江苏省南通市通州区2012届高三查漏补缺专项检测数学试卷

2012届高三查漏补缺专项检测

数学试题

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在相应位置上． 1．若复数z满足z2．已知全集UR(2z)i（i是虚数单位），则z ▲ ．

x40，集合AxZx5x02，Bx，则(CUA)B中最大

的元素是 ▲ ． 3．直线xay30与直线ax4y60平行的充要条件是 ▲ ．

S6S94．设等比数列an的前n项和为Sn，若S3，则数列an的公比q是 ▲ ．

A5．如图，沿田字型的路线从A往N走，且只能向右或向下走， 随机地选一种走法，则经过点C的概率是 ▲ ． 6．实数x满足log3 ▲ ． 7．与抛物线y2

D

E

B C

F

x1sin，则|x1||x9|的值为

S

M

N

第5题图

x有且仅有一个公共点，并且过点1,1的直线方程为 ▲ ．

8．空间三条直线中，任何两条不共面，且两两互相垂直，另一条直线l与这三条直线所成的角均为，则tan9．将函数y ▲ ．

的图象向左平移至少 ▲ 个单位，可得一个偶函数的图象．

ab5sin2x10．将一个长和宽分别为a,b0的长方形的四个角切去四个相同的正方形，然后折成

ba一个无盖的长方体形的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则围是 ▲ ．

11．在ABC中，角A,B,C所对边分别是a,b,c，若

a2的取值范

tanAtanBtanAtanCtanBtanC16，则

bc22 ▲ ．

f12．已知函数yx是定义在R上的增函数，函数yfx1的图象关于1,0对称．

数学试卷 第 1 页 共 16 页

若对任意的x,yx2R，不等式

fx26x21fy28y0恒成立，则当x3时，

y2的取值范围是 ▲ ．

60，O13．已知ABC中，BOPOAOBOC为ABC的外心，若点P在ABC所在的平面上，

，则边AC上的高h的最大值为 ▲ ．

(Sn1a1)2，且BPBC814．各项为正数的数列an，其前n项的和为Sn，且Snbnan1ananan1n2，若

，且数列bn的前n项的和为Tn，，则Tn ▲ ．

二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）

设函数fxsinx，其中0,2，若cos．

3cossin23sin0，且图象

的一条对称轴离一个对称中心的最近距离是（1）求函数fx的解析式；

4（2）若A,B,C是ABC的三个内角，且fA

16．（本小题满分14分）

在所有棱长都相等的斜三棱柱ABCABAEDEF1，求sinBsinC的取值范围．

中，已知BFAE，BFACEO，且

C，连接AO．

D（1）求证：AO

平面FEBC；

F（2）求证：四边形BCFE为正方形．

OBE第16题图

数学试卷 第 2 页 共 16 页

17．（本小题满分14分）

如图1，OA、OB是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段CD和曲线段EF分别 是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤．为观光旅游的需要，拟过栈桥CD上某点P分别修 建与OA、OB平行的栈桥PM、PN，且以PM、PN为边建一个跨越水面的三角形 观光平台PMN．建立如图2所示的直角坐标系，测得线段CD的方程是x2y20

0x20，曲线段EF的方程是xy2004x50，设点P的坐标为(x,y)，

记zxy（题中所涉及的长度单位均为米，栈桥和防波堤都不计宽度）．

（1）求z的取值范围；

（2）试写出三角形观光平台PMN面积SPMN关于z的函数解析式，并求出该面积的最小值．

18．（本小题满分16分）

已知椭圆C:xa22y21a1的右焦点为F(c,0)c1，点P在圆O:xy221上

任意一点（点P第一象限内），过点P作圆O的切线交椭圆C于两点Q、R． （1）证明：

PQFQa；

y Q P O F x R 第18题图

（2）若椭圆离心率为

32，求线段QR长度的最大值． 数学试卷 第 3 页 共 16 页

19．（本小题满分16分） 已知函数

（1）若a （2）若a

20．（本小题满分16分）

已知数列an单调递增，且各项非负，对于正整数K，若任意的i，j（1≤i≤j≤K），

ajaif(x)ax2blnx（x0）．

1，fx在0,上是单调增函数，求b的取值范围；

2,b1，求方程fx1x在0,1上解的个数．

仍是an中的项，则称数列{an}为“K项可减数列”．

2（1）已知数列an是首项为2，公比为2的等比数列，且数列an列”，试确定K的最大值；

（2）求证：若数列an是“K项可减数列”，则其前n项的和Sn是“K项可减数

n2an(n1,2,,K)；

（3）已知an是各项非负的递增数列，写出（2）的逆命题，判断该逆命题的真假， 并说明理由．

数学试卷 第 4 页 共 16 页

2012届高三查漏补缺专项检测

数学附加题

21．本题包括高考A，B，C，D四个选题中的B，C 两个小题，每小题10分，共20分．把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． B．选修4—2：矩阵与变换

已知矩阵

C．选修4—4：极坐标与参数方程

x在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为y1222t1A2111，向量2．求向量，使得A2．

（t为参数），若以直角坐标系

32txOy 的O点为极点，Ox为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C的极坐标

2cos(方程为4)．

（1）求直线l的倾斜角；

（2）若直线l与曲线C交于A,B两点，求AB．

22．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

数学试卷 第 5 页 共 16 页

学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有 5人，现从中选2人．设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P(（1）求文娱队的队员人数；

（2）写出的概率分布列并计算E()．

23．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

n*bn(a1)nb，在数列{an}和{bn}中，ana，其中a2且aN， n1,2,3,，

0)710．

bR．设A{a1,a2,a3,}，B{b1,b2,b3,}，试问在区间[1,a]上是否存在实数 b使得CAB．若存在，求出b的一切可能的取值及相应的集合C；若不存

在，试说明理由．

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通州区2012届高三查漏补缺专项检测

数学试题答案及评分标准

一、填空题：

1．1i 2．3 3．2 4．1或－1 5． 6．8 7．x322y10或y21

8．2 9．

3

510．1,4 11．

23 12．13,49 13．23 14．

4n6n2n1

二、解答题：

15．解：（1）由条件，cos3cossin23sincos3cossin3sincos(3)0

2,6356,32,6， ……………………………3

分

又图象的一条对称轴离一个对称中心的最近距离是

f4，所以周期为，2，

xsin2x6． ……………………………6

分

（2）由fAA是ABC1，知sin2A1，

6A的内角，0,A23，C62A6136，

2A632，从而B3． ……………………………9

分 由

sinBsinCsinBsinBsinB33， ……………………………12

分

0B3,3B323，

sinB1233，即

数学试卷 第 7 页 共 16 页

3sinBsinC,12． ……………………………14分

16．（1）证明：因为BCFE是菱形，所以BF又BFAEEC，AEECE，所以BF平面AEC

因为AOBFAO平面AEC，所以

……………………………4分

ABAC,OEOC因为AE由BF，所以AOEC

ECO，所以

AO平面BCFE ……………………………8分

平面BCFE（2）证明：因为AO分

又因为AE所以ECAB，所以AOOE,AOOB， ……………………………10

，所以OEOB，

BF

所以四边形BCFE为正方

形 ……………………………14分 17．解：（1）x分

由题知，M∴

(200y,y),N(x,200x)2y20y10x2 ， ……………………………2

在曲线段EF上，

y410x24x12x4且，

∴x4,12， ……………………………4分

zxy12x10x212(x10)5032,502 …………………………

）

……………………10分

…7分

（

SPMN12PMPN2

1200200140000(y)(x)z4002xy2z数学试卷 第 8 页 共 16 页

z32,50时，S1400001122z2z200z200z20，

递

减

，

∴∴S(z)minS(z)在32,50上单调

S50225． ……………………………14分

0)18．解：（1）设Q(x1,y1)(x1分

由PQ是圆x2注

x1a22，得|FQ |aex1，

……………………………3

y21的切线，|PQ||OQ||OP|22x1y11x1a2222，

，

意

1a2到

2y11PQx1(12)1(1)x1ex1，…………………………6

2分

以

所

|P． ……………………………7Q分

a2（2）由题意，e分

1a32，a2． ……………………………9

方法一：设直线QR的方程为y由

km2kxm，点P在第一象限，k圆

O0,m0．

，

直

1,m2线

k2QR与相切

1． ……………………………11分

1ykxm由x2，消y2y14得14k2x28kmx4m240，

设Px1,y1,Qx2,y2，则x1由

QRex1x2x28km14k2．

）

知

，………………14分

，

（

21

)43km14k32232(8km14k243kmm23k2m23k23mk，QR4132．

数学试卷 第 9 页 共 16 页

当且仅当mF3k时，QR取最大值2，此时直线QR的方程为ykx3，过焦点

．…16分

方法二：设Px0,y0,Qx1,y1,Rx2,y2， 则

直

线

QR的方程为

x0xy0y1．

……………………………11分

，消y得y02，2由x0xy0y1x24y244x02x28x0x44y002，

则x1由

x28x0y04x022x0y012，x1x28x013x02，

知

，

（

328x013x021

43x013x02）

4311x03x0QRex1x2，…………………14分

1x03x023，33QR432132，

36P,33当且仅当

Fx0时，

QR取最大值2，此时，直线

QR过焦点

． ………16分

方法三：由（1）同理可求|PR||FR|2，则QRQFFR4，………………………11

分

QRRFFR,2QRQRRFFR4,QR2，

F当且仅当直线

QRmax2QR过焦点时等号成立，从而

． ……………………………16分

．

x2x)x2bl19

f(解

x2 ……………………………2分

blnx：

bl≥nx①当0x2时，

bxf(x)x2blnx，

f(x)1bx．

． ……………………………4

由条件，得1≥0恒成立，即bx恒成立，∴b2数学试卷 第 10 页 共 16 页

分 ②当x2时，

f(x)x2blnx，

f(x)1bx．

由条件，得1综

b2bx≥0恒成立，即b，

②

x恒成立，∴b≥－2．

b

的

取

值

范

围

是

合①得

． ……………………………6分

2

）

令

g(x)1x|a（，x2即|x12ax2lnx,(0x),xag(x)ax2lnx1,(x≥2).xa………………………8分

当0∵0x2a2a时，g(x)，∴

1xax2lnxa21x，g(x)a2a2a1x1x2．

x．则g(x)2a4a(a2)40．

即g(x)分

当x≥2a0，∴g(x)在（0，）上是递增函数． ……………………………10

a时，gx2aax2lnx1x，gxa1x1x20．

∴g(x)在（，＋∞）上是递增函数．

2a又因为函数g(x)在x分

∵g(2a)ln2aa2有意义，∴g(x)在（0，＋∞）上是递增函数． ………………12

，而

a2，∴ln2a≤0，则g(2a)0．

，

∵a≥2

∴g(1)a3 ， ……………………………14分

当a≥3时，g(1)a3≥0，∴g(x)＝0在(0,1]上有惟一解．

当2a3时，g(1)a3<0，∴g(x)＝0在(0,1]上无解．……………………………16

数学试卷 第 11 页 共 16 页

分

20．解：（1）设cn易得c1an222n，则c10,c22,c36，

c1c1,c2c1c2,c2c2c1，即数列cn一定是“2项可减数列”，

但因为c3分

c2c1,c3c2c2,c3c2c3，所以K的最大值为2． ………………………5

（2）因为数列an是“K项可减数列”， 所以ak分

而an是递增数列，故akakakak1akak2aka1， 所以必有ak则a1aka1,akak1a2at(t1,2,K)必定是数列an中的项， ……………………………7

，akak2a3,,aka1ak，

a2a3ak(akak)(akak1)(akak2)(aka1)

Kak(a1a2a3ak)，

所以SKKaKSK，即SKK2aK．

1,2,,K1)又由定义知，数列an也是“t项可减数列”(t所以Sn分

（3）（2）的逆命题为：

n2an(n1,2,,K)，

． ……………………………10

已知数列an为各项非负的递增数列，若其前n项的和满足Snn2an(n1,2,,K)，

则该数列一定是“K项可减数列”，该逆命题为真命题． ……………………………12分 理由如下：因为Sn两式相减，得ann2an(1≤nn2≤K)，所以当n≥2时，Sn1ann12n12an1，

SnSn1an1，即(n2)an(n1)an1(n2) （）

数学试卷 第 12 页 共 16 页

则当n3时，有(n3)an1(n2)an2（）

，

由（）－（），得an又a112a1，所以a10an22an1(n3)，故数列a1,a2,,aK是首项为0的递增等差数列．

(n1)d,(n1,2,,K)设公差为d(d0)，则an，

，

对于任意的i,j(1≤i≤j≤K)，aj因为1≤1ji1Kai(ji)daji1，所以ajai仍是a1,a2,,aK中的项，

故数列an是“K项可减数列”． …………………………… 16分

数学附加题参考答案

21 B．选修4—2：矩阵与变换 解

：

1A211，

A2121112131423 …………………………4分

设

yx，则

3A422x3y=113x2y4x3y22 …………………………8分

3x2y1x1,4x3y22y，

12. …………………………10分

21 C．选修4—4：极坐标与参数方程

数学试卷 第 13 页 共 16 页

cos解：（1）设直线l的倾斜角为，则sin1232且[0,)，

3，即直线l的倾斜角为

3 …………………………5

分

（2）l的直角坐标方程为y2cos(43x22，

22)(y2)的直角坐标方程为(x22)12，

64所以

102圆心

22,22到直线

l的距离

d，

AB…………………………10分

22．解：设既会唱歌又会跳舞的有x人，

则文娱队中共有（7x）人，只会一项的人数是（72x）人．…………………………2

分

（1）∵P(0)P(1)1P(0)710，∴P(0)310，即

C72xC7x22310．

∴

72x62x7x6x310，解得x2．

故文娱队共有5人． …………………………5分

（2）P(分

的概率分布列为：

1)C2C4C521145，P(2)C2C522110， …………………………7

 0 1 2 数学试卷 第 14 页 共 16 页

P 310310145 110451．

110 ∴E()分

02 …………………………10

23．解：设存在实数b[1,a]，使C设m0设m0则atAB，

Ct，则m0*A，且m0B，

*a(tN)，m0(a1)sb(sN)，

(a1)sb，所以s2aba1t，

b因为a,t,sN*，且a分

（1）当t所以s，所以at能被a1整除． …………………………4

1时，因为b[1,a]aba1*，

ab[0,a1]，

N； …………………………5分

*（2）当ta2n2nnN时，

b(a1)2nb[(a1)1]2nC2n(a1)1b1，

由于b[1,a]，所以b所以，当且仅当b（3）当ta2n11[0,a1]t，0b1a1，

1时，ab*能被a1整除. …………………………7分

2n1nN时，

b(a1)2n1b[(a1)1]2n1C2n1(a1)1b1，

由于b[1,a]，所以b1[2,a1]，

所以，当且仅当b1分

a1，即ba时，atb能被a1整除． .……………………9

综上，在区间[1,a]上存在实数b，使C当b当b分

1时，C{yyaa2nAB成立，

,nN}*；

*时，C{yya2n1,nN}． …………………………10

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数学试卷

第 16 页 共 16 页