2023-2024学年重庆市高二下册春季联考数学模拟试题(含解析)

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.下列导数运算正确的是（A.

）

sincos

33

'B.

log3x1

x'C.e

2x'e

2x11

D.

x2x3'2.某兴趣小组研究光照时长x（h）和向日葵种子发芽数量y（颗）之间的关系，

（10,2）采集5组数据，作如图所示的散点图．若去掉D后，下列说法正确的是（

）

B.决定系数R2变小

D.解释变量x与预报变量y的相关性变强

4i1

A.相关系数r变小C.残差平方和变大

3．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1,p2,p3,p4，且pi1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（A．p1p40.1,p2p30.4B．p1p40.4,p2p30.1C．p1p40.2,p2p30.3D．p1p40.3,p2p30.24.(xy)(x2y)6的展开式中x2y5的系数为（A.4848

5．某次考试共有4道单选题，某学生对其中3道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题目每道做对的概率为0.8，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为0.25．若从这4道题中任选2道，则这个学生2道题全做对的概率为（A．0.32

）

B．0.42

C．0.64

B.100

）C.100

D.

）

D．0.84

6.将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”；B表示事件“医生乙派往①村庄”；C表示事件“医生乙派往②村庄”，则（A.事件A与B相互独立C.P(B|A)

512512）

B.事件A与C相互独立D.P(C|A)

7.如图，4个圆相交共有8个交点，用5种不同的颜色给8个交点染色（5种颜色都用），要求在同一圆上的4个交点的颜色互不相同，则不同的染色方案共有（A.2016

1）种B.2400

）

C.cab

D.

C.1920

D.96

4413ealnc8.已知，，，则（

33b32A.abc

acb

B.cba

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．如图是一块高尔顿板示意图，在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左

，，，3，，10或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为012用X表示小球落入格子的号码，则（A．PX9C．EX10

5512）

B．PX2D．DX

529102410.现将8把椅子排成一排，4位同学随机就座，则下列说法中正确的是（A.4个空位全都相邻的坐法有120种B.4个空位中只有3个相邻的坐法有240种C.4个空位均不相邻的坐法有120种D.4个空位中至多有2个相邻的坐法有900种

）

11.有3台车床加工同一型号的零件．第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列选项正确的有（A.任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.015B.任取一个零件是次品的概率为0.0525

C.如果取到的零件是次品，则是第2台车床加工的概率为D.如果取到的零件是次品，则是第3台车床加工的概率为12.已知函数f(x)在足:(x1)f(x)f(x)0,

R

）

3737f(x)上可导,其导函数为f(x),若

满

f2xfxe22x,则下列判断一定不正确的是(A.f(1)f(0)

2

B.f2ef0)

D.

C.f(3)e3f(0)

f4e4f0三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表，由表

ˆaˆbxˆ中中数据得回归直线方程y

气温（℃）用电量（度）182413341038-164ˆ2.1，预测当气温为4℃时，用电量约b为14.

a5

度．已

知

12x7a0a112xa212x2a712x7，则

．（用数字作答）

.

15.若随机变量X~N,2，且PX1PX3，则

p,pq,1x2216.记max{p,q}设函数f(x)maxe1,xmx，若函数

2q,qp,f(x)恰有三个零点，则实数m的取值范围的是

.

本题共有6个小题，四､解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程

或演算步骤.

17.(

本小题10分)若x22023a0a1xa2x2a2023x2023，Ta1a3a5a2023．（1）求T的大小（用指数式表示）；（2）求2T除以4所得的余数．18．(本小题12分)已知函数fxxe（x0）．2x（1）求曲线yfx在点1,f1处的切线方程；（2）求fx的单调区间和极值．19．(本小题12分)9年来，某地区第x年的第三产业生产总值y（单位：百万元）统计图如下图所示.根据该图提供的信息解决下列问题．求至少有一个不低于平均值的概率．(1)在所统计的9个生产总值中任选2个，(2)由统计图可看出，从第6年开始，该地区第三产业生产总值呈直线上升趋势，试从第6年开始用线性回归模型预测该地区第11年的第三产业生产总值．ˆaˆbxˆ（附：对于一组数据x1,y1，x2,y2，…，xn,yn，其回归直线y

ˆ的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：b

xxyyxynxyi1i

i

nn

xxi1

i

n2



i1nii

x

i1

2i

nx2

ybxˆ．，a

20．(本小题12分)为迎接冬奥会的到来，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如图数据：（1）“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机选出3所，记X为可作为“基地学校”的学校个数，求X的分布列和数学期望；（2）现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．在集训测试中，小明同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为2，每个动作互不影响且每轮测试互不影响．如果小明同学在集训测试中要想3获得“优秀”的次数的平均值达到3次，那么理论上至少要进行多少轮测试？21．(本小题12分)设函数fxax2x2a2lnx，aR．2

（1）若函数fx存在两个极值点，求实数a的取值范围；（2）若x1,2时，不等式fx0恒成立，求实数a的取值范围．22．(本小题12分)已知fxxlnx12axx有两个极值点x1,x2，且x1x2．2（1）若fx的极大值大于e2，求a的范围；（2）若x23x1，证明：x1x2

2ln3

．a

答案和解析

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.D

2.D

3．B

4．D

5．B

6．D

7．C

8．A

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．AD

10．AC

11．ABD

12．ABD

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．69.4

8.提示：1314．-84

1315．2

916．(,2)2,

4

belne，令fxxlnx，则fxlnx1，11

函数fx在0,上递减，在,上递增，ee

141413又ex1，e1，fef，ba，333e

x13111111

又lnblne3ln，由c，得lncln，3223311131lnclnblnlnln，233231

3133273e，e3，ln，lnclnb0，即lnclnb，23822

3

cb，综上所述abc.12.构造Fx

fxex,则Fx

exfxexfxe2x

fxfxex,导函数f(x)满足(x1)f(x)f(x)]0,当x1时F(x)0,F(x)在1,上单调递增.1上单调递减.当x1时F(x)0,F(x)在，

又f2xfxe

22x

F2xFxFx关于x1对称,F(1)F(0)F(2)F(3)F(4)，即F(1)F(0)，f0e0f1e1

f0e0,f1ef0，故A错误；f2e2,f2e2f0，故B错误；f3e3f4e4f0e0f0e0F(3)F(0)即F(4)F(0)即,f3e3f0,故C正确；,f4e4f0,故D错误；四､解答题：本题共有6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.

17.解（1）令x＝1，得a0a1a2a20233分令2023①．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1x1

，得a0a1a2a20231

②．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分①减②的差除以2，得320231

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分Ta1a3a5a2023

2（2）由（1）知2T320231，2023202220212020202332023(41)2023C0C1C2C3C20222023420234202342023420234C202320222021202020204C0C1C2C3C2022．．．．．．．．．．．．．．．．．20234202342023420234220231，．．．．．．．6分2022202120202019C1C2C3C20223202314C02，202342023420234202342

2022202120202019C0C1C2C3C2022202342023420234202342为整数，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分320231被4除的余数为2，即2T除以4的余数为2.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分18.解（1）fxxe，2xf(x)(2xx2)ex，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分11f(1)，而f(1)，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分ee11

y(x1)，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分ee1

曲线yfx在点1,f1处的切线方程为yx.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分e（2）由（1）知f(x)x(x2)ex(x0)易得x2时，f(x)0，当0x2时，f(x)0，，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分则函数f(x)的单调递减区间为(2,)，单调递增区间为(0,2)，．．．．．．．．．．．．．．．．．10分函数f(x)在x2处取得极大值f(2)

4e2.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分19.解（1）依题知，9个生产总值的平均数为：141620263342607898

43，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分9由此可知，不低于平均值的有3个，设不低于平均值的个数为X

21C13613C6

，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分则PX12C9362222C3C6311

PX2，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分2C93612所以PX1P(x1)P(x2)（2）由后面四个数据得：

x

4

117

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分21212426078986789

7.5，y69.5，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分44ii

xy

i146427608789982178，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分xi12i62728292230，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分217847.569.569.518.67.570，18.6，a．．．．．．．．．．．．．．．10分23047.57.5所以b

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分所以线性回归方程为y18.6x70，

当x11时，y18.61170134.6，所以该地区第11年的第三产业生产总值约为

．．12分134.6．20.解（1）“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校有4所，则X的可能取值为0，1，2，3．．．．．1分32

C0C1114C64C6P(X0)3,P(X1)3,C106C102P(X2)

CCC31

,P(X3)3C1010C30241634310

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分所以X的分布列为：XP01231

612310130所以E(X)0

11316123．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分6210305（2）由题意可得小明同学在一轮测试中为“优秀”的概率为：20222

．．．．9分PC321

33327

所以小明在n轮测试中获得“优秀”的次数Y满足Y~Bn,得n23



2020

3，，由EYn2727

81．20所以理论上至少要进行5轮测试．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分21.解（1）由题意得a1

2axx1axxa12a22a．．2分fx2ax20,，xxx

2∵fx存在两个极值点，∴fx0在0,有两个不等实根，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分∴

a1a11

0且11a0且a，即实数a的取值范围为aa211

．．．．5分1,,0.．22

（2）方法一：（分类讨论）当a0时，意；．．．．．．．．．6分fx2x2lnx2xlnx2xx120，符合题a1

2axx1axxa12a22a当a0时，fx2ax2，xxx2①若a0，fx0对x1,2恒成立，fx在1,2单调递增，fxminf1a20，符合题意；②若a0，则（ⅰ）当a只需1a1

，1，fx0恒成立，fx在1,2单调递减，2afxminf24a42a2ln20a1

，所以1；．．．．．．．．．8分21a1

（ⅱ）当a0时，2，fx0恒成立，fx在1,2单调递增，3a1

只需fxminf1a20，所以a0均符合题意；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．931a

分（ⅲ）当

11a1a1

，fx0，当a时，12，当x1,23aa

a1a1a1

单调递增，在x,2，fx0，所以fx在1,,2单调递

aaa

减，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分则fxminminf1,f2，而当∴

11

a符合题意.2311

a时，f10，f20均成立，23综上所述，a1.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分方法二：（分离参数）fxax22x2a2lnx0x22lnxa2lnx2x恒成立，设gxx2lnx，x1,2，则gx2x

2

121

2x，由yx在1,2单xxx

调递增，得x

1

0，即gx0，∴gx在x2lnx2xx22lnx1,2单调递增，所以gxg110，．．．．．．．．．．．．．7分∴x

22lnxa2lnx2xa

恒成立，只需2lnx2xa2．．．．．．．．．．8分.．x2lnxmax

21xlnxx22lnx2x

x1,2设hx2，．．．．．．．．．．．．．9分，则hx22x2lnxx2lnx

设xlnxx2，x1,2，则x11x10，∴x在1,2单调递减，xx∴x130，（或者由lnxx1x2lnxx20）从而得hx0，故hx在1,2单调递增，．．．．．．．．．．．．．10分∴hxmaxh2

2ln24

．．．．．．．．11分1，42ln2∴a1.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22解（1）f'xlnxax2,∴x1，x2是lnxax20的两根，即a

lnx12lnx22

，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分x1x2lnx21lnx2lnx1'，∴hx，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分22xxx1e

1e

设hx

∴x0,时，hx0，hx单调递增；x,时，hx0，hx单调递减，又he20，he1e，x0时，hx；x时，hx→0，

∴0ae，11xx2，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分1e2elnx2

f'xxa∴x2为fx的极大值点，x

11lnx2222fxxlnxaxxxlnxx2x2，∴222222222x21x2lnx2e2,．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分211'令gxxlnxgxlnx1，22∴gx在,上单调递增，∴gx21e

1x2lnx2e2ge2，．．．．．．．．．．．5分22∴x2e2，又hx在,单调递减，∴ahx2he

1

e

44

0a，∴；．．．．．622ee

分lnx2lnx1lnx1ax120

alnxlnxaxx（2）．．．．．．．．．．72121

xxlnxax202122

分要证x1x2

2ln3

，∵a0，即要证a

lnx2lnx1x2x12ln3．．．．．．．．．．8分x2x1ax2x1ln

x2x2x1x2ln3，设t23，x1x2x1x1t1

2ln3，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分t1即要证lnt

t1

tlnt2ln3构造

t1

t1t114ln3t14ln3t1

't2ln3，．．．10分222ttt1t1tt12设tt224ln3t1∴t30

∴t在3,单调递增，∴t单调递增，．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分∴t0

∴t30得证.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分