研究与分析 ２０１２年第５期（总第１２１期）・机械研究与应用・ 闭环伺服系统的数学建模和性能分析 金凤呜 （沈阳航空航天大学，辽宁沈阳１１００３４） 摘要：在数控机床中，伺服系统是数控机床装置和机床的中间连接环节，是数控系统的重要组成部分。伺服系统接 受来自伺服控制器的进给脉冲，经变换和放大转换为机床工作台的位移，使工作台跟随指令脉冲移动。讨论 了闭环伺服数控系统的数学模型，对闭环伺服系统的动态、静态性能进行了详细的分析，该研究结果为提高 数控加工的控制精度提供了理论基础。 关键词：数控机床；闭环伺服系统；数学模型；动态性能；静态性能 中图分类号：ＴＭ９２１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００７—４４１４（２０１２）０５—００３０—０３ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｍｏｄｅｌｉｎｇ ａｎｄ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｌｏｓｅ－ｌｏｏｐ ｓｅｒｖｏ ｓｙｓｔｅｍ Ｊｉｎ Ｆｅｎｇ——ｕｉｒｎｇ （Ｓｈｅｎｙａｎｇ ａｅｒｏｓｐａｃｅ ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈｅｎｙａｎｇ Ｌｉａｏｎｉｎｇ １１００３４，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｓｅｒｖｏ ｓｙｓｔｅｍ ｉｓ ａｎ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｐａｒｔ ｉｎ ＮＣ ｓｙｓｔｅｍｓ，ｗｈｉｃｈ ｃｏｎｎｅｃｔｓ ｔｈｅ ＮＣ ｍａｃｈｉｎｅ ｔｏｏｌ ａｎｄ ｉｔｓ ｎｕｍｂｅｒ ｃｅｎｔｅｒ．Ｉｔ ｒｅ— ｃｅｉｖｅｓ ａｃｔｉｏｎ ｐｕｌｓｅｓ ｆｒｏｍ ｓｅｒｖｏ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ，ｗｈｉｃｈ ａｒｅ ａｍｐｌｉｉｅｄ ａｎｄ ｃｏｎｖｅｎｅｄ ｔｏ ｄｒｉｆｖｅ ｓｅｒｖｏ ａｃｔｕａｔｏ￣．Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｍａｔｈｅｍａｔｉ— ｃａｌ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｔｈｅ ＮＣ ｓｙｓｔｅｍ ｉｓ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｔｈｅ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅｓ ａｎｄ ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｆ ｄｙｎａｍｉｃ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ａｎｄ ｓｔａｔｉｃ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｌｏｓｅ—ｌｏｏｐ ｓｅｒｖｏ ｓｙｓｔｅｍ ａｒｅ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ａｎｄ ｒｅｓｅａｒｃｈｅｄ．Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｃｏｕｌｄ ｐｒｏｖｉｄｅ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ｂａｓｉｓ ｆｏｒ ｍａｃｈｉｎｅ ｔｏｏ１． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ＮＣ ｍａｃｈｉｎｅ ｔｏｏｌ；ｃｌｏｓｅ－ｌｏｏｐ ｓｅｒｖｏ ｓｙｓｔｅｍ；ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ １ 引 言 伺服系统对自动化、自动控制、电气技术、电力系 统及自动化、机电一体化、电机电器与控制等专业既 是一门基础课，又是一门专业技术，因为它不仅分析 各种基本的变换电路，而且结合生产实际，解决各种 （１）位置控制器相当于一个比例环节，其比例系 数为Ｋ 。 （２）位置控制器的输出是数字量，必须经过Ｄ／Ａ 转换之后才能控制调速单元，Ｄ／Ａ转换也相当于 个比例环节，其比例系数为Ｋ 。 （３）交流伺服系统是系统中的驱动装置，在理想 情况下，伺服电机的转角与指令脉冲频率之问成积分 关系，其传递函数为： Ｇｏ㈠＝ ： 复杂定位控制问题，如机器人控制、数控机床等 １－２］。 对线性控制系统的数学描述，实际上是建立系统 中各个环节的传递函数，然后求出整个系统的传递函 数。这里应用控制系统的分析方法来讨论由交流伺 服电机驱动并采用直线位移监测器作为位置检测元 件的闭环伺服系统的动态、静态性能指标 Ｊ。 若考虑系统中存在的惯性特性，可将其传递函数 表示为： １ ２ 闭环伺服系统的组成环节及其数学模型 这里以交流伺服电机驱动并采用直线位移监测 Ｇｏ（ｓ）＝ Ｓ× 器作为位置检测元件的闭环伺服系统为例进行讨论， 系统原理图如图１所示。 ｏ，Ａ —叫Ｈ佰ｌＲＩ６ 动 —一ｒ＿１ ｌ Ｉ １ ］ 式中： 为惯性环节的时间常数。 （４）机械传动部件的作用是将电机转角转换为 工作台的直线位移，如果将传动误差和非线性因素的 影响作为对系统的动态扰动来处理，也可将该环节看 丝杠 伺服电机ＬＪ ： 作一个比例环节，传递函数Ｇ （ｓ）：Ｋ 。 （５）检测环节在闭环控制中起两个作用：①检测 被测信号的大小；②将被测信号转换成为可与指令信 号进行比较的物理量，从而构成反馈通道。通常测量 转换作用可看成一个比例环节，其比例系数就是转换 系数，所以传递函数为Ｋ．。 图１ 闭环伺服系统的组成 该系统的各组成环节的数学模型分析如下： 收稿日期：２０１２—０８—２０ 作者简介：金风呜（１９７８一），男，辽宁沈阳人，讲师，硕士，主要从事数控技术方面的研究工作。 ・３０・ ・机械研究与应用・２０１２年第５期（总第１２１期） 研究与分析 将各个传递函数带入图１可得出系统的动态结 Ｇ 的，其对斜坡输入信号的响应，如图４所示。 构图，如图２所示。 ｌＪ 位蓝控制器Ｄ／Ａ转换嚣 交流伺服系统机械传动部件 一 ｖｌｓ— Ｇ ，一 ×～一 一一＋： ２ 图２全闭环数控车床系统的动态结构图 所以闭环伺服系统前向通道的传递函数： Ｇ ，＝ ㈩ 系统闭环传递函数： 举 ＝（ １＿ ２ ）÷（ ＋２ ｓ＋ ：） （２） “ｊ 由此可见，闭环伺服系统是一个典型的二阶系 统，其中无阻尼固有角频率： √一— ｜Ｋ ＫａＫｅＫｍＫ 系统的阻尼比： ：——二二二 ＝一 ２１／ＫｐＫ．ＫｏＫ￣．ＫｊＴｏ ３动态性能分析 由式（２）可知，就数学模型而言，闭环伺服系统 是一个典型的二阶系统，阻尼比 是描述系统动态性 能的重要参数。下面对分欠阻尼（０＜ ＜１），临界阻尼 （ ＝１）和过阻尼（ １）三种情况进行分析。 （１）欠阻尼若０＜ ＜１，就称系统欠阻尼。在这 种情况下，闭环伺服系统的传递函数有一对共轭复数 点，传递函数可以写成： Ｇｂ（ 苷 ㈩ 式中： ＝ＣＯ ，／１一 ，称为无阻尼固有频率。 在这种情况下系统对斜坡输入信号的跟随响应 要经历振荡，如图３所示。 （２）过阻尼 若阻尼比 １，则称为过阻尼。 在这种情况下，闭环伺服系统的传递函数有一对不相 同的实数极点，传递函数可以写成： Ｇ ，＝ ㈩ 式中：ｒ ２＝（一 ±￣／ －１）０９ 。 在这种情况下，系统对输人信号的响应是无振荡 图３ ｓｒ＜ｌ时的斜坡响应 图４ １时的斜坡响应 （３）临界阻尼 若阻尼比 ＝１，则称为临界阻 尼。在临界阻尼的情况下，闭环伺服系统的传递函数 有一对相同的实数极点。传递函数可写成： 一 等： ㈩ 在该情况下，系统对输入的响应为无振荡的，其 对斜坡输入信号的响应与过阻尼时的情况差不多。 由于数控机床的闭环伺服系统控制不允许出现振荡， 故欠阻尼的情况应当避免；临界阻尼是一种中间状 态，若系统参数发生变化，就有可能转变为欠阻尼，所 以临界阻尼的情况也应当避免 。由此得出结论： 数控机床的闭环伺服系统应当在过阻尼的情况下运 行。由式（２）可知： ｆ：——＝＝＝ ＝一 ‘ ２√ＫｐＫ ＫｏＫｍＫ Ｔｏ 根据过阻尼（ｐ１）的要求，可以得出： —＿＝二 ＝＝——＿＝＝二二＝＝＝二二二＝＝＞ ＞１１ （６）【Ｏ） ２，／ＫｐＫ．ＫｅＫｍＫｊＴｏ 因 和 的大小固定，所以对于位置控制器的 增益Ｋ来说，应满足下式： Ｋ１ … ｐ＜４Ｋ—ＫｏＫｍ—Ｋ—Ｔｏ。 （／） ａｊ事实上，位置控制器增益Ｋ是数控系统的一个 重要参数，是由系统的操作人员设定的。 ４静态性能分析 闭环伺服系统的静态性能的优劣主要体现为跟 随误差的大小。在闭环伺服系统中，输入指令曲线与 位置跟踪响应曲线之间存在着误差，随时间的增加， 这一误差趋向于固定，这一误差就称为跟随误差。在 一般数控系统的应用说明中，常用“伺服滞后”来表 达跟随误差，“伺服滞后”与“跟随误差”本质是一样 的，图５说明了二者之间的关系＿６ 。 ｌ ◆ 跟踪误差 ▲ Ｉ ——— ： ：．．—一ｔ 伺服误差 图５“伺服误差”与“跟随误差” ・３１・ 一 研究与分析 在位置闭环中，也可把从伺服放大器、伺服电机 ２０１２年第５期（总第１２１期）・机械研究与应用・ 到位置检测元件取得位置反馈信息整个部分看作伺 服控制的调节对象，把对系统性能按预期的要求进行 校正而加人的部分视为调节器，如图６所示。 ）＝ｌ ｉｍ １ ）＝ １ 而 （１０） ｋ ＫｐＫ Ｋ０Ｋ Ｋｉ 从式（１０）可以看出，闭环伺服系统的跟随误差 与位置控制器增益Ｋ 成反比。要减小跟随误差就要 增大Ｋ 但由式（７）可知 ． 增大的同时会影响闭环 伺服系统的动态性能，Ｋ的最大值受到式（７）的限制。 所以闭环伺服系统的动态和静态性能之间存在矛盾， 图６典型全闭环系统结构图的动态响应图 必须选择合适的Ｋ ，要同时兼顾两方面的要求。 若设调节对象为典型二阶环节，即传递函数： ｋ ５ 结论 从控制论观点出发，对数控系统的技术要求即可 （ ） 归纳为对闭环伺服系统的动、静态特性等品质指标的 要求，由于１台数控机床的速度和精度等技术指标在 很大程度上由伺服系统的性能所决定。因此，研究伺 服系统的数学模型及动态、静态性能十分重要。经过 上面推倒与分析，式（２）表明，交流伺服电机构成的 闭环控制系统简化后为二阶系统，根据控制理论分析 ＝ （８） 设调节器为比例调节器，其传递函数Ｇ （ｓ）＝ｋ。， 则可通过设计Ｇ（ｓ）的结构参数来取得整个系统良好 的闭环性能。 系统的开环传递函数： Ｇ ）＿Ｇｌ㈤Ｇ２㈠＝ 了动态和静态性能，为开发高精度数控机床提供ｒ理 论基础。 式中： ：ｋｌｋ ＝Ｋ。Ｋ Ｋ。Ｋ Ｋｉ为开环放大倍数，亦称为 开环增益； ＝Ｔｏ为时间常数。 设闭环伺服系统的斜坡输入指令信号为Ｒ（ ）＝ １／ｓ。，参考文献： ［１］廖效果．数控技术［Ｍ］．武汉：湖北科学技术出版社，２０００． ［２］ 张柱银．数控原理与数控机床［Ｍ］．北京：化学工业出版社 ２００３． 由于Ｅ（Ｓ）＝Ｒ（ｓ）一Ｃ（Ｓ），Ｃ（Ｓ）＝Ｇ （Ｓ）Ｅ（Ｓ），经 整理得： ［３］ 王爱玲．现代数控原理及控制系统［Ｍ］．北京：国防工业出版社 ２００１． ｓ）＝ （ ）一Ｇ ｓ）Ｅ（ ） 南＝而Ｓ Ｔｓ（ ＋ ）＋ １ 尺（ ） （９）、 ［４］ 张荆桥．数控机床的数字化全闭环控制［Ｊ］江西煤炭科技 ２００４（３）：３６—３８． ［５］娄锐．数控应用关键技术［Ｍ］．北京：电子工业出版社，２００５． 利用拉氏变换的终值定理，求得系统的跟随误差 ［６］罗学科．典型数控系统及其应用［Ｍ］．北京：电子¨ｌ一业出版社 ２００５ （上接第２９页） ［４］王军山．位置误差检测实例［ｊ］．山东农机化，２００５（１２）：１８． ［５］ 付振明，姜云礼．连杆校正检测仪的研制［Ｊ］．小型内燃机 １９９９，２８（３）：４３－４４． ｌ９８６． ［９］ Ｃｈｒｉｓ Ｊｏｎｅｓ．Ｍｉｎｉａｔｕｒｅ ｎｏｎ－ｃｏｎｔａｃｔ ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ ｓｅｎｓｏｒｓ［Ｊ］．Ｗｏｒｌｄ ｐｕｍｐｓ，２０１１，（５）：３０—３１． ［６］ 徐志明．涡流测距系统的仿真及设计［Ｄ］．北京：北京交通大学 ２００８． ［１Ｏ］ Ｓｏｎｋｏ Ｏｓａｗａａ，Ｋｏｎｒａｄ Ｂｕｓｃｈ，Ｍａｔｔｈｉａｓ Ｆｒａｎｋｅ，Ｈｅｉｎｒｉｅｈ Ｓｃｈｗｅｎ— ｋｅ．Ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｏｒｉｅｎｔａｔｉｏｎ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃａｌｉｂｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｃｙｌｉｎｄｒｉｃａｌ ［７］徐志明．涡流测距系统的仿真及设计［Ｄ］．北京：北京交通大学 ２００８． ｗｏｒｋｐｉｅｅｅｓ ｏｎ ＣＭＭｓ［Ｊ］．Ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２００５，２９（Ｉ）：５６— ６４ ［８］谭祖根，汪乐宇．电涡流检测技术［Ｍ］．北京：原子能出版社 ・３２・