2009(上)《数理统计》考试题(A卷)

三、（本题10分）设总体XN(1,2)、YN(2,2)，(X1,X2,,Xn1)和(Y1,Y2,,Yn2)分别

22是来自X和Y的样本，且两个样本相互独立，X、Y和SX分别是它们的样本均值和样本方差，证明 、SY(XY)(12)1Snn12122(n11)SX(n21)SY其中S.

n1n222t(n1n22)，

x1e, x0四、（本题10分）已知总体X的概率密度函数为f(x),其中未知参数0,

0, 其它(X1,X2,,Xn)为取自总体的一个样本，求的矩估计量，并证明该估计量是无偏估计量．

五、（本题10分）设总体X的概率密度函数为f(x;)(1)x,0x1，其中未知参数1，

(X1,X2,Xn)是来自总体X的一个样本，试求参数的极大似然估计．

Xn)ex,x>0;六、（本题10分）设总体X的密度函数为f(x;) 未知参数0，(X1,X2,x0,0,为总体的一个样本，证明X是

1的一个UMVUE．

七、（本题10分）合格苹果的重量标准差应小于0.005公斤．在一批苹果中随机取9个苹果称重, 得

其样本标准差为S0.007公斤, 试问：（1）在显著性水平0.05下, 可否认为该批苹果重量标准差达到要求? （2）如果调整显著性水平0.025，结果会怎样？

2222参考数据: 0.025(9)19.023, 0.05(9)16.919, 0.025(8)17.535, 0.05(8)15.507．

2八、（本题10分）已知两个总体X与Y独立，X~(1,1)，Y~(2,2)，1, 2, 1, 2未知，

22212(X1,X2,,Xn1)和(Y1,Y2,,Yn2)分别是来自X和Y的样本，求2的置信度为1的置信区间.

2

1

3. XYN(12,2n12n2)， U(XY)(12)11n1n2N(0,1)．

由定理可知

2(n11)SX2由独立性和2分布的可加性可得

(n11)，

22(n21)SY22(n21)．

V2(n11)SX22(n21)SY22(n1n22)．

由U与V得独立性和t分布的定义可得

(XY)(12)U1V/(n1n22)Snn1214. 解：（1）v1EXt(n1n22)．

xf(x)dx01nxedx，用v1XiX代替，所以 ni11xˆ1nnXi1niX．

ˆ)E(X)1E(X)E(X)，所以该估计量是无偏估计． （2）E(ini1

5. 解：

nn (1)(xi) , 0xi1i1L()

 0 , 其它ndlnL()n当0xi1时，lnL()nln(1)lnxi，令lnxi0，得

d1i1i1nˆ1nlnxi1n．

i6. 证明：由指数分布的总体满足正则条件可得

211I()E2lnf(x;)E22，

1

的的无偏估计方差的C-R下界为

2

121[()]21． 21nI()nn22另一方面

E(X)1， Var(X)即X得方差达到C-R下界，故X是

1， n21的UMVUE．

7. 解：（1）H0:0.005,2n1S2~28，则应有： 2222P20.05(8)15.507， 80.005,0.0580.007215.6815.507,所以拒绝假设H0，即认为苹果重量标准差指标未达到要具体计算得：0.00522求．

（2）新设 H0:0.005, 由220.02580.007217.535,15.6817.535, 则接受假设，20.0052即可以认为苹果重量标准差指标达到要求．

228. 解：设SX分别表示总体X，Y的样本方差，由抽样分布定理可知 , SY2(n11)SX2(n21)SY由F分布的定义可得

21(n11)，

2222(n21)，

2(n11)SXF12(n21)S2Y(n11)(n21)22SX222SY1F(n11,n21)．

22对于置信度1，查F分布表找F/2(n11,n21)和F,n21)使得 1/2(n11 PF,n21)FF1/2(n11,n21)1， /2(n11即

2222SX/SY12SX/SYP21，

F(n1,n1)F(n1,n1)22/2121/212222SX/SYSX/SY12所求2的置信度为1的置信区间为 ． , 2F/2(n11,n21)F1/2(n11,n21)

3