对称矩阵和反对称矩阵的若干性质

第２１卷　第２期　山东轻工业学院学报　Ｖ０１．２１　Ｎｏ．２　２ＯＯ７年　６月　Ｊ删ＡＬ　０Ｆ　ｓ｝ＬＡＮＤ０ＮＧ　ＳＩＴｎ】ｒＩ１Ｅ　ＯＦ　ＬＩＧＨＴ　ＩＮＤＵＳＴＲＹ　Ｊｕｎ．２０Ｏｒ７　文章编号：１００４—４２８ｏ（２ｏｏ７）ｏ２—００９２—０３　对称矩阵和反对称矩阵的若干性质　邹本强　（威海职业学院，山东威海２６４２００）　摘要：在高等代数中矩阵是研究问题很重要的工具，在讨论矩阵转置时给出了对称矩阵和反对称矩阵的定义，但对　它们的性质研究很少。对称矩阵和反对称矩阵作为特殊矩阵无论在矩阵理论方面，还是在实际应用方面都有重要　的意义。我们在研究矩阵及学习有关数学知识时，经常要讨论这两种特殊矩阵的性质。本文先给出对称矩阵和反　对称矩阵的定义，然后讨论了它们的若干性质。　关键词：对称矩阵；反对称矩阵；性质　中图分类号：Ｏ１５１．２１　文献标识码：Ａ　Ｖａｒｉｏｕｓ　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ｏｆ　ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ　ｍａｔｒｉｘ　ａｎｄ　ａｎｔｉ－ｓｙｎｎｎｅｔｒｉｃ　ｍａｔｒｉｘ　ＺＯＵ　Ｂｅｎ－ｑｉａｎｇ　（Ｗｅｉｈａｉ　Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｗｅｉｈａｉ　２６４２００，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｍａｔｒｉｘ　ｓｅｒｖｅｓ　ａｓ　ａ　ｋｅｙ　ｔｏｏｌ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｓｔｕｄｙ　ｏｆ　Ａｄｖａｎｃｅｄ　Ａｌｇｅｂｒａ．Ｈｏｗｅｖｅｒ　ｉｎ　ｓｔｕｄｙｉｎｇ　ｔｈｅ　ｔｒａｎｓｐｏｓｅ　ｏｆ　ｍａｔｒｉｘ　ｍｕｃｈ　ｆｏｃｕｓ　ｈａｓ　ｂｅｅｎ　ｇｉｖｅｎ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｄｅｆｉｎｉｉｔｏｎ　ｏｆ　ｓｙｍｍｅｔｉｒｃ　ｍａｔｉｒｘ　ａｎｄ　ａｎｔｉ—ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ　ｍａｔｉｒｘ　ｗｈｉｌｅ　ｈｔｅｉｒ　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ｈａｖｅ　ｎｏｔ　ｂｅｅｎ　ｆｕｌｌｙ　ｅｘｐｌｏｒｅｄ．Ａｓ　ｓｐｅｃｉａｌ　ｆｏｒｍｓ　ｏｆ　ａｍｔｒｉｘｅｓ，ｓｙｍｍｅｔｉｒｃ　ａｎｄ　ａｎｔｉ—ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ　ｍａｔｒｉｘ　ｐｌａｙｓ　ａ　ｋｅｙ　ｒｏｌｅ　ｎｏｔ　ｏｎｌｙ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｈｔｅｏｒｙ　ｏｆ　ａｍｔｒｉｘ　ｂｕｔ　ａｌｓｏ　ｉｎ　ａｃｔｕａｌ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ．Ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｔｗｏ　ｆｏｒｍｓ　ｏｆ　ｓｐｅｃｉｌａ　ｍａｔｉｒｘｅｓ　ａｒｅ　ｆｒｅｑｕｅｎｔｌｙ　ｕｓｅｄ　ｎａｄ　ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｓｔｕｄｙ　ｏｆ　ａｍｔｉｒｘ　ａｎｄ　ｒｅｌａｔｄｅ　ａｍｔｈｍｌａｔｉｃａｌ　ｋｎｏｗｌｄｅｇｅ．　Ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｉｆｒｓｔ　ｐｒｅｓｅｎｔｓ　ｔｈｅ　ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ　ｏｆ　ｓｙｍｍｅｔｉｒｃ　ｍａｔｉｒｘ　ａｎｄ　ａｎｔｉ－ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ　ｍａｔｒｉｘ　ａｎｄ　ｔｈｅｎ　ｍｏｖｅｓ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｄｉｓｓｃｕｓｓｉｏｎ　ｏｆ　ｃｅｒｔａｉｎ　ｐｍｐｅｒｄｅｓ　ｆｏ　ｈｔｅｍ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｓｙｎｕｎｅｔｒｉｅ　ｍａｔｒｉｘ；ａｎｔｉ—ｓｙｍｍｅｔｉｒｃ　ｍａｔｒｉｘ；ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　我们知道，任何一个方阵都可以唯一地分解为　设Ａ、　都是反对称矩阵，ｋ为任意数，则ＡＴ＝　一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。因此，我们　一Ａ，ＢＴ＝一Ｂ，因此，　将对称矩阵与反对称矩阵对照起来讨论它们的性　（Ａ＋　）Ｔ＝ＡＴ＋ＢＴ＝一Ａ一曰＝一（Ａ＋Ｂ），　质，以供读者学习矩阵时提供参考。　（Ａ—　）Ｔ＝ＡＴ—ＢＴ＝一Ａ＋Ｂ＝一（Ａ—　），　定义１　若ＡＴ＝Ａ，称矩阵Ａ为对称矩阵；若　（Ｍ）Ｔ：／ｃＡＴ＝一／ｃＡ　ＡＴ＝一Ａ，称矩阵Ａ为反对称矩阵。　性质３　１）若对称矩阵Ａ可逆，则Ａ　也对称；　性质１　１）对称矩阵的转置矩阵是对称矩阵；　２）若反对称矩阵Ａ可逆，则Ａ　也反对称。　２）反对称矩阵的转置矩阵是反对称矩阵。　证明１）设Ａ为对称的可逆矩阵，则（Ａ　）Ｔ＝　证明略。　（ＡＴ）一ｌ＝Ａ＿。。　性质２　１）对称矩阵的和、差、数乘都是对称矩　２）设Ａ为反对称的可逆矩阵，则（Ａ　）Ｔ＝　阵；２）反对称矩阵的和、差、数乘都是反对称矩阵。　（ＡＴ）～＝（一Ａ）～＝一Ａ～。　证明我们仅就２）做出证明。　性质４　１）若对称矩阵Ａ可逆，则Ａ的伴随矩　收稿日期：２１００６一ｌＯ—ｌ３　作者简介趋　本强（１９６５一），男，山东省威海市人，威海职业学院副教授，学士，主要从事高职教育与数学方面的研究　维普资讯 http://www.cqvip.com

第２期　邹本强：对称矩阵和反对称矩阵的若干性质　阵Ａ　也对称；２）若奇数阶反对称矩阵Ａ可逆，则Ａ　的伴随矩阵Ａ　对称；若偶数阶反对称矩阵Ａ可逆，　则Ａ的伴随矩阵Ａ　反对称。　证明　１）设Ａ为／７，阶可逆的对称矩阵（／７，≥２），　￣ｌＪ（ａ　）１－＝（ＡＴ）　＝Ａ　。　（　）Ｔ＝（　）Ｔ：　＝　；　２）若Ａ　为反对称矩阵，则　（　）Ｔ＝（　）Ｔ＝　一　。　性质９设Ｉ　Ａ　Ｉ≠０，１）若Ａ　为对称矩阵，则ＡＴ　也为对称矩阵；２）若Ａ　反对称矩阵，则ＡＴ也为反　对称矩阵。　２）设Ａ为ｎ阶可逆的反对称矩阵（ｎ≥２），则　（Ａ　）Ｔ＝（ＡＴ）　＝（一Ａ）　＝（一１）　Ａ　。　若ｎ为奇数，则（Ａ　）Ｔ＝Ａ　；若ｎ为偶数，则　（Ａ　）Ｔ＝一Ａ　。　性质５　１）若矩阵Ａ对称，则它的合同矩阵也　对称；２）若矩阵Ａ反对称，则它的合同矩阵也反对　称。　证明１）设矩阵Ａ对称，　与Ａ合同，则存在　可逆矩阵Ｐ，使Ｂ＝ＰＴＡＰ，故ＢＴ＝（ＰＴＡＰ）Ｔ＝　ｐＴＡＴＰ＝ＰＴＡＰ＝Ｂ。　２）设矩阵Ａ反对称，　与Ａ合同，则存在可逆　矩阵Ｐ，使Ｂ＝ＰＴＡＰ，故　Ｔ＝（ＰＴＡＰ）Ｔ＝ＰＴＡＴＰ＝　ＰＴ（一Ａ）Ｐ＝一ＰＴＡＰ＝一Ｂ。　性质６若Ａ、Ｂ为对称矩阵，则　１）仙＋　为对称矩阵；２）仙一翩为反对称矩阵。　证明１）（仙＋　）Ｔ＝（仙）Ｔ＋（　）Ｔ＝ＢＴＡＴ＋　ＡＴ　Ｔ＝ＢＡ＋仙＝仙＋ＢＡ：　２）（仙一ＢＡ）Ｔ：（仙）Ｔ一（　）Ｔ＝ＢＴＡＴ—ＡＴＢＴ　＝ＢＡ—ＡＢ：一（ＡＢ—ＢＡ）　性质７　１）若Ａ、Ｂ为对称矩阵，则仙为对称　矩阵当且仅当仙＝ＢＡ；２）若Ａ、Ｂ为反对称矩阵，则　仙为对称矩阵当且仅当仙＝ＢＡ；３）若Ａ为对称矩　阵且　为反对称矩阵，则ＡＢ为反对称矩阵当且仅　当仙＝ＢＡ。　证明　１）若Ａ、Ｂ为对称矩阵，当仙＝ＢＡ时，　则（仙）Ｔ＝ＢＴＡＴ＝ＢＡ＝仙；当（仙）Ｔ＝仙时，则　仙：（仙）Ｔ：ＢＴＡＴ＝ＢＡ。　２）若Ａ、Ｂ为反对称矩阵，当仙＝ＢＡ时，则　（仙）Ｔ＝ＢＴＡＴ＝（一　（一Ａ）＝仙；当（仙）Ｔ＝仙　时，贝０　ＡＢ＝（ＡＢ）Ｔ＝ＢＴＡＴ＝（一　）（一Ａ）＝ＢＡ。　３）若Ａ为对称矩阵且　为反对称矩阵，当　仙＝ＢＡ时，则（ＡＢ）Ｔ＝ＢＴＡＴ＝（一Ｂ）Ａ＝一仙；当　（仙）Ｔ＝一仙时，则仙＝一（仙）Ｔ＝一ＢＴＡＴ＝　一ｒ—Ｂ）Ａ＝ＢＡ　．　性质８　设Ｉ　Ａ　Ｉ≠０，１）若Ａ　为对称矩阵，则　Ａ　也为对称矩阵；２）若Ａ　为反对称矩阵，则Ａ　也为反对称矩阵。　证明Ｎ：Ｉ　Ａ　Ｉ￣０测Ａ－１＿　１）若Ａ　为对称矩阵，则　证明设Ｉ　Ａ　Ｉ≠０，则Ａ　可逆，由ＡＡ　＝Ｉ　Ａ　Ｉ　Ｅ，　知Ａ＝Ｉ　Ａ　Ｉ（Ａ　）～，　１）ａＴ：Ｉ　Ａ　Ｉ［（Ａ　）一　］Ｔ＝Ｉ　Ａ　Ｉ［（Ａ　）Ｔ］一　：Ｉ　Ａ　Ｉ（Ａ　）～＝Ａ；　２）ＡＴ＝Ｉ　Ａ　Ｉ［（Ａ　）一　］Ｔ＝Ｉ　ｌ［（Ａ　）Ｔ］　＝Ｉ　Ａ　Ｉ（一Ａ　）～＝一Ａ　性质ｌ０若Ａ为任意方阵，１）则Ａ＋ＡＴ、ＡＡＴ　为对称矩阵；２）则Ａ—ＡＴ为反对称矩阵。　证明　１）（　＋　Ｔ）Ｔ＝　Ｔ＋Ａ＝Ａ＋　Ｔ，（　Ｔ）Ｔ　：（ＡＴ）ＴＡＴ：ＡＡＴ；　２）（Ａ—ＡＴ）Ｔ＝ＡＴ一（ＡＴ）Ｔ＝ＡＴ—Ａ＝一（Ａ—　ＡＴ）。　性质１１　１）实对称矩阵的特征值都是实数；２）　反对称实矩阵的特征值都是０或纯虚数。　证明１）设　是实对称矩阵Ａ的任一特征值，　ａ是它所对应的特征向量，　贝０　口＝　口，又Ａ＝Ａ，贝０　Ａａ＝Ａａ＝Ａ口＝　口，　Ｔ　：　（　）：　Ｔ（ＡＴ　）：（Ａ　）Ｔａ：（　）Ｔａ＝　Ｔ　，＿Ｔ　：＿Ｔ（　）：＿Ｔ（　）：　ａ，所以，　Ｔａ　：　Ｔ口，即（　一　）　Ｔ口：０，由于口≠０，所以　Ｔ口＞　０，故　＝　，因此，　为实数。　２）同理可证，　＋　＝０，因此，　为０或纯虚数。　性质ｌ２　１）设Ａ为实对称矩阵，则属于不同特　征值的特征向量必正交；２）设Ａ为反对称实矩阵，　则属于不互为相反特征值的特征向量必正交。　证明　１）略。　２）设　ｌ、　２是反对称实矩阵的两个不互为相反　数的特征值，ａｌ、ａ２是分别属于　ｌ、　２的特征向量，　因此，Ａａｌ＝　ｌ口ｌ，Ａａ２＝２２ａ２，在Ａａｌ＝　ｌ口ｌ两端分　别取其转置，得ａｌＴＡＴ＝一ａｌＴＡ＝　ｌ口ｌＴ，在一ａ］ＴＡ　＝　ｌ口１Ｔ两端分别右乘口２，得一口ｌＴＡａ２＝　ｌ口ｌＴ　２＝　一２２ａｌＴ。２，因此，（　ｌ＋　２）　ｌＴ　２＝０，又　ｌ＋　２≠０，　故　ｌ　２　０。　性质ｌ３奇数阶反对称矩阵的行列式为０。　证明设Ａ为ｎ阶反对称矩阵（ｎ为奇数），则　ＡＴ：一Ａ，所以，Ｉ　ＡＴＩ：Ｉ—Ａ　Ｉ＝（一１）　Ｉ　Ａ　Ｉ：一Ｉ　Ａ　Ｉ，又Ｉ　ＡＴＩ＝Ｉ　Ａ　Ｉ，所以，Ｉ　Ａ　Ｉ＝Ｉ—Ａ　Ｉ，故Ｉ．４　Ｉ＝０。　维普资讯 http://www.cqvip.com

９４　山东轻工业学院学报　第２１卷　（上接第８９页）　对于臭源物质为Ｈ２Ｓ、ＮＨ３等无机小分子的臭　气，其去除采用氧化法较为适应，而对于臭源物质是　烃、醇、酚、酯等有机物的臭气，其去除采用催化氧化　或生物法较为合适。另外，可以将吸附法与化学法　或生物法结合起来，首先将臭源物质吸附于吸附剂　目前生物除臭技术代表着最先进的除臭方法。　加强对这方面的研究，并应用到实际的臭气治理中　去，具有很强的现实意义。　参考文献：　［１］金至清．恶臭的分析方法及治理技术［Ｊ］．上海环境科学，１９９７，　１６（５）：４０—４３．　表面，再利用催化氧化使其分解或利于微生物作用　使其转化为无害物质。　在化学法除臭方面，除臭氧和高铁酸盐之外的　廉价氧化剂应继续开发和利用，光催化氧化方法中　的廉价光催化剂有待开发。在物化除臭法中，吸附　剂改性有利于除臭效率的提高，同时，由于吸附剂再　生要消耗能量，则原料来源广、廉价且高吸附量的吸　附剂将在除臭市场有较强的竞争力。在生物除臭法　中，首先应该考虑臭源物质的生物去除可能性和去　除效率，其次要做好微生物的驯化工作，以提高除臭　效率。　［２］纪树满．恶臭污染的防治［Ｊ］．重庆环境科学，１９９９，２１（２）：２７—　２９．　［３］孙彤，徐彪．除臭方法及展望［Ｊ］．辽宁工学院学报，２ＯＯ３，２３（６）：　４４—４６．　［４］张文钲，张羽天．除臭技术与除臭剂［Ｊ］．化工新型材料，１９９８，２６　（１０）：２５—２７．　［５］王宁，周玉　若．抗菌除臭活性碳纤维的研制及其性能［Ｊ］．现代　地质，１９９８（４）：５２１．　［６］付钟，何品晶，李国建．恶臭的治理方法一生物脱臭法［Ｊ］．环境　卫生工程，１９９７（１）：３—７．　［７］尚魏，王启山，郭静．生物过滤除臭技术在城市污水处理厂中的　应用［Ｊ］．天津城市建设学院学报，２００１，７（２）：１２１—１２４．