数学建模上机实验-2011

上机实践题

1. 某工厂计划生产I、II、III三种产品，已知生产单位产品所需的设备台时，A、B两种原材料的消耗和利润如下表所列： 产品 I II III 资源限制 资源 设备 1 2 1 有效台时8台时 原材料A 4 0 2 A共有16桶 原材料B 0 4 2 B共有12桶 单位产品利润2 3 2 （千元） 问题：（1）如何安排生产使盈利最大？并说明最优生产计划下的紧约束。 （2）写出其对偶问题表达式，并计算对偶价格。

（3）若为了增加产量，可租用设备，租金800元/台时，租用设备是否划算？最多租用多少台时？

（4）若市场需求发生变化，生产产品I减少利润0.5千元，此时生产计划是否需要改变？（用灵敏度分析的方法求解）

2．哈雷彗星。

哈雷彗星在1986年2月9日到达了近日点（最接近太阳的点，取太阳为原点），那时它的位置和速度分别为

P0(0.325514,0.459460,0.166229)v0(9.096111,6.916686,1.305721)

位置单位为AU(天文单位，取地球轨道的长半轴为单位距离)，时间单位为年。彗星的三维运动方程为

d2xxd2yyd2zz,, dt2r3dt2r3dt2r3其中参数42，rx2y2z2。求微分方程的数值解，作出彗星三维轨道和彗星轨道在yz平面的射影。由r与t的关系，计算彗星的远日点距太阳的距离，

预测下一次彗星到达近日点的时间。

3 竞争的种群

考虑有两个物种在它们共同生活的环境中为获得食物而相互竞争，假设在缺少任何物种的情况下，另一种物种的数量都是有界的（Logistic）。不考虑竞争，在t时刻，两种物种的数量为x(t)和y(t)满足微分方程

dx2axbx11dt dya2yb2y2dt

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除此之外，假设竞争使对方的数量减少，减少的速度与两个物种数量的乘积

x(t)y(t)成比例，假设取负的比例常数c1,c2。建立模型，计算竞争模型的平

衡点；分析在什么情况下，两种物种能够共存？什么情况下，只有一种物种能够存货？

若参数a114,a216,b1b21/2,c1c21，分析四个平衡点的稳定性。并用Matlab作出稳定平衡点附近的相轨线分布图。

4. 交通流均衡问题

某地有如图1所示的一个公路网，每天上班时间有6千辆小汽车要从居民区A前往工作区D。经过长期观察我们得到了图1中5条道路上每辆汽车的平均行驶时间和汽车流量之间的关系，如表1所示。那么，长期来看，这些汽车将如何在每条道路上分布？

表1 平均行驶时间与汽车流量之间的关系 AB AC BC BD CD 道路 52 12 52 20 行驶时流量≤2 20 53 13 53 30 间/min 2<流量30 ≤3 54 14 54 40 3<流量40 ≤4

B A D

C

图1 公路网示意图

5、某汽车公司是一家专营货物运输业务的公司。为了制定一个更完善的工作计划，该公司决定利用回归分析方法，帮助他们对自己的运货耗时作出预测。根据经验，运货耗费时间y与运货距离x1和运货数量x2有关。为此，公司收集了11个样本，其数据如下表所示。 序号 运货距离x1/kg 运货数量x2/件 耗费时间y/小时 1 2 3 4 5 10 50 100 100 50 4 3 4 2 2 9.3 4.8 8.9 6.5 4.2 2

6 80 2 6.2 7 75 3 7.4 8 65 4 6 9 77 3 8.9 10 90 3 7.6 11 90 2 6.1 试根据这张数据表，给出运货距离x1，运货数量x2，与运货耗费时间y的关系式。

6. 人工肾是帮助人体从血液中带走废物的装置，它通过一层薄膜与需要带走废物的血管相通．如图2，人工肾中通以某种液体，其流动方向与血液在血管中的流动方向相反，血液中的废物透过薄膜进入人工肾．

设血液和人工肾中液体的流速均为常数，废物进入人工肾的数量与它在这两种液体中的浓度差成正比。人工肾总长l．建立单位时间内人工肾带走废物数量的模型． 血管 血液流动方向 薄膜

人工肾

液体流动方向

图2 人工肾工作原理示意图

上机要求：1、撰写实验报告，包括每道题的完整分析、求解过程（打印手写均可，实验报告封面需用给定模板）。

2、建立模型、求解方法不限，可用数学解析法，也可编程求解。 3、三人一组(找不到三人的同学，两人一组也可)。

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