专题八之复数知识点总结及分析

【知识概要】 一、复数的概念

●1、虚数单位i

（1）i21；

（2）i的幂的周期性：i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n1 (nZ)。 ●2、复数的定义：形如abi(a,bR)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部；abi(a,bR)又叫做复数的代数形式；复数集用字母C表示。

●3、复数的分类： b0z是实数

zabi复数

b0z是虚数

(a,bR)

a0纯虚数bi a0非纯虚数

●4、复数集与其它数集之间的关系：NZQRC

●5、两个复数相等的充要条件：abicdiac且bd, (a,b,c,dR) ●6、复数的模：

（1）定义：复数z在复平面上对应的点Z到原点的距离，叫复数z的模. 用

z表示。

若zabi(a,bR)，则|z|a2b2。 （2）模的性质：z1z2z1z2；

zz1n1；znz。 z2z2●7、共轭复数：

（1）定义: 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。z的共轭复数记为z。

（2）性质：

①z是实数zz； ②zzz； ③z1z2z1z2； ④z1z2z1z2；

2zz⑤11； ⑥若z1, 则z1z。 z2z2

壹

二、复数的运算

●1、(abi)(cdi)(ac)(bd)i ●2、(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i ●3、abicdi(abi)(cdi)（acbd）(bcad)i (以上a,b,c,dR) 22(cdi)(cdi)cd ●4、复数的运算律：对任意的z,z1,z2,z3C及n,mN*有：

①交换律：z1z2z2z1； ②结合律：z1(z2z3)(z1z2)z3； ③分配律：z1(z2z3)z1z2z1z3； ④znzmznm； ⑤(zm)nznm；

n⑥(z1z2)nz1nz2

y b z(a, b) 三、复数的几何意义

●1、复数zabi(a,bR)的几何意义：

i zab一一对应O a 图8-1

x 一一对应平面向量OZ，如右图8-1所示。点Z(a,b)

●2、复数加法的几何意义：

复数的加法满足向量运算的平行四边形法则， 设复数z1,z2在复平面上所对应的向量为OZ1、OZ2， 以OZ1、OZ2为邻边作平行四边形OZ1ZZ2， 则OZOZ1OZ2. 如右图8-2所示。

●3、复数减法的几何意义：

复数的减法满足向量运算的三角形法则，

Z1Z2OZ2OZ1，如右图8-3所示。

y Z2 Z1 O 图8-2 y

Z1 Z2

O

x

图8-3

x Z

贰