份．(10分钟)
21． 因式分解法
1. 会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程．
2. 能根据具体的一元二次方程的特征, 灵活选择方程的解法, 体会解决问题方法的多样性．
重点：用因式分解法解一元二次方程．
难点：理解因式分解法解一元二次方程的基本思想．
(2分钟)
将下列各题因式分解：
(1)am＋bm＋cm＝(__a＋b＋c__)m；
22
(2)a－b＝__(a＋b)(a－b)__；
222
(3)a±2ab＋b＝__(a±b)__． 一、自学指导．(8分钟)
问题：根据物理学规律, 如果把一个物体从空中以10 m/s的
2
速度竖直上抛, 那么经过x s物体离地的高度(单元：m.s)
设物体经过x s落回空中, 这时它离空中的高度为0, 即2
10x＝0, ①
思考：除配方法或公式法以外, 能否找到更简单的方法解方程①？
分析：方程①的右边为0, 左边可以因式分解得： x(10－4.9x)＝0,
创作时间：二零二一年六月三十日
创作时间：二零二一年六月三十日
于是得x＝0或10－4.9x＝0, ② ∴x1＝__0__, x2≈．
上述解中, x2≈暗示物体约在2.04 s时落回空中, 而x1＝0暗示物体被上抛离开空中的时刻, 即0 s时物体被抛出, 此刻物体的高度是0 m.
点拨精讲： (1)对一元二次方程, 先将方程右边化为0, 然后对方程左边进行因式分解, 使方程化为两个一次式的乘积的形式, 再使这两个一次因式分别即是零, 从而实现降次, 这种解法叫做因式分解法．
(2)如果a·b＝0, 那么a＝0或b＝0, 这是因式分解法的根据．如：如果(x＋1)(x－1)＝0, 那么__x＋1＝0或__x－1＝0__, 即__x＝－1__或__x＝1．
二、自学检测：学生自主完成, 小组内展示, 点评, 教师巡视．(5分钟)
1．说出下列方程的根：
(1)x(x－8)＝0； (2)(3x＋1)(2x－5)＝0.
15
解：(1)x1＝0, x2＝8； (2)x1＝－, x2＝.
32
2．用因式分解法解下列方程：
22
(1)x－4x＝0; (2)4x－49＝0；
2
(3)5x－20x＋20＝0.
77
解：(1)x1＝0, x2＝4; (2)x1＝, x2＝－；
22
(3)x1＝x2＝2.
一、小组合作：小组讨论交流解题思路, 小组活动后, 小组代表展示活动功效．(8分钟)
1．用因式分解法解下列方程：
2
(1)5x－4x＝0； (2)3x(2x＋1)＝4x＋2；
2
(3)(x＋5)＝3x＋15.
4
解：(1)x1＝0, x2＝；
5
21
(2)x1＝, x2＝－；
32
(3)x1＝－5, x2＝－2.
点拨精讲：用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0, 另一边可以分解因式．
创作时间：二零二一年六月三十日
创作时间：二零二一年六月三十日
2．用因式分解法解下列方程：
2
(1)4x－144＝0；
22
(2)(2x－1)＝(3－x)；
1232
(3)5x－2x－＝x－2x＋；
44
2
(4)3x－12x＝－12.
解：(1)x1＝6, x2＝－6；
4
(2)x1＝, x2＝－2；
311
(3)x1＝, x2＝－；
22
(4)x1＝x2＝2.
点拨精讲：注意本例中的方程可以试用多种方法．
二、跟踪练习：学生自力确定解题思路, 小组内交流, 上台展示并讲解思路．(10分钟)
1．用因式分解法解下列方程：
22
(1)x＋x＝0; (2)x－23x＝0；
22
(3)3x－6x＝－3; (4)4x－121＝0；
22
(5)(x－4)＝(5－2x). 解：(1)x1＝0, x2＝－1； (2)x1＝0, x2＝23； (3)x1＝x2＝1；
1111
(4)x1＝, x2＝－；
22
(5)x1＝3, x2＝1.
点拨精讲：因式分解法解一元二次方程的一般步伐： (1)将方程右边化为__0__；
(2)将方程左边分解成两个一次式的__乘积__；
(3)令每个因式分别为__0__, 获得两个一元一次方程； (4)解这两个一元一次方程, 它们的解就是原方程的解．
2．把小圆形场地的半径增加5 m获得年夜圆形场地, 场空中积增加了一倍, 求小圆形场地的半径．
解：设小圆形场地的半径为x m.
22
则可列方程2πx＝π(x＋5).
解得x1＝5＋52, x2＝5－52(舍去)． 答：小圆形场地的半径为(5＋52) m.
创作时间：二零二一年六月三十日
创作时间：二零二一年六月三十日
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
1．用因式分解法解方程的根据由ab＝0得 a＝0或b＝0, 即“二次降为一次”．
2．正确的因式分解是解题的关键．
学习至此, 请使用本课时对应训练部份．(10分钟) 21． 一元二次方程的根与系数的关系
bc
1. 理解并掌握根与系数的关系：x1＋x2＝－, x1x2＝.
aa
2. 会用根的判别式及根与系数的关系解题．
重点：一元二次方程的根与系数的关系及运用． 难点：一元二次方程的根与系数的关系及运用． 一、自学指导．(10分钟) 自学1：完成下表：
方程 x2－5x＋6＝0 x2＋3x－10＝0 x1 2 2 x2 3 －5 x1＋x2 5 －3 x1x2 6 －10 问题：你发现什么规律？
①用语言叙述你发现的规律；
答：两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项．
2
②x＋px＋q＝0的两根x1, x2用式子暗示你发现的规律. 答：x1＋x2＝－p, x1x2＝q. 自学2：完成下表：
方程 2x2－3x－2＝0 3x2－4x＋1＝0 x1 2 1 3x2 1－ 21 x1＋x2 3 24 3x1x2 －1 1 3问题：上面发现的结论在这里成立吗？(不成立) 请完善规律：
①用语言叙述发现的规律；
答：两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数, 两根之积为常数项与二次项系数之比．
2
②ax＋bx＋c＝0的两根x1, x2用式子暗示你发现的规律．
bc
答：x1＋x2＝－, x1x2＝.
aa
自学3：利用求根公式推导根与系数的关系．(韦达定理)
－b＋b2－4ac2
ax＋bx＋c＝0的两根x1＝____, x2＝
2a创作时间：二零二一年六月三十日
创作时间：二零二一年六月三十日
－b－b2－4ac____．
2abc
x1＋x2＝－, x1x2＝.
aa
二、自学检测：学生自主完成, 小组内展示, 点评, 教师巡视．(5分钟)
根据一元二次方程的根与系数的关系, 求下列方程的两根之和与两根之积．
22
(1)x－3x－1＝0 ； (2)2x＋3x－5＝0；
12
(3)x－2x＝0.
3
解：(1)x1＋x2＝3, x1x2＝－1；
35
(2)x1＋x2＝－, x1x2＝－；
22
(3)x1＋x2＝6, x1x2＝0.
一、小组合作：小组讨论交流解题思路, 小组活动后, 小组代表展示活动功效．(10分钟)
1．不解方程, 求下列方程的两根之和与两根之积．
22
(1)x－6x－15＝0; (2)3x＋7x－9＝0；
2
(3)5x－1＝4x.
解：(1)x1＋x2＝6, x1x2＝－15；
7
(2)x1＋x2＝－, x1x2＝－3；
351
(3)x1＋x2＝, x1x2＝.
44
点拨精讲：先将方程化为一般形式, 找对a, b, c.
2
2．已知方程2x＋kx－9＝0的一个根是－3, 求另一根及k的值．
3
解：另一根为, k＝3.
2
点拨精讲：本题有两种解法, 一种是根据根的界说, 将x＝－3代入方程先求k, 再求另一个根；一种是利用根与系数的关系解答．
2
3．已知α, β是方程x－3x－5＝0的两根, 不解方程, 求下列代数式的值．
创作时间：二零二一年六月三十日
创作时间：二零二一年六月三十日
1122
(1)＋； (2)α＋β； (3)α－β.
αβ
3
解：(1)－；(2)19；(3)29或－29.
5
二、跟踪练习：学生自力确定解题思路, 小组内交流, 上台展示并讲解思路．(8分钟)
1．不解方程, 求下列方程的两根和与两根积：
222
(1)x－3x＝15; (2)5x－1＝4x；
22
(3)x－3x＋2＝10; (4)4x－144＝0. 解：(1)x1＋x2＝3, x1x2＝－15； (2)x1＋x2＝0, x1x2＝－1； (3)x1＋x2＝3, x1x2＝－8； (4)x1＋x2＝0, x1x2＝－36.
2．两根均为负数的一元二次方程是( C ) A．7x2－12x＋5＝0 B．6x2－13x－5＝0 C．4x2＋21x＋5＝0 D．x2＋15x－8＝0
点拨精讲：两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数, 两根之积为正数．
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
不解方程, 根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合, 可求得一些代数式的值；求得方程的另一根和方程中的待定系数的值．
1．先化成一般形式, 再确定a, b, c.
2
2．当且仅当b－4ac≥0时, 才华应用根与系数的关系．
bc
3．要注意比的符号：x1＋x2＝－(比前面有负号), x1x2＝
aa
(比前面没有负号)．
学习至此, 请使用本课时对应训练部份．(10分钟)
21．3 实际问题与一元二次方程(1)
1．会根据具体问题(按一定传布速度传布的问题、数字问题等)中的数量关系列一元二次方程并求解．
2．能根据问题的实际意义, 检验所得结果是否合理． 3．进一步掌握列方程解应用题的步伐和关键． 重点：列一元二次方程解决实际问题． 难点：找出实际问题中的等量关系． 一、自学指导．(12分钟)
创作时间：二零二一年六月三十日
创作时间：二零二一年六月三十日
问题1：有一人患了流感, 经过两轮沾染后共有121人患了流感, 每轮沾染中平均一个人沾染了几个人？
分析：
①设每轮沾染中平均一个人沾染了x个人, 那么患流感的这一个人在第一轮中沾染了__x__人, 第一轮后共有__(x＋1)__人患了流感；
②第二轮沾染中, 这些人中的每个人又沾染了__x__人, 第二轮后共有__(x＋1)(x＋1)__人患了流感．
则列方程：
2
__(x＋1)＝121__,
解得__x＝10或x＝－12(舍)__, 即平均一个人沾染了__10__个人．
再思考：如果依照这样的沾染速度, 三轮后有几多人患流感？
问题2：一个两位数, 它的两个数字之和为6, 把这两个数字交换位置后所得的两位数与原两位数的积是1008, 求原来的两位数．
分析：设原来的两位数的个位数字为__x__, 则十位数字为__(6－x)__, 则原两位数为__10(6－x)＋x, 新两位数为__10x＋(6－x)__．依题意可列方程：[10(6－x)＋x][10x＋(6－x)]＝1008__,
解得 x1＝__2__, x2＝__4__, ∴原来的两位数为24或42. 二、自学检测：学生自主完成, 小组内展示, 点评, 教师巡视．(5分钟)
某初中结业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张暗示留念, 全班共送了2550张相片, 如果全班有x名学生, 根据题意, 列出方程为( )
A．x(x＋1)＝2550 B．x(x－1)＝2550 C．2x(x＋1)＝2550 D．x(x－1)＝2550×2
分析：由题意, 每一个同学都将向全班其他同学各送一张相片, 则每人送出(x－1)张相片, 全班共送出x(x－1)张相片, 可列方程为x(x－1)＝2550. 故选B.
一、小组合作：小组讨论交流解题思路, 小组活动后, 小组代表展示活动功效．(8分钟)
1．某种植物的主干长出若干数目的支干, 每个支干又长出同
创作时间：二零二一年六月三十日
创作时间：二零二一年六月三十日
样数目的小分支, 主干、支干和小分支的总数是91, 求每个支干长出几多小分支？
2
解：设每个支干长出x个小分支, 则有1＋x＋x＝91,
2
即x＋x－90＝0,
解得x1＝9, x2＝－10(舍去), 故每个支干长出9个小分支．
点拨精讲：本例与沾染问题的区别．
2．一个两位数, 个位上的数字比十位上的数字小4, 且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4, 设个位数字为x, 则
22
列方程为：__x＋(x＋4)＝10(x＋4)＋x－4__．
二、跟踪练习：学生自力确定解题思路, 小组内交流, 上台展示并讲解思路．(7分钟)
1．两个正数的差是2, 它们的平方和是52, 则这两个数是( C )
A．2和4 B．6和8 C．4和6 D．8和10 2．教材P21第2题、第3题
学生总结本堂课的收获与困惑．(3分钟)
1．列一元二次方程解应用题的一般步伐：
(1)“审”：即审题, 读懂题意弄清题中的已知量和未知量； (2)“设”：即设__未知数__, 设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；
(3)“列”：即根据题中__等量__关系列方程； (4)“解”：即求出所列方程的__根__； (5)“检验”：即验证根是否符合题意； (6)“答”：即回答题目中要解决的问题． 2. 对数字问题应注意数字的位置．
学习至此, 请使用本课时对应训练部份．(10分钟)
21．3 实际问题与一元二次方程(2)
1. 会根据具体问题(增长率、降低率问题和利润率问题)中的数量关系列一元二次方程并求解．
2．能根据问题的实际意义, 检验所得结果是否合理． 3．进一步掌握列方程解应用题的步伐和关键． 重点：如何解决增长率与降低率问题．
n
难点：理解增长率与降低率问题的公式a(1±x)＝b, 其中a是原有量, x为增长(或降低)率, n为增长(或降低)的次数, b为增长(或降低)后的量．
一、自学指导．(10分钟)
创作时间：二零二一年六月三十日
创作时间：二零二一年六月三十日
创作时间：二零二一年六月三十日 创作时间：二零二一年六月三十日
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