《复变函数》考试试题与答案(十二)

一、判断题。（正确者在括号内打√，错误者在括号内打×，每题2分）

1．设复数z1x1iy1及z2x2iy2，若x1x2或y1y2，则称z1与z2是相等的复数。（ ）

2．函数f(z)Rez在复平面上处处可微。 （ ） 3．sin2zcos2z1且sinz1,cosz1。 （ ）

4．设函数f(z)是有界区域D内的非常数的解析函数，且在闭域DDD上连续，则存在M0，使得对任意的zD，有f(z)M。 （ ） 5．若函数f(z)是非常的整函数，则f(z)必是有界函数。（ ） 二、填空题。（每题2分）

1．i2i3i4i5i6 _____________________。

z2．设zxiy0，且argargyarctan________________。

x,2yarctan，当x0,y0时，

x23．若已知f(z)x(11xy2)iy(121xy22则其关于变量z的表达式为__________。 )，

4．nz以z________________为支点。 5．若lnzdzz12i，则z_______________。

6．z________________。

7．级数1z2z4z6的收敛半径为________________。 8．cosnz在zn（n为正整数）内零点的个数为_______________。

9．若za为函数f(z)的一个本质奇点，且在点a的充分小的邻域内不为零，则za是1f(z)的________________奇点。

10．设a为函数f(z)的n阶极点，则Reszaf(z)f(z)_____________________。

三、计算题（50分）

1．设区域D是沿正实轴割开的z平面，求函数w5z在D内满足条件

511的单值

连续解析分支在z1i处之值。 （10分）

2．求下列函数的奇点，并确定其类型（对于极点要指出它们的阶），并求它们留数。（15分） （1）f(z)Lnzz12的各解析分支在z1各有怎样的孤立奇点，并求这些点的留数 （10分）

（2）求Resz0ezzn1。 （5分）

3．计算下列积分。（15分） （1）zz22372(z1)(z2)xdx(xa)2222， dz （8分）

（2）。 (a0) （7分）

4．叙述儒歇定理并讨论方程z66z100在z1内根的个数。（10分） 四、证明题（20分）

1．讨论函数f(z)ez在复平面上的解析性。 （10分） 2．证明：

12izeCnznn!d(znn!)。

2 此处C是围绕原点的一条简单曲线。（10分）

《复变函数》考试试题（十二）参考答案

一、判断题.

1. × 2. × 3. × 4. √ 5. × 二、填空题.

1. 1 2. () 3. f(z)z1z 4. 0,

2n25. i 6. 2 7. 1 8. 9.本性 10.  三、计算题.

1argz2k51

1.解：wkz5e5i k0,1,2,3 ,2k5i 由11 得1e 从而有k2

14451w2(1i)210ei210(cos34isin34)1i5

4

2.解：（1）f(z)Lnzz12的各解析分支为fk(z)lnz2kz12，(k0,1,).

z1为f0(z)的可去奇点，为fk(z)的一阶极点(k0,1,)。

Res(f0(z),1)0 Res(fk(z),1)k i (k1,2, )（2）Resz0ezzn1n1z1Resn1 z0n!n0n!z3.计算下列积分 解：（1）f(z)z2372(z1)(z2)z(111z2)(132z2

)Res(f,)C11

z2f(z)dz2i[Res(f,)]2i

（2）设f(z)z2222(za)z22z222(zai)(zai)

令(z)(zai)， (z)22aiz(zai)14a3

则Res(f,ai)(ai)1!2(ai)(2ai)3i

Imz0f(z)dz2iRes(f,ai)

2axdx(xa)22222a

4.儒歇定理：设c是一条围线，f(z)及(z)满足条件： （1）它们在c的内部均解析，且连续到c； （2）在c上，f(z)(z)

则f与f在c的内部有同样多零点，

6z f(z)即f(z)10 g(z)z6有

g(z)

由儒歇定理知z66z100在z1没有根。 四、证明题

1证明：.设zxiy 有 f(z)ezex(coysiu(x,y)ecosy,xxv(x,y)esiny

syin)uxecosy,xuyesiny,xvxesiny,xvyxecosy

易知u(x,y)，v(x,y)在任意点都不满足CR条件，故f在复平面上处处不解析。

n!e1z2.证明：于高阶导数公式得 (e)zz(n)02in1d

即zn2i1n!e1n1ezd

2zn1故 从而dn!2in!2i1n1znzC:1nn!n1ezd