高中抽象函数对称性

1 自身对称；xD，f(ax)f(bx)f(x)关于直线xab对称 2例1：（1）f(1x)f(1x)，则yf(x)的图形关于 对称 （2）若f(bx)f(cx)，问yf(x)的图形关于 对称；

变式1：定义在数集上的函数yf(x)，对一切实数x都有f(1x)f(2x)成立，且方程f(x)0有101个不同的实数根，则所有实数根之和为 ；

变式2：设函数yf(x)对一切实数x都有f(x)f(2ax)(aR)，且方程f(x)0有

k个实根(k2)，则所有实数根之和为 ；

变式3：已知函数f(x)x(1ax)。设关于x的不等式f(xa)f(x)的解集为A，若

11[,]A，则实数a的取值范围是（ ） 22 A (151315131-5 ,0) B (，0) C (,0)(0，) D （-，）222222 两者对称

例2 （1）yf(1x)与yf(1x)的图像关于 对称； （2）yf(2x)与yf(1x)的图像关于 对称； （3）yf(bx)与yf(cx)的图像关于 对称； 类型2：中心对称

例3 （1）f(2x)f(1x)，则yf(x)的图像关于 对称； （2）f(ax)f(cx)0，则yf(x)的图像关于 对称； （3）f(ax)f(cx)2b，则yf(x)的图像关于 对称； 变式4：设函数f(x)为实数集R上的增函数，令F(x)f(x)f(2x) （1）求证：F(x)为R上的增函数；

（2）若x1x22，求证：F(x1)F(x2)0 （3）若F(x1)F(x2)0，求证：x1x22；