复变函数题库(包含好多试卷,后面都有答案)

《复变函数》考试试题（一）

一、 判断题（20分）：

1.若f(z)在z0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若

{zn}收敛，则

{Re zn}与

{Im zn}都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D内解析，且

f'(z)0，则f(z)C（常数）. ( ) 5.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点. ( ) 7.若

zlimzf(z)0存在且有限，则z0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D内的单叶函数，则f'(z)0(zD). ( ) 9. 若f(z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C

Cf(z)dz0. ( )

10.若函数f(z)在区域D内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D内恒等于常数.（

二.填空题（20分）

dz1、 |zz0|1(zzn__________.（n为自然数） 0)2.

sin2zcos2z _________. 3.函数sinz的周期为___________.

f(z)14.设

z21，则f(z)的孤立奇点有__________.

5.幂级数

nzn的收敛半径为__________.

n06.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.

limz7.若lim1z2...znnzn，则nn______________.

s(ezRe8.zn,0)________，其中n为自然数.

） sinz9. 的孤立奇点为________ .

zlimf(z)___zf(z)的极点，则zz010.若0是.

三.计算题（40分）：

1. 设

1f(z)(z1)(z2)，求f(z)在D{z:0|z|1}内的罗朗展式.

1dz.|z|1cosz2.

3271f(z)dCz3. 设，其中C{z:|z|3}，试求f'(1i).

w4. 求复数

z1z1的实部与虚部.

四. 证明题.(20分) 1. 函数为常数. 2. 试证: f(z)f(z)在区域D内解析. 证明：如果|f(z)|在D内为常数，那么它在D内

z(1z)在割去线段0Rez1的z平面内能分出两个单值解析分支,

并求出支割线0Rez1上岸取正值的那支在z1的值.

《复变函数》考试试题（二）

一. 判断题.（20分）

1. 若函数f(z)u(x,y)iv(x,y)在D内连续，则u(x,y)与v(x,y)都在D内连续. ( )

2. cos z与sin z在复平面内有界. ( ) 3. 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续. ( ) 4. 有界整函数必为常数. ( ) 5. 如z0是函数f(z)的本性奇点，则limf(z)一定不存在. ( )

zz06. 若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析. ( ) 7. 若f(z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线Cf(z)dz0.

C( )

8. 若数列{zn}收敛，则{Rezn}与{Imzn}都收敛. ( ) 9. 若f(z)在区域D内解析，则|f(z)|也在D内解析. ( )

11110. 存在一个在零点解析的函数f(z)使f()0且f(),n1,2,....

n12n2n( )

二. 填空题. (20分)

1. 设zi，则|z|__,argz__,z__

z1i2.设f(z)(x22xy)i(1sin(x2y2),zxiyC，则limf(z)________.

3.

dz|zz0|1(zz0)n_________.（n为自然数）

n04. 幂级数nzn的收敛半径为__________ .

5. 若z0是f(z)的m阶零点且m>0，则z0是f'(z)的_____零点. 6. 函数ez的周期为__________.

7. 方程2z5z33z80在单位圆内的零点个数为________. 8. 设f(z)1，则f(z)的孤立奇点有_________. 21z9. 函数f(z)|z|的不解析点之集为________.

z110. Res(,1)____. 4z三. 计算题. (40分)

3sin(2z)的幂级数展开式. 1. 求函数

2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数

z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点zi处的值.

3. 计算积分：I|z|dz，积分路径为（1）单位圆（|z|1）

ii的右半圆.

4. 求

sinzz2(z)22dz.

四. 证明题. (20分)

1. 设函数f(z)在区域D内解析，试证：f(z)在D内为常数的充要条件是f(z)在D内解析.

2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.

《复变函数》考试试题（三）

一. 判断题. (20分).

1. cos z与sin z的周期均为2k. ( ) 2. 若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件, 则f(z)在z0解析. ( ) 3. 若函数f(z)在z0处解析，则f(z)在z0连续. ( ) 4. 若数列{zn}收敛，则{Rezn}与{Imzn}都收敛. ( ) 5. 若函数f(z)是区域D内解析且在D内的某个圆内恒为常数，则数f(z)在区域D内为常数. ( ) 6. 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导. ( ) 7. 如果函数f(z)在D{z:|z|1}上解析,且|f(z)|1(|z|1),则

|f(z)|1(|z|1). （ ）8. 若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 9. 若z0是f(z)的m阶零点, 则z0是1/f(z)的m阶极点. ( ) 10. 若z0是

f(z)的可去奇点，则Res(f(z),z0)0. ( )

二. 填空题. (20分)

11. 设f(z)2，则f(z)的定义域为___________.

z1z2. 函数e的周期为_________.

n21i(1)n，则limzn__________. 3. 若znn1nn4. sin2zcos2z___________.

dz_________.（n为自然数） n5. |zz0|1(zz0)6. 幂级数nxn的收敛半径为__________.

n07. 设

1f(z)2，则f(z)的孤立奇点有__________.

z1z8. 设e1，则z___.

9. 若z0是

f(z)的极点，则limf(z)___.

zz0ez10. Res(n,0)____.

z三. 计算题. (40分)

1. 将函数f(z)ze在圆环域0z内展为Laurent级数.

21zn!n2. 试求幂级数nz的收敛半径.

nnezdz3. 算下列积分：

Cz2(z29)，其中C是|z|1.

4. 求z92z6z28z20在|z|<1内根的个数.

四. 证明题. (20分) 1. 函数

f(z)在区域D内解析. 证明：如果|f(z)|在D内为常数，那么它

在D内为常数. 2. 设使得当|f(z)是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数R及M，z|R时

|f(z)|M|z|n，

证明

f(z)是一个至多n次的多项式或一常数。

《复变函数》考试试题（四）

一. 判断题. (20分)

1. 若f(z)在z0解析，则f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件. （ ） 2. 若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析. （ ） 3. 函数sinz与cosz在整个复平面内有界. （ ） 4. 若f(z)在区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有

Cf(z)dz0.

（ ）

lim5. 若zz0f(z)存在且有限，则z0是函数的可去奇点. （ ）

6. 若函数f(z)在区域D内解析且f'(z)0，则f(z)在D内恒为常数. （ ）

lim7. 如果z0是f(z)的本性奇点，则zz8. 若9. 若

f(z)一定不存在. （ ）

0f(z0)0,f(n)(z0)0，则z0为f(z)的n阶零点. （ ）

f(z)与g(z)在D内解析，且在D内一小弧段上相等，则f(z)在0|z|内解析，则

f(z)g(z),zD. （ ）

10. 若

Res(f(z),0)Res(f(z),). （ ）

二. 填空题. (20分)

11. 设z，则Rez__,Imz___.

1iz1z2...zn______________.

nnn3. 函数ez的周期为__________.

14. 函数f(z)的幂级数展开式为__________ 21z5. 若函数f(z)在复平面上处处解析，则称它是___________.

6. 若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的

_____________. 2. 若limzn，则lim7. 设C:|z|1，则

(z1)dz___.

Csinz8. 的孤立奇点为________.

z9. 若z0是f(z)的极点，则limf(z)___.

zz010.

ezRes(n,0)_____________.

z三. 计算题. (40分)

31. 解方程z10.

ez2. 设f(z)2，求Res(f(z),).

z13.

z|z|2(9z2)(zi)dz. .

11z4. 函数f(z)e1z有哪些奇点？各属何类型（若是极点，指明它的阶数）.

四. 证明题. (20分) 1. 证明：若函数

f(z)在上半平面解析，则函数f(z)在下半平面解析.

2. 证明z46z30方程在1|z|2内仅有3个根.

《复变函数》考试试题（五）

一. 判断题.（20分）

1. 若函数f(z)是单连通区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数. （ ） 2. 若函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某个圆内恒为常数，则在区域D内

恒等于常数. （ ） 3. 若f(z)在区域D内解析，则|f(z)|也在D内解析. （ ） 4. 若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析. （ ） 5. 若函数f(z)在z0处满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)在z0解析. （ ） 6. 若limf(z)存在且有限，则z0是f(z)的可去奇点. （ ）

zz07. 若函数f(z)在z0可导，则它在该点解析. （ ） 8. 设函数9. 若z0是

f(z)在复平面上解析，若它有界，则必f(z)为常数. （ ）

f(z)的一级极点，则

Res(f(z),z0)lim(zz0)f(z). （ ）

zz010. 若

f(z)与g(z)在D内解析，且在D内一小弧段上相等，则

f(z)g(z),zD. （ ）

二. 填空题.（20分） 1. 设z2. 当z3. 设e4.

13i，则|z|__,argz__,z__.

___时，ez为实数.

z1，则z___.

ez的周期为___.

5. 设C:|z|1，则

(z1)dz___.

Cez16. Res(,0)____.

z7. 若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________。

18. 函数f(z)的幂级数展开式为_________. 21zsinz9. 的孤立奇点为________.

z110. 设C是以为a心，r为半径的圆周，则

C(za)ndz___.（n为自

然数）

三. 计算题. (40分)

z11. 求复数的实部与虚部.

z12. 计算积分：

IRezdz，

L在这里L表示连接原点到1i的直线段.

3. 4.

d求积分：I012acosa2，其中0应用儒歇定理求方程z(z)，在|z|<1内根的个数，在这里(z)在

2|z|1上解析，并且|(z)|1.

四. 证明题. (20分) 1. 证明函数2. 设

f(z)|z|2除去在z0外，处处不可微.

f(z)是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个数R及M，

z|R时

|f(z)|M|z|n，

使得当|证明:

f(z)是一个至多n次的多项式或一常数.

《复变函数》考试试题（六）

一、判断题（30分）：

1. 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续. （ ）

2. 若函数f(z)在z0处满足Caychy-Riemann条件，则f(z)在z0解析. （ ） 3. 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0处满足Caychy-Riemann条件. （ ） 4. 若函数f(z)在是区域D内的单叶函数，则f(z)0(zD). （ ） 5. 若f(z)在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有

（ ）

6. 若f(z)在区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有

Cf(z)dz0.

Cf(z)dz0.（ ）

7. 若f(z)0(zD)，则函数f(z)在是D内的单叶函数.（ ） 8. 若z0是f(z)的m阶零点，则z0是

1的m阶极点.（ ） f(z)9. 如果函数f(z)在Dz:z1上解析，且f(z)1(z1),则f(z)1(z1).

（ ）

10. sinz1(zC).（ ） 二、填空题（20分）

n21i(1)n，则limzn___________. 1nn12. 设f(z)2，则f(z)的定义域为____________________________.

z13. 函数sinz的周期为_______________________.

1. 若zn4.

sin2zcos2z_______________________.

5. 幂级数

nzn0n的收敛半径为________________.

6. 若z0是f(z)的m阶零点且m1，则z0是f(z)的____________零点. 7. 若函数f(z)在整个复平面处处解析，则称它是______________. 8. 函数f(z)z的不解析点之集为__________.

9. 方程2zz3z80在单位圆内的零点个数为___________. 10. 公式ecosxisinx称为_____________________. 三、计算题（30分）

ix532i1、lim. n63271d，其中Cz:z3，试求f(1i). 2、设f(z)Czez3、设f(z)2，求Res(f(z),i).

z1nsinz34、求函数在0z内的罗朗展式. 6z5、求复数w6、求ei3z1的实部与虚部. z1的值.

四、证明题（20分）

1、 方程z9z6z10在单位圆内的根的个数为6.

2、 若函数f(z)u(x,y)iv(x,y)在区域D内解析，v(x,y)等于常数，则f(z)在D恒等

763于常数.

3、 若z0是f(z)的m阶零点，则z0是

1的m阶极点. f(z)《复变函数》考试试题（七）

一、判断题（24分）

1. 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个领域内可导.（ ）

2. 若函数f(z)在z0处解析，则f(z)在z0满足Cauchy-Riemann条件.（ ） 3. 如果z0是f(z)的可去奇点，则limf(z)一定存在且等于零.（ ）

zz04. 若函数f(z)是区域D内的单叶函数，则f(z)0(zD).（ ） 5. 若函数f(z)是区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数.（ ）

6. 若函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某个圆内恒为常数，则在区域D内恒等于

常数.（ ）

7. 若z0是f(z)的m阶零点，则z0是二、填空题（20分）

1的m阶极点.（ ） f(z)11i(1)n，则limzn___________. 1nnz2. 设f(z)2，则f(z)的定义域为____________________________.

z11. 若znsin3. 函数e的周期为______________. 4.

zsin2zcos2z_______________.

5. 幂级数

n2zn的收敛半径为________________.

n026. 若z0是f(z)的m阶零点且m1，则z0是f(z)的____________零点. 7. 若函数f(z)在整个复平面处处解析，则称它是______________. 8. 函数f(z)z的不解析点之集为__________.

9. 方程3zz3z80在单位圆内的零点个数为___________.

83ez10. Res(n,0)_________________.

z三、计算题（30分）

221i1i1、 求.

223271d，其中Cz:z3，试求f(1i). 2、 设f(z)Czez3、设f(z)2，求Res(f(z),0).

z4、求函数

z在1z2内的罗朗展式.

(z1)(z1)5、求复数wz1的实部与虚部. z16、利用留数定理计算积分：四、证明题（20分）

320dx，(a1).

acosx1、方程24z9z6zz10在单位圆内的根的个数为7.

2、若函数f(z)u(x,y)iv(x,y)在区域D内解析，f(z)等于常数，则f(z)在D恒等于常数.

3、 若z0是f(z)的m阶零点，则z0是五、计算题（10分）

求一个单叶函数，去将z平面上的上半单位圆盘z:z1,Imz0保形映射为w平面的单位圆盘w:w1

7631的m阶极点. f(z)

《复变函数》考试试题（八）

一、判断题（20分）

1、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续.（ ）

2、若函数f(z)在z0满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)在z0处解析.（ ） 3、如果z0是f(z)的本性奇点，则limf(z)一定不存在.（ ）

zz04、若函数f(z)是区域D内解析，并且f(z)0(zD)，则f(z)是区域D的单叶函数.（ ）

5、若函数f(z)是区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数.（ ）

6、若函数f(z)是单连通区域D内的每一点均可导，则它在D内有任意阶导数.（ ） 7、若函数f(z)在区域D内解析且f(z)0，则f(z)在D内恒为常数.（ ） 8. 存在一个在零点解析的函数f(z)使f(111)0且f(),n1,2,n12n2n.（ ）

9. 如果函数f(z)在Dz:z1上解析，且f(z)1(z1)，则f(z)1(z1).（ ）

10. sinz是一个有界函数.（ ） 二、填空题（20分） 1、若znn21i(1)n，则limzn___________. 1nn2、设f(z)lnz，则f(z)的定义域为____________________________. 3、函数sinz的周期为______________. 4、若limzn，则limnz1z2nnzn_______________.

5、幂级数

nzn的收敛半径为________________.

n056、函数f(z)1的幂级数展开式为______________________________. 1z21C(zz0)ndz______________.

7、若C是单位圆周，n是自然数，则

8、函数f(z)z的不解析点之集为__________.

9、方程15zz4z80在单位圆内的零点个数为___________. 10、若f(z)5321，则f(z)的孤立奇点有_________________. 21z1dz z32i(z1)(z4)三、计算题（30分） 1、求

z1ez1sinzdz3271d，其中Cz:z3，试求f(1i). 2、设f(z)Czez3、设f(z)2，求Res(f(z),).

z14、求函数

z10在2z内的罗朗展式.

(z1)(z22)5、求复数wz1的实部与虚部. z163四、证明题（20分）

1、方程15z5z6z10在单位圆内的根的个数为7.

2、若函数f(z)u(x,y)iv(x,y)在区域D内连续，则二元函数u(x,y)与v(x,y)都在D内连续.

4、 若z0是f(z)的m阶零点，则z0是五、计算题（10分）

求一个单叶函数，去将z平面上的区域z:0argz71的m阶极点. f(z)4保形映射为w平面的单位圆盘5w:w1.

《复变函数》考试试题（九）

一、判断题（20分）

1、若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析.（ ）

2、若函数f(z)在z0满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)在z0处解析.（ ） 3、如果z0是f(z)的极点，则limf(z)一定存在且等于无穷大.（ ）

zz04、若函数f(z)在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有（ ）

Cf(z)dz0.

5、若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个领域内可以展开为幂级数.（ ） 6、若函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某一条曲线上恒为常数，则f(z)在区域D内恒为常数.（ ）

7、若z0是f(z)的m阶零点，则z0是

1的m阶极点.（ ） f(z)8、如果函数f(z)在Dz:z1上解析，且f(z)1(z1)，则f(z)1(z1)（. ） 9、lime.（ ）

zz10、如果函数f(z)在z1内解析，则max{f(z)}max{f(z)}.（ ）

z1z1二、填空题（20分）

12i(1)n，则limzn___________. 1nn12、设f(z)，则f(z)的定义域为____________________________.

sinz3、函数sinz的周期为______________.

1、若znsin4、sinzcosz_______________. 5、幂级数

22nzn0n的收敛半径为________________.

6、若z0是f(z)的m阶零点且m1，则z0是f(z)的____________零点.

7、若函数f(z)在整个复平面除去有限个极点外，处处解析，则称它是______________.

8、函数f(z)z的不解析点之集为__________.

9、方程20z11z3z50在单位圆内的零点个数为___________.

83ez,1)_________________. 10、Res(2z1三、计算题（30分）

2i1、lim n63271d，其中Cz:z3，试求f(1i). 2、设f(z)Czez3、设f(z)2，求Res(f(z),i).

z14、求函数

nz在1z2内的罗朗展式.

(z1)(z2)5、 求复数wz1的实部与虚部. z16、 利用留数定理计算积分四、证明题（20分）

x2x2dx.

x410x291、方程z9z6z10在单位圆内的根的个数为6.

2、若函数f(z)u(x,y)iv(x,y)在区域D内解析，u(x,y)等于常数，则f(z)在D恒等于常数.

7、 若z0是f(z)的m阶零点，则z0是五、计算题（10分）

求一个单叶函数，去将z平面上的带开区域z:盘w:w1.

7631的m阶极点. f(z)Imz保形映射为w平面的单位圆2

《复变函数》考试试题（十）

一、判断题（40分）：

1、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导.（ ） 2、如果z0是f(z)的本性奇点，则limf(z)一定不存在.（ ）

zz03、若函数f(z)u(x,y)iv(x,y)在D内连续，则u(x,y)与v(x,y)都在D内连续.（ ） 4、cosz与sinz在复平面内有界.（ ）

5、若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点.（ ） 6、若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件，则f(z)在z0解析.（ ） 7、若limf(z)存在且有限，则z0是函数的可去奇点.（ ）

zz08、若f(z)在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有

C f(x)dz0.（ ）

9、若函数f(z)是单连通区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数.（ ） 10、若函数f(z)在区域D内解析，且在D内某个圆内恒为常数，则在区域D内恒等于常数.（ ）

二、填空题（20分）：

1、函数e的周期为_________________. 2、幂级数

znzn0n的和函数为_________________.

3、设f(z)1，则f(z)的定义域为_________________. z214、

nzn0n的收敛半径为_________________.

ez5、Res(n,0)=_________________.

z三、计算题（40分）： 1、

zzdz.

(9z2)(zi)eiz,i). 2、求Res(1z21i1i3、.

224、设u(x,y)ln(xy). 求v(x,y)，使得f(z)u(x,y)iv(x,y)为解析函数，且满足

22nnf(1i)ln2。其中zD（D为复平面内的区域）.

5、求z5z10，在z1内根的个数.

4

《复变函数》考试试题（十一）

一、判断题.（正确者在括号内打√，错误者在括号内打×，每题2分） 1．当复数z0时，其模为零，辐角也为零. （ ）

nn12．若z0是多项式P(z)anzan1za0(an0)的根，则z0也P(z)是的根.（ ）

3．如果函数f(z)为整函数，且存在实数M，使得Ref(z)M，则f(z)为一常数.（ ） 4．设函数f1(z)与f2(z)在区域内D解析，且在D内的一小段弧上相等，则对任意的zD，有f1(z)f2(z). （ ）

5．若z是函数f(z)的可去奇点，则Resf(z)0. （ ）

z二、填空题.（每题2分）

1．iiiii _____________________. 2．设zxiy0，且argz,234562arctany，当x0,y0时，x2y________________. x1223．函数w将z平面上的曲线(x1)y1变成w平面上的曲线______________.

zargarctan4．方程za0(a0)的不同的根为________________. 5．(1i)___________________.

i446．级数

[2(1)n0n]z2的收敛半径为____________________.

7．cosnz在zn（n为正整数）内零点的个数为_____________________. 8．函数f(z)6sinzz(z6)的零点z0的阶数为_____________________. 9．设a为函数f(z)336(z)的一阶极点，且(a)0,(a)0,(a)0，则(z)Reszaf(z)_____________________. f(z)10．设a为函数f(z)的m阶极点，则Reszaf(z)_____________________. f(z)三、计算题（50分）

1ln(x2y2)。求v(x,y)，使得f(z)u(x,y)iv(x,y)为解析函数，且21满足f(1i)ln2.其中zD（D为复平面内的区域）.（15分）

21．设u(x,y)2．求下列函数的奇点，并确定其类型（对于极点要指出它们的阶）.（10分） （1） tanz； （5分） （2）3．计算下列积分.（15分）

2e. （5分） ze11z1z19dz （8分） （1），

z4(z21)4(z42)3 （2）

0d （7分）. 21cos7424．叙述儒歇定理并讨论方程z5zz20在z1内根的个数.（10分） 四、证明题（20分）

1．设f(z)u(x,y)iv(x,y)是上半复平面内的解析函数，证明f(z)是下半复平面内的解析函数.（10分）

2．设函数f(z)在zR内解析，令M(r)maxf(z),(0rR)。证明：M(r)在区

zr间[0,R)上是一个上升函数，且若存在r1及r2（0r1r2R），使M(r1)M(r2)，则

f(z)常数.（10分）

《复变函数》考试试题（十二）

二、判断题。（正确者在括号内打√，错误者在括号内打×，每题2分）

1．设复数z1x1iy1及z2x2iy2，若x1x2或y1y2，则称z1与z2是相等的复数。（ ）

2．函数f(z)Rez在复平面上处处可微。 （ ） 3．sinzcosz1且sinz1,cosz1。 （ ）

4．设函数f(z)是有界区域D内的非常数的解析函数，且在闭域DDD上连续，则存在M0，使得对任意的zD，有f(z)M。 （ ） 5．若函数f(z)是非常的整函数，则f(z)必是有界函数。（ ） 二、填空题。（每题2分）

1．iiiii _____________________。 2．设zxiy0，且argz,23456222arctany，当x0,y0时，x2argarctany________________。 x11)iy(1)，则其关于变量z的表达式为__________。 2222xyxy3．若已知f(z)x(14．nz以z________________为支点。 5．若lnz2i，则z_______________。

6．

z1dz________________。 z2467．级数1zzz的收敛半径为________________。

8．cosnz在zn（n为正整数）内零点的个数为_______________。

9．若za为函数f(z)的一个本质奇点，且在点a的充分小的邻域内不为零，则za是

1的________________奇点。 f(z)10．设a为函数f(z)的n阶极点，则Reszaf(z)_____________________。 f(z)三、计算题（50分）

1．设区域D是沿正实轴割开的z平面，求函数w5z在D内满足条件511的单值

连续解析分支在z1i处之值。 （10分）

2．求下列函数的奇点，并确定其类型（对于极点要指出它们的阶），并求它们留数。（15分） （1）f(z)Lnz的各解析分支在z1各有怎样的孤立奇点，并求这些点的留数 （10分） 2z1ez（2）求Resn1。 （5分）

z0z3．计算下列积分。（15分）

z7dz （8分） （1），

z2(z21)3(z22) （2）

x2dx(x2a2)2(a0) （7分）。

64．叙述儒歇定理并讨论方程z6z100在z1内根的个数。（10分） 四、证明题（20分）

z1．讨论函数f(z)e在复平面上的解析性。 （10分）

2．证明：

1znezdzn2()。 nC2in!n! 此处C是围绕原点的一条简单曲线。（10分）

《复变函数》考试试题（十三）

一、填空题．（每题２分） １．设zr(cosisin)，则

1_____________________． zzz0２．设函数f(z)u(x,y)iv(x,y)，Au0iv0，z0x0iy0，则limf(z)A的充要条件是_______________________．

３．设函数f(z)在单连通区域D内解析，则f(z)在D内沿任意一条简单闭曲线C的积分

Cf(z)dz_________________________．

za４．设za为f(z)的极点，则limf(z)____________________． ５．设f(z)zsinz，则z0是f(z)的________阶零点． ６．设f(z)1，则f(z)在z0的邻域内的泰勒展式为_________________． 21z７．设zazab，其中a,b为正常数，则点z的轨迹曲线是_________________． ８．设zsin6icos6，则z的三角表示为_________________________．

９．

40zcoszdz___________________________．

ez１０．设f(z)2，则f(z)在z0处的留数为________________________．

z二、计算题．

１．计算下列各题．（９分）

(1) cosi； (2) ln(23i); (3) 32．求解方程z80．（７分）

22３．设uxyxy，验证u是调和函数，并求解析函数f(z)uiv，使之

3i

3f(i)1i．（８分）

４．计算积分．（10分）

(1) (2)

C(x2iy)dz，其中C是沿yx2由原点到点z1i的曲线．

[(xy)ix2]dz，积分路径为自原点沿虚线轴到i，再由i沿水平方向向右到1i．

1i0５．试将函数f(z)1分别在圆环域0z1和1z2内展开为洛朗级

(z1)(z2)数．（８分）

６．计算下列积分．（８分）

5z2dz； (2) (1) z2z(z1)2x2dx．７．计算积分（８分）

1x4sin2zz4z2(z1)dz．

８．求下列幂级数的收敛半径．（６分） (1)

nzn1n1(1)nnz． ； (2) n!n1９．讨论f(z)z的可导性和解析性．（６分） 三、证明题．

１．设函数f(z)在区域D内解析，f(z)为常数，证明f(z)必为常数．（５分） ２．试证明azazb0的轨迹是一直线，其中a为复常数，b为实常数．（５分）

2

《复变函数》考试试题（十四）

一、填空题．（每题２分）

１．设zr(cosisin)，则zn___________________．

２．设函数f(z)u(x,y)iv(x,y)，Au0iv0，z0x0iy0，则limf(z)A的充

zz0要条件______________________．

３．设函数f(z)在单连通区域D内解析，则f(z)在D内沿任意一条简单闭曲线C的积分

Cf(z)dz_________________________．

za４．设za为f(z)的可去奇点，limf(z)____________________． ５．设f(z)z2(ez1)，则z0是f(z)的________阶零点． ６．设f(z)21，则f(z)在z0的邻域内的泰勒展式为_________________． 21z７．设zazab，其中a,b为正常数，则点z的轨迹曲线是_________________． ８．设zsinicos，则z的三角表示为_________________________． ９．

1i0zezdz___________________________．

2１０．设f(z)zsin1，则f(z)在z0处的留数为________________________． z二、计算题．

１．计算下列各题．（９分） (1) Ln(34i)； (2) e31i6; (3) (1i)1i

2．求解方程z20．（７分）

３．设u2(x1)y，验证u是调和函数，并求解析函数f(z)uiv，使之f(2)i．（８分） ４．计算积分

1i0[(xy)ix2]dz，其中路径为（１）自原点到点1i的直线段；

(2)自原点沿虚轴到i，再由i沿水平方向向右到1i．（10分）

５．试将函数f(z)1在z1的邻域内的泰勒展开式．（８分）

(z2)６．计算下列积分．（８分） (1)

sinzz2(z)22z22dz． dz； (2) z4z2(z3)７．计算积分

n20d．（６分）

53cos８．求下列幂级数的收敛半径．（６分）

(n!)2n(1) (1i)z； (2) nz．

n1nn1n９．设f(z)mynxyi(xlxy)为复平面上的解析函数，试确定l，m，n的值．（６分）

三、证明题．

１．设函数f(z)在区域D内解析，f(z)在区域D内也解析，证明f(z)必为常数．（５分） ２．试证明azazb0的轨迹是一直线，其中a为复常数，b为实常数．（５分）

3232

试卷一至十四参考答案

《复变函数》考试试题（一）参考答案

一． 判断题

1．×2．√ ３．√ ４．√ ５．√ 6．√ ７．×８．×９．×10．× 二．填空题 1. 2in1 ； 2. 1； 3. 2k，(kz)； 4. zi； 5. 1

0n11； 9. 0； 10. .

(n1)!6. 整函数； 7. ； 8. 三．计算题.

1. 解 因为0z1, 所以0z1

1zn111nz(). f(z)z2n02(z1)(z2)1z2(1)n022. 解 因为

zResf(z)limz22z22lim11, coszzsinzz2Resf(z)limz2z22lim11. coszzsinz所以

1sf(z)Resf(z)0. z2coszdz2i(Rezz2223. 解 令()371, 则它在z平面解析, 由柯西公式有在z3内,

f(z)()czdz2i(z).

所以f(1i)2i(z)z1i2i(136i)2(613i). 4. 解 令zabi, 则 wz122(a1bi)2(a1)2b111. 222222z1z1(a1)b(a1)b(a1)bz12(a1)z12b)1Im(), . z1(a1)2b2z1(a1)2b2 故 Re(四. 证明题.

1. 证明 设在D内f(z)C.

令f(z)uiv,则f(z)uvc.

2222uuxvvx0(1) 两边分别对x,y求偏导数, 得 

uuvv0(2)yy因为函数在D内解析, 所以uxvy,uyvx. 代入 (2) 则上述方程组变为

uuxvvx022. 消去ux得, (uv)vx0. vuxuvx01) 若uv0, 则 f(z)0 为常数.

2) 若vx0, 由方程 (1) (2) 及 C.R.方程有ux0, uy0, vy0. 所以uc1,vc2. (c1,c2为常数). 所以f(z)c1ic2为常数. 2. 证明f(z)22z(1z)的支点为z0,1. 于是割去线段0Rez1的z平面内变点就

不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.

由于当z从支割线上岸一点出发,连续变动到z0,1 时, 只有z的幅角增加. 所以

f(z)z(1z)的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分2i支在上岸之幅角为0, 因而此分支在z1的幅角为, 故f(1)2e22i.

2

《复变函数》考试试题（二）参考答案

一. 判断题.

1．√ ２．×３．√ ４．√ ５．×6．×７．×８．√ ９．×10．×. 二. 填空题

1.1，， i； 2. 3(1sin2)2in12i； 3.

； 4. 1；0n16. 2ki，(kz). 7. 0； 8. i； 9. R；三. 计算题

(1)n(2z3)2n1(1)n22n1z6n31. 解 sin(2z3)n0(2n1)!.

n0(2n1)!2. 解 令zrei. 2k 则f(z)zrei2,(k0,1).

又因为在正实轴去正实值，所以k0.

i 所以f(i)e4.

3. 单位圆的右半圆周为zei, 22.

 所以i2ii2izdzdee2i.

224. 解

sinzz2(zdz22i(sinz)2)z2icosz2z2=0.

四. 证明题.

1. 证明 (必要性) 令f(z)c1ic2,则f(z)c1ic2. (c1,c2为实常数). 令u(x,y)c1,v(x,y)c2. 则uxvyuyvx0. 即u,v满足C.R., 且ux,vy,uy,vx连续, 故f(z)在D内解析. (充分性) 令f(z)uiv, 则 f(z)uiv, 因为f(z)与f(z)在D内解析, 所以

5. m1. 10. 0. uxvy,uyvx, 且ux(v)yvy,uy(vx)vx.

比较等式两边得 uxvyuyvx0. 从而在D内u,v均为常数,故f(z)在D内为常数.

nn12. 即要证“任一 n 次方程 a0za1zan1zan0(a00) 有且只有 n个

根”.

a1an 证明 令f(z)a0za1zan1zan0, 取Rmax,1, 当z

a0在C:zR上时, 有 (z)a1Rn1an1Ran(a1an)Rn1a0Rn.

nn1 f(z).

nn1n由儒歇定理知在圆 zR 内, 方程a0za1zan1zan0 与 a0z0 有相

n同个数的根. 而 a0z0 在 zR 内有一个 n 重根 z0. 因此n次方程在zR

内有n 个根.

《复变函数》考试试题（三）参考答案

一. 判断题

1．× ２．×３．√ ４．√ ５．√6．√７． √ ８．√ ９．√ 10．√. 二.填空题.

2in1(kz); 3. ; 4. 1; 5. ; 1ei0n116. 1; 7. i; 8. z(2k1)i; 9. ; 10. .

(n1)!1.zzi,且zC; 2. 2ki三. 计算题.

11zn2)1. 解 zez(1. 2z2!zn0n!221zcnn!(n1)n1n1n12. 解 limlimnlim()lim(1)ne.

ncnnnn(n1)!nnn1 所以收敛半径为e.

ezez13. 解 令 f(z)22, 则 Resf(z)2.

z0z(z9)z9z092i.

z099624. 解 令 f(z)z2zz2, (z)8z.

则在C: z1上f(z)与(z)均解析, 且f(z)6(z)8, 故由儒歇定理有

故原式2iResf(z) N(f,C)N(f,C)1. 即在 z1 内, 方程只有一个根. 四. 证明题.

1. 证明 证明 设在D内f(z)C. 令f(z)uiv,则f(z)uvc.

2222uuxvvx0(1) 两边分别对x,y求偏导数, 得 

uuvv0(2)yy因为函数在D内解析, 所以uxvy,uyvx. 代入 (2) 则上述方程组变为

uuxvvx022. 消去ux得, (uv)vx0. vuxuvx01) uv0, 则 f(z)0 为常数.

2) 若vx0, 由方程 (1) (2) 及 C.R.方程有ux0, uy0, vy0. 所以uc1,vc2. (c1,c2为常数). 所以f(z)c1ic2为常数.

2. 证明 取 rR, 则对一切正整数 kn 时, f 于是由r的任意性知对一切kn均有f 故f(z)(k)22(k)k!(0)2zrf(z)k!Mrndz. zk1rk(0)0.

czk0nnn, 即f(z)是一个至多n次多项式或常数.

《复变函数》考试试题（四）参考答案

一. 判断题.

1．√ ２．× ３．× ４．× ５．× 6．√ ７．×８．× ９．√10．√ . 二. 填空题.

111. , ; 2. ; 3. 2ki22(kz); 4.

(1)zn0n2n(z1); 5. 整函数;

6. 亚纯函数; 7. 0; 8. z0; 9. ; 10. 三. 计算题. 1.

1.

(n1)!解:z31zcos2k2kisin3313z1cosisini3322z2cosisin1z3cosk0,1,25513isini3322ezeeze1, Resf(z)2. 解 Resf(z).

z1z1z12z1z1z12 故原式2i(Resf(z)Resf(z))i(ee).

z1z11

3. 解 原式2iResf(z)2iziz9z2zi5.

z11ze1zzzz(e1)0，得z0,z2ki，k1,2, z(e1)ze14. 解 =，令

11zez11ezlim(z)limzlimzz0e1z0z(e1)zz0e1zez 而

ez1limzz0eezzez2 z0为可去奇点

z(k0),ze10 z2ki 当时，

(ez1)z 而

四. 证明题.

z2kiez1zezz2ki0 z2ki为一阶极点.

1. 证明 设F(z)f(z), 在下半平面内任取一点z0, z是下半平面内异于z0的点, 考虑 limzz0F(z)F(z0)f(z)f(z0)f(z)f(z0). limlimzzzz00zz0zz0zz0而z0, z在上半平面内, 已知f(z)在上半平面解析, 因此F(z0)f(z0), 从而

F(z)f(z)在下半平面内解析.

2. 证明 令f(z)6z3, (z)z, 则f(z)与(z)在全平面解析, 且在C1:z2上, f(z)15在C2:z1上, f(z)34(z)16,

故在z2内N(f,C1)N(,C1)4.

(z)1,

故在z1内N(f,C2)N(f,C2)1.

所以f在1z2内仅有三个零点, 即原方程在1z2内仅有三个根.

《复变函数》考试试题（五）参考答案

一. 判断题.

1．√２．√ ３．×４．√５．× 6．× ７．× ８．√ ９．√ 10．√. 二. 填空题.

(kz,a为任意实数); , 13i; 2. a2ki3 3. (2k1)i, (kz); 4. 2ki,(kz); 5. 0; 6. 0;

2in1n2n(z1); 9. 0; 10.  7. 亚纯函数; 8. (1)z.

0n1n01.2, 三. 计算题.

1. 解 令zabi, 则 wz122(a1bi)2(a1)2b111. 222222z1z1(a1)b(a1)b(a1)bz12(a1)z12b)1Im(), . 2222z1(a1)bz1(a1)b0t1, 2. 解 连接原点及1i的直线段的参数方程为 z(1i)t111i 故RezdzRe[(1i)t](1i)dt(1i)tdt.

c002dzi3. 令ze, 则d. 当a0时

iz(za)(1az), 12acosa21a(zz1)a2z1dz1故I, 且在圆z1内f(z)只以za为一级极点,

iz1(za)(1az)(za)(1az)11,(0a1), 由残数定理有 在z1上无奇点, 故Resf(z)2za1azza1a12I2iResf(z),(0a1). 2zai1a4. 解 令f(z)z, 则f(z),(z)在z1内解析, 且在C:z1上, (z)1f(z),

故 Re(所以在z1内, N(f,C)N(f,C)1, 即原方程在 z1内只有一个根. 四. 证明题.

221. 证明 因为u(x,y)xy,v(x,y)0, 故ux2x,uy2y,vxvy0.

这四个偏导数在z平面上处处连续, 但只在z0处满足C.R.条件, 故f(z)只在除了

z0外处处不可微.

2. 证明 取 rR, 则对一切正整数 kn 时, f 于是由r的任意性知对一切kn均有f 故f(z)

(k)k!(0)2zrf(z)k!Mrndz. k1kzr(k)(0)0.

czk0nnn, 即f(z)是一个至多n次多项式或常数.

《复变函数》考试试题（六）参考答案

一、判断题：1.√ 2.× 3.√ 4.√ 5.√ 6.√ 7.× 8.√ 9.√ 10.×

二、填空题：1. 1ei 2. z1 3. 2 4. 1 6. m1阶 7. 整函数 8. 9. 0 三、计算题： 1. 解：因为

2i619136561, 故lim(2in6)n0. 2. 解：

1i23,

f(z)1f()2iCzd 3271Czd. 因此 f()2i(3271) 故f(z)2i(3z27z1)

f(1i)2i(6z7)1i2i(136i)2(613i).

ez3.解：z21ez112(zizi)

Res(f(z),i)ei2.

4.解：sinz3(1)n(z3)2n1n0(2n1)!, sinz3(1)n z6z6n3. n0(2n1)! 5. 1

10. 欧拉公式 z1x1iy(x2y21)2yi5．解：设zxiy, 则w. z1z1iy(x1)2y2x2y21, Rew22(x1)y6．解：ei3Imw2y. 22(x1)y1cos()isin()(13i).

332四、1. 证明：设f(z)9z6,则在z1上，f(z)9,(z)z76z31,

(z)1618, 即有f(z)(z).

根据儒歇定理，f(z)与f(z)(z)在单位圆内有相同个数的零点，而f(z)的零点个数为6，故z9z6z10在单位圆内的根的个数为6.

2.证明：设v(x,y)abi，则vxvy0, 由于f(z)uiv在内D解析，因此

763(x,y)D有 uxvy0, uyvx0.

于是u(x,y)cdi故f(z)(ac)(bd)i，即f(z)在内D恒为常数. 3.证明：由于z0是f(z)的m阶零点，从而可设

m f(z)(zz0)g(z)，

其中g(z)在z0的某邻域内解析且g(z0)0，

于是

111 f(z)(zz0)mg(z)由g(z0)0可知存在z0的某邻域D1，在D1内恒有g(z)0，因此

1在内D1解析，故g(z)z0为

1的m阶极点. f(z)

《复变函数》考试试题（七）参考答案

一、判断题：1.√ 2. √ 3. × 4.√ 5.√ 6.√ 7. √ 8. × 二、填空题：1. ei 2. z1 3. 2i 4. 1 5. 1 6. m1阶 7. 整函数 8. 三、计算题： 1. 解：( 9. 0 10.

1

(n1)!1i21i2)()ii0. 222. 解：

1i23,

1f()d

2iCz f(z)3271d. Cz 因此 f()2i(371) 故f(z)2i(3z7z1)

f(1i)2i(6z7)1i2i(136i)2(613i).

22znezn!1113. 解：2n022zzzz2,

因此Res(f(z),0)1. 4. 解：

z1211 1z(z1)(z2)z1z2z(1)1z211,zz1. 2 由于1z2，从而

因此在1z2内

z11nzn1z()()[()n1()n]. 有

(z1)(z2)zn0zz2n02n0

z1x1iy(x2y21)2yi5．解：设zxiy, 则w. 22z1z1iy(x1)yx2y21, Rew(x1)2y26.解：设ze，则diImw2y.

(x1)2y220dz11,cos(z)， iz2zddz22idz 2z1z11acosiz2azz2az1za1，故奇点为z0a21a

20d14Resf(z)42acoszz02a12a21.

四、证明题：

1. 证明：设f(z)24z,g(z)9z6zz1, 则在z1上，f(z)24,7632g(z)961117, 即有f(z)g(z).

根据儒歇定理知在z1内f(z)与f(z)g(z)在单位圆内有相同个数的零点，而在z1内f(z)的零点个数为7，故24z9z6zz10在单位圆内的根的个数为7.

2.证明：设f(z)uvc，则

227632

2uux2vvx0,2uuy2vvy0.

已知f(z)在区域D内解析，从而有uxvy,将此代入上上述两式得

uyvx

uuxvuy0,uuyvux0.

因此有 ux0,uy0, 于是有vx0,vy0. 即有 uc1,vc2,故f(z)在区域D恒为常数.

3.证明：由于z0是f(z)的m阶零点，从而可设

m f(z)(zz0)g(z)，

f(z)c1ic2

其中g(z)在z0的某邻域内解析且g(z0)0，

于是

111 mf(z)(zz0)g(z)由g(z0)0可知存在z0的某邻域D1，在D1内恒有g(z)0，因此

1在内D1解析，故g(z)z0为

1的m阶极点. f(z)五、计算题

解：根据线性变换的保对称点性知i关于实轴的对称点i应该变到w0关于圆周的对称点w，故可设wk

zi zi

《复变函数》考试试题（八）参考答案

一、判断题：1.√ 2. × 3. √ 4. × 5.√ 6.√ 7. √ 8. × 9. √ 10.× 二、填空题：1. 1ei 2. z0， 3. 2 4.  5. 1

0,n1 6. (iz) 7.  8.

k=02i,n12k 9. 5 10. z1

三、计算题： 1. 解：由于e所以

z1sinz在z1解析，

z1ez1sinzdz0

1dz1dz11(z4)而 z3z32i(z1)(z4)2i(z1)3因此

z1ez1sinzdz1dz1.

2iz3(z1)(z4)32. 解：

1i23,

1f()d C2iz f(z)3271d. Cz 因此 f()2i(371) 故f(z)2i(3z7z1)

f(1i)2i(6z7)1i2i(136i)2(613i).

22ezez11() 3. 解：f(z)2z12z1z1e Res(f(z),1),2e1Res(f(z),1),

2ee1e1e). 因此 Res(f(z),)(2224.解：

z101111z1211111z121 2(z1)(z22)z1z22z11z212zz11,z21 2z由于2z，从而

因此在2z内有

z10111n11z122n12(n1)nn1()()()[2(11z12)11z] 222(z1)(z2)zn0zzn0zn0zz1x1iy(x2y21)2yi5．解：设zxiy, 则w. z1z1iy(x1)2y2x2y21, Rew22(x1)yixixImw2y. 22(x1)y6．解：设ze, 则dziedxizdx

11(z) 2izdx12dx02sin2x202sin2x 112izdz  2dz2z1z12izz4iz1z4iz11在z1内2只有z(32)i一个一级极点

z4iz1sinxRes[f(z),(32)i]i23

因此 四、证明：

0dxi2i. 2sin2x2331. 证明：设f(z)15z,g(z)5zz6z1, 则在z1上，f(z)15,7653g(z)13, 即有f(z)g(z).

根据儒歇定理知在z1内f(z)与f(z)g(z)在单位圆内有相同个数的零点，而在z1内f(z)的零点个数为7，故15z5zz6z10在单位圆内的根的个数为7 2. 证明：因为f(z)u(x,y)iv(x,y)，在D内连续, 所以(x0,y0)D,

76530,0.

当xx0,yy0时有

f(x,y)f(x0,y0)u(x,y)u(x0,y0)i[v(x,y)v(x0,y0)]

{[u(x,y)u(x0,y0)][v(x,y)v(x0,y0)]}, 从而有u(x,y)u(x0,y0), v(x,y)v(x0,y0).

即与在连续，由(x0,y0)D的任意性知u(x,y)与v(x,y)都在D内连续 3.证明：由于z0是f(z)的m阶零点，从而可设

m f(z)(zz0)g(z)，

2122其中g(z)在z0的某邻域内解析且g(z0)0，

于是

111 mf(z)(zz0)g(z)由g(z0)0可知存在z0的某邻域D1，在D1内恒有g(z)0，因此

1在内D1解析，故g(z)z0为

1的m阶极点. f(z)54五、解：1.设z，则将区域{z:0argz4}保形映射为区域{z:0arg} 52.设weii, 则w将上半平面保形变换为单位圆w1. i因此所求的单叶函数为

weizizi5454.

《复变函数》考试试题（九）参考答案

一、判断题（20分）

1、× 2、× 3、√ 4、√ 5、√ 6、√ 7、√ 8、√ 9、× 10、√

二、填空题（20分） 1、ezi 2、zk,k0,1,2,三、计算题（30）

3、2 4、1 5、1

6、m1 7、整函数 8、c 9、8 10、e

1、解：

2i52in1,lim()0.

n6662、解：1i23,

f(z)1f()d

2iCz3271d. Cz 因此 f()2i(371) 故f(z)2i(3z7z1)

f(1i)2i(6z7)1i2i(136i)2(613i).

223、解：

ezezf(z)2.z1(zi)(zi)Res(f(z),i)4、解：

ieie,Res(f(z),i).22ii

z1211 1z(z1)(z2)z1z2z(1)1z211,zz1. 2 由于1z2，从而 因此在1z2内

z11nzn1z()()[()n1()n]. 有

(z1)(z2)zn0zz2n02n0z1x1iy(x2y21)2yi5、解：设zxiy, 则w. 22z1z1iy(x1)yx2y21, Rew(x1)2y2Imw2y.

(x1)2y2z2z2,则f(z)在Imz0内有两个一级极点z13i,z2i， 6、解：设f(z)42z10z9Res(f(z),3i)37i1i,Res(f(z),i), 4816因此，根据留数定理有

z2z237i1idz2i().

z410z2948166四、证明题（20分） 1、证明：设f(z)9z6,则在z1上，f(z)9,(z)z76z31,

(z)1618, 即有f(z)(z).

根据儒歇定理，f(z)与f(z)(z)在单位圆内有相同个数的零点，而f(z)的零点个数为6，故z9z6z10在单位圆内的根的个数为6.

2、证明：设u(x,y)abi，则uxuy0, 由于f(z)uiv在内D解析，因此

763(x,y)D有 uxvy0, uyvx0.

于是v(x,y)cdi故f(z)(ac)(bd)i，即f(z)在内D恒为常数. 3、证明：由于z0是f(z)的m阶零点，从而可设

m f(z)(zz0)g(z)，

其中g(z)在z0的某邻域内解析且g(z0)0，

于是

111 mf(z)(zz0)g(z)由g(z0)0可知存在z0的某邻域D1，在D1内恒有g(z)0，因此

1在内D1解析，故g(z)z0为

1的m阶极点. f(z)五、计算题（10分）

解：1、设z2i,则将区域{z:Imz}保形变换为区域{:0Imz}. 222、设te,则t将区域{:0Imz2}保形变换为区域D{t:0argt}.

223、设st,则s将D保形变换为上半平面,因此,所求的单叶函数为

222zsiiiitiieiewee2e2e2z. sitieieii

《复变函数》考试试题（十）参考答案

一、判断题（40分）：

1.√ 2. √ 3.√ 4. × 5. √ 6. × 7. √ 8. √ 9. √ 10. √ 二、填空题（20分）： 1. 2i 2.

z1 3. 4. 5. zi12(n1)!(1z)三、计算题（40分） 1. 解：f(z)z在z2上解析，由cauchy积分公式，有 29zziz2z29z2idzdz z2ziz2(9z2)(zi)9z2eiieizRes(f,i)e 2. 解：设f(z)，有

2i21z225

nn1i1i3. 解：(cosisin)(cosisin) 444422 cos4. 解：

nnnnnnn isincosisin2cos44444u2xu2y2， xxy2yx2y2(x,y)v(x,y) (0,0)uydxuxdyc(x,y)(0,0)2y2xdxdyc 2222xyxyy02xydyc2arctanc

x2y2xf(1i)u(1,1)iv(1,1)ln2i(2arctan1c)ln2

故c2，v(x,y)2arctany x245. 解：令f(x)5z，g(z)z1 则f(x)，g(z)在z1内均解析，且当z1时

f(z)5z41z41g(z)

由Rouche定理知z5z10根的个数与5z0根的个数相同. 故z5z10在z1内仅有一个根.

44《复变函数》考试试题（十一）参考答案

一、1．× 2．√ ３．× ４．√ ５．√ 二、1． 1 2． ３．u11 ４．u 222k2k５．zk4a(cosisin)(k0,1,2,3)

442n211 ８．15 ６． ７．39.

(a) 10. m (a)ux2,2xxyuy2 2yxy三、1．解：

v(x,y) (x,y)(0,0)uydxuxdyC

yxdxdyC

x2y2x2y2(x,y)(0,0) y0xydyCarctanC. 22xyx又 f(1i)u(1,1)iv(1,1)

故C4,11ln2i(arctan1C)ln2. 22yv(x,y)arctan.

x42sin2z12.解: (1) tanz奇点为z(2k),cos2z2k0,1对任意整数k,

1z(2k)为二阶极点, z为本性奇点.

2 (2) 奇点为z01,zk2ki,(k0,1)

z1为本性奇点,对任意整数k,zk为一级极点,z为本性奇点.

z193. (1)解: f(z)2共有六个有限奇点, 且均在内C:z4,

(z1)4(z42)3由留数定理,有

z4f(z)dz2i[Res(f,)]

将f在z的去心邻域内作Laurent展开

f(z)z1912z(12)4z12(14)3zz8

11z(11)4(12)3z2z414106z4 (124)(148zzzzz143zz所以Res(f,)C11

)

z4f(z)dz2i.

(2)解: 令ze,则

iI 0d12d 1cos2201cos214zdz

2C:z1i(z46z21)4zdz2du,故 422i(z6z1)i(u6u1)再令zu则

212du2duI2

2C:z1i(u26u1)iCu26u1由留数定理,有

21I2iRes(f,38)4 i4224.解：儒歇定理：设c为一条围线，若函数f与均在c内部及c上解析且

(z)f(z)，zc，则f(z)(z)与f(z)在c内部的零点个数相同.

4令f(z)5z, g(z)zz2则f(z),g(z)在z1内解析且

72当z1时 f(z)5zz2zz2g(z), 由儒歇定理z5zz20的根个数与5z0根个数相同

74247272故z5zz20在z1内有4个根. 四、1.证明: f(z)u(x,y)iv(x,y)u*iv*

742u*u(x,y),uxux,**v*v(x,y)vxvx,*uyuy,vyvy*

由f(z)u(x,y)iv(x,y)在上半平面内解析,从而有

uxvy,uyvx.

因此有ux*vy*,uy*vx*

故f(z)在下半平面内解析. 2.证明: (1) r1r2,0r1r2R则

zr1zr1 M(r1)maxf(z)maxf(z) M(r2)maxf(z)maxf(z)

zr2zr2故M(r2)M(r1),即M(r)在[0,R)上为r的上升函数. (2)如果存在r1及r2(0r1r2R)使得M(r1)M(r2) 则有 maxf(z)maxf(z)

zr2zr1于是在r1zr2内f(z)恒为常数,从而在zR内f(z)恒为常数.

《复变函数》考试试题（十二）参考答案

一、判断题.

1. × 2. × 3. × 4. √ 5. × 二、填空题.

1. 1 2. () 3. f(z)z1 4. 0, z2n25. i 6. 2 7. 1 8. 9.本性 10.  三、计算题. 1.解：wkze51

15argz2ki5 k0,1,2,3,4

2k5i 由11 得1e 从而有k2

w2(1i)2e

2.解：（1）f(z)110445i2(cos110331iisin)5 444Lnzlnz2k的各解析分支为，(k0,1,). f(z)kz21z21)。

z1为f0(z)的可去奇点，为fk(z)的一阶极点(k0,1,Res(f0(z),1)0 Res(fk(z),1)ki. (k1,2,)

1zn1ez（2）Resn1Resn1

z0zz0zn!n!n03.计算下列积分

z71解：（1）f(z)2

(z1)3(z22)z(11)3(12)z2z2Res(f,)C11

z2f(z)dz2i[Res(f,)]2i

z2z2（2）设f(z)2

(za2)2(zai)2(zai)2z22aiz(z)令(z)， 23(zai)(zai)则Res(f,ai)(ai)1!2(ai2)1i (2ai)34a

Imz0f(z)dz2iRes(f,ai)2a

x2dx

(x2a2)22a4.儒歇定理：设c是一条围线，f(z)及(z)满足条件： （1）它们在c的内部均解析，且连续到c； （2）在c上，f(z)(z)

则f与f在c的内部有同样多零点，

即f(z)10 g(z)z6z有 f(z)g(z) 由儒歇定理知z6z100在z1没有根。 四、证明题

zx1证明：.设zxiy 有 f(z)ee(cosyisiny)

66u(x,y)excosy,v(x,y)exsiny

uexcosy,xuexsiny,yvexsiny,xvexcosy y易知u(x,y)，v(x,y)在任意点都不满足CR条件，故f在复平面上处处不解析。

z(n)2.证明：于高阶导数公式得 (e)0n!ezd 12in1n!ezd 即z2i1n1nzz1e1znezd 从而d 故1C:1n!n1n!2in1n!2inzn2

《复变函数》考试试题（十三）参考答案

一、填空题．（每题２分） 1.

1iu(x,y)u0及limv(x,y)v0 3. 0 4.  e 2. limxxoxxoryyoyyo246n2n5. 2 6. 1zzz(1)z 7.椭圆

8. 21(1)1 10. 1 (12i) 9. 242二、计算题．

１．计算下列各题．（９分） 解: (1) cosi1(ee1) 2(2) ln(23i)ln23iiarg(23i) (3) 33i13ln13i(arctan) 22e(3i)ln3e(3i)(ln3i2k)e3ln32ki(6kln3)

2k 27e3[cos(ln3)isin(ln3)]

32. 解: z80z88e2e3ii2k3 (k0,1,2)

3 故z80共有三个根: z013, z12, z213

3. 解: uxyxyux2xy,uy2yx

222u2u22220u是调和函数. xy v(x,y) (x,y)(0,0)(uy)dxuxdycy0(x,y)(0,0)(2yx)dx(2xy)dyc

x0(x)dx(2xy)dyc

x2y22xyc 22x2y212xy) f(z)uiv(xyxy)i(22222 4. 解 (1) (2)

11(2i)z2i 221152222(xiy)dz(xix)d(xix)i c0661i0[(xy)ix2]dzi(y)dy[(x1)ix2]dx

0011 ii11(3i) 2326n1111z5. 解: 0z1时f(z)()zn

(z1)(z2)z2z12no2n0 (1n01zn1)zn

1z2时f(z)11111 (z1)(z2)z2z12(1z)z(11)2zzn1n no2n1n0z6. 解: (1)

5z2cz2z(z1)2dz2i[Res(f,)]4i

sin2zdz2i[Res(f,)]0 (2) z4z2(z1)2z22z(1i)z(1i)为上半平面内的两个一级极点,7.解: 设f(z) 和124221z且Res[f(z),z1]limzz1z2[z2(1i)](z2i)2z21i 42i Res[f(z),z2]limzz2[z2(1i)](z2i)21i 42ix21i1idx2i() 1x4242i42i8. (1) R1 (2) R

229. 解: 设zxiy,则f(z)zxy ux2x,uy2y,vxvy0

2当且仅当xy0时,满足CR条件,故f(z)仅在z0可导,在z平面内处处不解析.

三、

1. 证明: 设fuiv,因为f(z)为常数,不妨设uvC (C为常数) 则uuxvvy0 uuyvvy0

由于f(z)在D内解析,从而有uxvy, uyvx 将此代入上述两式可得uxuyvxvy0 于是uC1,vC2 因此f(z)在D内为常数. 2. 解: 设zxiy, aABi （A，B为实常数）

则az(ABi)(xiy)(AxBy)i(AyBx)

22azazbazazb02(AxBy)b0

故azazb0的轨迹是直线2Ax2By)b0

《复变函数》考试试题（十四）参考答案

一、

1、 rncosnisinn 2、

limux,yu且limvx,yv0xx0yy0xx0yy00

3、0 4、有限值 5、4 6、1z2z47、椭圆 8、cos二、计算题。

1、解（1）ln34i

z2n

1isin 9、ie1i 10、

6224ln5iargtan2n3

4ln5iargtan2n1n0,1,2,3 （2）ie1

i6113icosisin e66e22 （3）1i1ie1iln1ie1iln2i2k4eln22ki2kln244

=2e42kcosln2isinln2 4432、解：z22e z33i2ei2n3n0,1,2

3 故：方程z20共有三个根，分别为：3、解：ux2y,uy2x1

213i,32 22u2u02 x2y故u是调和函数。

x,yvx,y4. 解: (1)

0,0uydxuxdyc

11i022(xy)ixdzix0d(xix) x311i1 i(1i)303 (2)

1i012(xy)ixdzi1 3n111z15. 解: fz z23n03nz1313 = 6. 解: (1)

n0z13n1n

z22dz2icos(2)0

(z)2)

sinzz2213 (2) fz2(1zz3zz Res(f,)C11

z4fzdz2iRes(f,)2i

iz21dz7. 解: 设ze 则d, sin

2iziz

20d53sin22dzz13z210iz32z1i3(z3i)(z)3dz

令fzi,则f在z1内只有一级权点, z,依离数定理有 i33(z3i)(z)3

20dii2iResfz,2i

53sin3428. 解: (1) 1iz1 即 z11. 故R

22(n!)2 (2) Cn

nn Rlimncn11lim10 cn1nnn13232n9.解 设u(x,y)mynxy,v(x,y)xlxy, 则

uu2nxy,3my2nx2, xy2nxy2lxyvv3x2ly2,2lxy,因f(z)解析,由CR条件有,解得2222xy3mynx3xlyl3,m1,n3.

三 1. 证明 设fuiv,由fH(D) 有

uvuv,,(1) xyyx又f(z)uiv也在D也解析,有

u(v)u(v),,(2) xyyx由(1)与(2)得

uuvv0 xyyx故f在D内为常数.

2. 证明,设zxiy,aAiB,有az(AiB)(xiy)(AxBy)i(AyBx)

azazbazazb2(AxBy)b0

即点z在直线2Ax2Byb0上A,B,b为实常数.