第１６卷第６期 ２０１１年１２月 文章编号：１００７－０２４９（２０１ １）０６ ００６６－０９ 电路与系统学报 ＪＯＵＲＮＡＬ ０Ｆ ＣＩＲＣＵＩＴＳ ＡＮＤ ＳＹＳＴＥＭＳ Ｖｏ１．１６ Ｎｏ．６ Ｄｅｃｅｍｂｅｒ， ２０１ １ 一个新的四维超混沌系统的动力学分析及混沌反同步 黄苏海 ， 田立新２ （１．淮海工学院理学院，江苏连云港２２２００５；２．江苏大学非线性科学研究中心，江苏镇江２１２０１３） 摘要；提出了一个新的四维Ｃｈｅｎ—Ｑｉ－ｌｉｋｅ混沌系统。通过计算该系统的时间序列的Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数谱、Ｌｙａｐｕｎｏｖ 维数、分岔图、Ｐｏｉｎｃａｒ６截面图等分析了控制参数变化时，系统的非线性动力学特征。结果表明该新系统不但和Ｃｈｅｎ．Ｑｉ 系统族有类似的性质，而且又呈现不同的非线性特征。在微分方程不变性原理基础上，运用ＬＭＩ技术和Ｒｉｃｃａｔｉ方程， 设计了一类新的非线性反馈控制器，实现了超混沌系统的反同步。仿真结果验证了该方法的可行性和有效性。 关键词ｔ新的Ｃｈｅｎ－Ｑｉ－ｌｉｋｅ系统；Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数；Ｐｏｉｎｃａｒ６截面图；反同步；黎卡提方程 中图分类号ｔ ＴＰ２７３；０２３Ｉ 文献标识码ｔ Ａ １ 引言 混沌是二十世纪重大发现之一。由于混沌行为是一种非常复杂的动力行为，它具有一些特别的动 力学特性，包括对初值条件极端地敏感、至少有一个正的李雅普诺夫指数、有连续功率谱、至少有一 个分数维等，使其在通信加密技术有很大的应用潜力，而且在电子学、电子系统、密码学、流体混合、 生物系统、图像数据加密、机械震动故障诊断、神经网络等越来越多的领域和方向都有快速的发展。 近年来混沌同步及其控制已成为非线性科学中的一个重要研究课题［１ ］。 在１９６３年，Ｌｏｒｅｎｚ［６３在三维自治系统中发现了第一个混沌吸引子。近年来，随着对混沌的深入研究 和实际工程需要，各种非线性混沌系统也被相继提出，并得到了广泛研究［７－１０］。 本￣Ｃｈｅｎ．Ｑｉ［１１，１２］混沌系统的基础上，构造了一个新的四维混沌系统。并利用理论推导、数值仿 真、Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数谱、Ｌｙａｐｕｎｏｖ维数、分岔图、Ｐｏｉｎｃａｒ６截面图等分析了该系统的基本动力学特性。 最后，在微分方程不变性原理 ３，１４］基础上，利用Ｌｙａｐｕｎｏｖ稳定性理论￣ＨＲｉｃｃａｔｉ方程设计出一种新的非 线性反馈控制器来实现新混沌系统的反同步。 在本文中， 定义为 维Ｅｕｃｌｉｄｅａｎ空间，Ｒ 定义为 ×ｍ矩阵。Ｘ＜０表示ｘ是实对称负正定 矩阵。Ｊ定义为恰当维数的的实矩阵。 指的是Ｅｕｃｌｉｄｅａｎ范数。 ２ 新类Ｃｈｅｎ—Ｑｉ系统的模型及基本动力学特性 根据Ｑｉ吸引子和Ｃｈｅｎ吸引子非线性部分的特征，构造了一个四维非线性动力学系统。系统的模 型如下： ＝ａ（ｙ— 、＋ｙｚ ＝（ 一 ）ｘ一 ＋ （１） ＝Ｘ 一ｂｚ—ｖＺ—Ｗ ＝ｘｙｚ一 一 ｗ 其中 ＝（ ，Ｙ，ｚ，ｗ） ∈Ｒ 为系统的状态变量， ，ｂ，Ｃ，ｄ是正值参数。系统（１）中共含有６个非线性项， 具有很强的非线性特征。 ２．１ 基本性质 ２．１．１对称性和不变性 收稿日期，２０１０－０５—３１ 修订日期：２０１１—１１－０８ 基金项目：国家自然科学基金资助项目（】０７７１０８８）；淮海工学院自然科学基金资助项目（Ｚ２００９０４２） 第６期 黄苏海等：一个新的四维超混沌系统的动力学分析及混沌反同步 ６７ 首先，注意到诸多类Ｌｏｒｅｎｚ系统在变换 ：。ｘ，Ｙ，ｚ） （一ｘ，－ｙ，Ｚ）下对于所有的参数具有不变性。但是 对于本文提出并研究的系统（１）来说，并不满足上述条件，并且从图２和图３中的相图也能看出，新系 统（１）不再具有对称性，这与以往研究的类Ｌｏｒｅｎｚ系统有所不同。 ２．１．２耗散性和吸引子的存在性 同时，考虑系统（１）的向量场散度（２），也就是系统的Ｊａｃｏｂｉｎ矩阵（３）的迹（４） Ｖ ＝ ＝ｄＶ ｄｔ ｉＶ ＝塞＋ ＋ ＋ ＝ （、 ＝ ４ ＝：ＺＬＥＳ一（２） （３） 口 ｙ 一 ０ ０ Ｃ一 一Ｚ 一Ｊ＝ ２ｘ —ｂ—ｖ 一１ ｖ— —ｄ ｚ＋Ｖｚ Ｔｒ（Ｊ）：一ａ＋ｃ—ｂ—Ｙ—ｄ （４） 又由于所有Ｌｙａｐｕｎｏｖ特征指数之和反映相空间体积元随时问演化的变化率。根据Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ定理，变化 率反映为系统的Ｊａｃｏｂｉｎ矩阵的迹，则有ｖ（ｔ）＝Ｖ（Ｏ）ｅ ，其中，４（ｉ＝１，２，３，４）为矩阵（３）的特征 根，ＬＥＳ为系统的４个Ｌｙａｐｕｎｏｖ特征指数。所以只要ａ＋ｂ＋ｄ—ｃ＋Ｙ＞０，则系统（１）始终是耗散的， 并以指数形式收敛。这就意味着，当ｔ ∞时，包含系统轨线的每一个体积元都以指数的速率 一 ＋ｂ＋ｄ—Ｃ＋Ｙ）收缩Ｎｏ。因此，系统的所有轨线最终都会被限制在一个体积为０的点集合上，并且它 的渐近动力学行为会被固定在一个吸引子上，这就说明了吸引子的存在性。 ２．１．３微分同胚和拓扑等价 ｉＯ，Ｃｈｅｎ—Ｑｉ系统为： ＝ｆ（ｘ１ （５） （６） 新系统（１）为： ＝ｇ（Ｊ，） 若系统（５）和系统（６）是微分同胚，则存在一个微分变换Ｙ＝ｈ（ｘ）满足： （ ）＝Ｍ～ｇ（ （ ）） （７） 这里 （ ）＝＿ｄｈ（ｘ）是函数 （ ）的Ｊａｃｏｂｉａｎ矩阵在点 的取值。令Ｘｏ和ｈ（ｘｏ）分别是各个系统的平衡点。 Ａ（ｘ。）和ｓ（ｙ。）分别是对应的Ｊａｃｏｂｉａｎ矩阵，则对方程（７）两边求微得到： Ａ（ｘ０）＝Ｍ （ ） （Ｊ，０） （ ０） （８） 因此，矩阵Ａ（ｘ。）和Ｂ（ｙ。）的特征多项式应该相同。 不难验证，系统（１）与Ｃｈｅｎ．Ｑｉ系统有不同的特征多项式。因此该系统与Ｌｏｒｅｎｚ系统、Ｃｈｅｎ系统 ，￣ｌＱｉ系统均不是微分同胚。可以通过严格的数学证明系统（１）与上Ｊ￣Ｌｏｒｅｎｚ系统族中每一个系统都不 具有拓扑等价性，是一个完全新类动力学系统。 ２．２平衡点及其稳定性分析 令 ＝ ＝三＝ ＝０此时系统只有一个平衡点 （０，０，０，０）。 在 ０处对系统（１）线性化，有Ｊａｃｃｏｂｉａｎ矩阵： 口 ０ ｃ Ｊ＝ ０ ０ ０ （９） ０一ｂ 一１ ０ ０ 一 令ｄｅｔ（Ｊ 一 ）＝０，当口＝３７，ｂ＝３，ｃ＝２６，ｄ＝３８，解得矩阵Ｊ的特征根： ＝一＝一２９．６９１９，２２＝１８．６９１９， ３，２４＝－３８，因为 是正实数， ， 和 是三个负实数，所以平衡点是一个不稳定鞍点。 第６期 黄苏海等：一个新的四维超混沌系统的动力学分析及混沌反同步 ６９ 控制已成为非线性科学中的一个重要研究内容。本文在微分方程不变性原理基础上，运用ＬＭＩ技术和 Ｒｉｃｃａｔｉ方程，设计了一类新的非 线性反馈控制器来控制混沌系 统，并在参数未知的情况下实现 了超混沌系统的有限时间反同 步。最后，采用数值方法验证了 控制规律和参数变化规律的正 确性。 ３．１ 广义方法反同步 ｘ 假定一般混沌系统的动态 方程表示为： ＝（ａ）在 ｙ平面上的投影 （ｂ）在 平面上的投影 ｆ（ｘ）＋４厂＋Ｏｒ （ ） （１１） 其中：Ｘ∈ ，ｆ（ｘ）∈ ”，０ ∈Ｒ 是未知参数向量， （ ）∈Ｒ ”， Ａｆ∈Ｒ 为系统扰动项。（１１）作 为驱动系统。 响应系统为： ｊｉ，＝ （ ）＋Ｕ （１２） （ｃ）在 —Ｗ平面上的投影 （ｄ）在 ＿ｚ平面上的投影 其中：Ｙ∈Ｒ 是输出向量，Ｕ∈Ｒ 控制输入，ｈ（ｙ）∈Ｒ 。 图３系统（１）的超混沌吸引子在不同平面上的投影 定义系统（１１）与系统（１２） 的反同步状态误差为ｅ＝ｘ＋Ｙ， 则反同步误差动力学方程表示 为： ＝ （ ）＋Ａｆ＋ｈ（ｙ）＋０ （ ）＋ （１３） 因此本文所研究的问题可 表述为：驱动系统和响应系统 在不同的初始条件下开始运 行，设计合适的非线性控制器， （ａ）Ｐｏｉｎｃａｒ６截面图在 平面（ｚ＝ｃ） （ｂ）Ｐｏｉｎｃａｒ６截面图在 ＿ｚ平面 ＝０） 图４在不同平面上ｆ￣Ｐｏｉｎｃａｒ６截面图 使得在有限时间内驱动系统与响应系统的状态反同步。即存在时间 ，使ｍ ｉｎ （ｏｌｌ－￣ｏ。 一为Ｊ，设计合理的控制器，本文百先引八如卜１炭砹： 引理： （Ｓｃｈｕｒ线性矩阵不等式） １ｌ 】， （ ））、 （ ）ｌ ＞０， 等同于 （。 。 。。 ）＞０， Ｚ（ｘ）一Ｙ（ｘ）Ｗ （ ）ｌ， （ ）＞０，这里Ｚ（ｘ）＝ｚ （ ），Ｗ（ｘ）＝Ｗ （ ）和 Ｙ（ｘ）都依赖于Ｘ。 假设１：假定存在一个变换矩阵厂使得，（Ｐ）＝Ｉ Ｉ，并且在 厂作用下： ㈥）＝ ｌ， 图５控关制于参Ｚ轴的数Ｃ变分化岔时图 的 ７０ 电路与系统学报 第ｌ６卷 啪 ㈤，＿［ ： ；： ， … ） ）＝ ］∈Ｒ 和ｚ＝ ， ＋：，…， ＋。Ｊ∈ ＋ｇ： ） Ｘｓ＝ ， ，．．．， ］∈Ｒ 和 ＝Ｘｉｓ＋１，Ｘｉｓ＋２￣＂￣￣，Ｘｉｓ＋ｑ Ｊ 十ｇ＝，ｚ） ＝ｅｉ， ：，…，ｅ‘（１４） （ ） Ｒ“ ， （ ） Ｒ ，其中Ｏ， ， ， 为非线性分解函数，初始值均为０。 假设２：存在矩阵Ｃ＞０和正定矩阵Ｑｌ＝Ｑｌ ＞０，Ａ ＝ Ｔ，Ｒ１＝Ｒｌ ＞０，满足Ｒｉｃｃａｔｉ方程： ｃａｓｅ１： ＣＡ ＋Ａ；Ｃ＋ＣＲ１ｃ＋Ｑ１＝０，且 ｃｏ（ｓ，ｚ， ，Ｊ＇） （ｃＲ１ｃ）ｓ Ｃａｓｅ２： ＣＡ ＋Ａ；Ｃ＋（万１＋４）ｃｃ＋Ｊ＋Ｑ１＝０，有万１，４＞０ 且 ｃ［ｏ（ｓ，Ｚ，ｘ，ｙ）＋ （ ， ）】≤ 万 ＋４ Ｊ，） Ｉ Ｉ＋，） 根据Ｓｃｈｕｒ．￣，角定理，不等式组等价于如下ＬＭＩ组： 『ＣＡ ＋ ；ｃ＋Ｊ Ｃ ］ 、 ｌ ｃ 南 。 假设３：存在矩阵Ｄ＝ｄｉａｇ［ｄ／］＞０，－，＝１，…，ｑ和正定矩阵Ｑ ＝ ＞０，Ｒ２＝ ＞０，Ａ ＝ ；＞０满足 Ｒｉｃｃａｔｉ方程 ｃａｓｅ１：ＤＡｚ＋ＡｒｚＤ＋ＤＲ２。＋Ｑ ｚ 。 （ ｚ （ＤＲ２Ｄ）Ｚ Ｃａｓｅ２：ＤＡｚ＋ ；Ｄ＋（ ２＋ ）ＤＪＤ＋Ｉ＋Ｑ２＝０，有刃２， ＞０ 且ｚ Ｄ （ ，ｚ， ，Ｊ，）＋ （ ，Ｊ，）］ １ ｚ 【（万：＋ ｌＩ（ ，Ｊ，） ｌＤＤ＋Ｊ）Ｊｚ 根据Ｓｃｈｕｒ￣角定理，不等式组等价于如下ＬＭＩ绢： ＤＡｚ＋ Ｄ＋，Ｄ ｌ 。 Ｉ 。 假设４：系统扰动项４厂满足： Ｉｌ４厂ＩＩ ＬｌＩｘＩＩ 上 Ｉ ｌ＋三：ｌ ：Ｉ＋…＋三 Ｉ ｌ 其中厶＞０，ｆ：１，２，…， 。 定理１：设定对角阵 ＝ｄｉａｇ ］∈Ｒ 满足： （１）自适应律：专＝一 ， ＞０，其中 十ｌ’ｅｉｓ＋２，￣．．ｅｉｓ＋ｑ Ｊ，其它 ；０； （２）未知参数０的估计值 自适应律： 一『ｌ ）（ ）Ｔ Ｉ『Ｉ ］ＤＺ Ｉ （３）三的估计值三自适应律： 一一 ［ ，ｓＴｃＤ！］ｘＸｚ１Ｕ］ 其中： ： Ｉ。 Ｌ Ｊ 针对系统（１３）构造控制器 ５ ６ （１７） （１８） （１９） 第６期 黄苏海等：一个新的四维超混沌系统的动力学分析及混沌反同步 ７１ Ｃａｓｅ１： ＝一／ｃ 十万ｃ ，一 ｃ 一［ ： ］一￡『 ｆ＋ ｃ２。 Ｃａｓｅ２： Ｕ＝一／（ ）＋ （ ）一 （ ）一ＺＩｘＩ＋ （２１ 误差系统（１３）全局稳定到原点，即系统（１ １） 系统（１２）全局反同步。 证明（Ｃａｓｅ１）：令 ＝ 一０，ｚ＝三一厶 ＝ｄｉａｇｋ＋ｌ， ＋２，…，鼠＋ Ｊ。 将控制器（２０）代入方程（１３），得到： ：４厂＋ （ ）＋ （ ）＋ （ ）一ＺｌＸＩ＋￣ｅ （２２） 在变换矩阵，作用下，得到： ＝ ＋ （ ，ｚ， ， ）＋４， 一／－ｓｌＸｓｌ＋ （ ） （２３、 ＝ＡｚＺ＋ （ ，Ｚ， ，Ｊ，）＋４，Ｚ．—Ｌｚｌｘ Ｉ＋ （ ） ＋ ｚ 构建Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数： ＝ ＣＳ＋ＺＴＤＺ＋ ＋ 三＋杰． （ ） （２４） Ｊ日 ｓ＋｛ 对Ｖ求导： ＝ＳｒＣ（Ａ Ｓ＋Ｏ（Ｓ，ｚ，ｘ，ｙ）＋Ａｆｓ—Ｌｓｌｘ ｛＋ （ｘ） ）＋（ ｓＳ＋Ｏ（Ｓ，ｚ，ｘ， ）＋４ 一￡ ｌ ｌ＋ （ ） ）ｃ ＋ｚ Ｄ（Ａ ｚ＋ （ ，Ｚ， ，ｙ）＋Ａｆｚ一￡ｚＩｘ Ｉ＋ （ ） ＋孑ｚ＿）＋（ ｚｚ＋ （ ，Ｚ， ，ｙ）＋ＡＡ一￡ｚＩｘｚＩ ＋ （ ） ＋￣Ｚ）ＤＺ＋２ ＋２ 三一２ ． （ 一 ＋，）玑＋，ｚ ＝Ｓｒ（ＣＡ ＋Ａ￣Ｃ）Ｓ＋２Ｓ ｃｏ（ｓ，ｚ， ，ｙ）＋２Ｓ ＣＡｆｓ一２Ｓ ｃｌ￡ ｌ １＋２ｓ ｃ （ ） ＋ｚ （ＤＡｚ＋Ａ￣Ｄ）Ｚ＋２Ｚ ＤＯ（Ｓ，Ｚ， ，ｙ）＋２Ｚ Ｄ４厂Ｚ一２Ｚ ｚＩｘｚ１＋２ｚ Ｄ （ ） ＋２ ０＋２ＬＴ／．＋２Ｚ 啦。一２ Ｊ‘一 、 （ Ｉ一占） Ｓ＋ｉ ｚ Ｊ ＝Ｓｒ（ＣＡ ＋ ；ｃ＋ＣＲｌｃ）ｓ一２Ｓ ｃ Ｉｘ Ｉ＋２Ｓ ｃ （ ） ＋Ｚ （ＤＡｚ＋ Ｄ＋ＤＲ２Ｄ）Ｚ ＋２ＺｒＤ￣２（ｘ）Ｏ＇ 姗 ２ ＝Ｓｒ（一Ｑ１） ＋ｚ （一Ｑ２＋２Ｄｅ）Ｚ ０（２５） 其中 是很小的正数。 ３．１．１ 实例验证：考虑含未知参数的系统（１）作为驱动系统 Ｉ １＝０１（ｘ２一 １）＋Ｘ２ ３＋４ ｌ ２＝（ 一 ） １一Ｘ１ ３＋ ２＋４ ｌ ３＝ 一０２ ３一 ２ ３一 ４＋ （２６） Ｉ ４＝ＸｌＸ２Ｘ３一ＸｌＸ３一Ｏ４ｘ４＋４‘ 和系统（２７）作为响应系统 Ｉ １＝３７（ｙ２一Ｙ１）＋Ｙ２Ｙ３ 』ｌ ２一¨Ｙ夕３＝Ｙ１Ｙ２—３ｙ３一Ｙ２１一ＹｌＹ３十２ ｓｇｎ（６Ｙ２ ｙ２）一Ｙ４ ＋ （２７） Ｉｊ＝，４＝Ｙ１Ｙ２Ｙ３一ＹｌＹ３—３８ｙ４ 以方程（１ １）和（１２）形式， 改写系统（２６）和（２７） ＝ｆ（ｘ）＋４厂＋Ｏｒｅ（ｘ） （２８） 电路与系统学报 ７２ 第ｌ６卷 ０ 『 １ ： ｘ１＋ｘ２ （ｘ） ０ ０ ｌ ｊ ０ （２９） ｊ，＝ （ ）＋Ｕ ３７（ｙ２一Ｙ１）＋Ｙ２Ｙ３ 一ｌｌｙｌ—ＹｌＹ３＋２６ｙ２ （ ） ｙ１ｙ２－３ｙ３一Ｙ２ ｓｇｎ（ｙ２）一 ４ 一一 一 ＹｌＹ２Ｙ３一ＹｌＹ３—３８Ｙ４ ｆ０ １ ０ ０ Ｉ 选择变换矩阵：Ｊ１：＝ 一 ： Ｉ：０。１。 Ｉ，定义系统（２６）与系统（２７）的反同步状态误差为： １ ０ ０ ０ １ｊ ｒ ｌ 一 一令ｅ，： ＋ｙｌ，ｅ２： ２＋ｙ２， ＝ ＋ ３， ： ４＋ ４，注意到： ● 一０ ０ Ｏ ０ Ｏ ３７ 一３７ｅｌ＋ｅ２Ｙ３＋ｘ２ｅ３—２ｘ２Ｙ３ ｌ ㈤㈤ 一１ｌｅ１＋２６ｅ２一ｅｌＹ３一Ｘｌｅ３＋２ｘ￣ｙ３ ｌ 一卜一１ 一 ．～ （３０） （ ）＋而（ｘ） Ｉｌ 一３ 一Ｐ４＋ １ ２一 ２ ｓｇｎ（ｙ２）＋ １ ２一 ２ ｓｇｎ（ ２）Ｉ ３８ 一ｅｌＹ３一ｘｌｅ３＋ １Ｙ２Ｙ３＋ｘ１Ｘ２Ｘ３＋２ＸｌＹ３ ｊ Ｏ Ｘ ０ ０ ３ 在Ｊ１作用下：Ｓ＝ｅＩ，ｅ，ｒ Ｏ Ｏ ０ ］●●ｊ●● ＝ 一 ．０ ０＋０ ０ ０ ０ ｒ ３７ｅ２—３７ｅ１＋ｅ２Ｙ３＋ｘ２ｅ３—２ｘ２Ｙ３ －］●● ● Ｘ ｚ ．● 一 １ １●Ｊ ＋Ｙ２４ｙ １，（ （Ｊ，）十 （ ）：－－３ｅ３－－ｅ一２ｓｇ ｎ（ Ｙ ２） ＋ ｘ １ｘＹ ２一一－ ６ｅ１ｌｅ＋２＋２ｘ ２ ｓｇｎ（ ２’Ｉ ｌ －３８ｅ４一 ３一 １Ｐ３＋ＹｌＹ２Ｙ３＋ ｌ ２ ３＋２ ｌＹ３ ｊ （ ） ．Ｉ ，一ｖ， ｓｇｎ。Ｌ ｙ＿，２，ｘ 十２ｙ，３ －Ｘ２ Ｓｇｎ ］（ ｚ）ｊ，Ｊ’ Ｊ ｓ：［ｌ曩］ ｊ ，４ ：１Ｌ４ｆ￣ ３１， ｘ，ｙ ：０ Ｉ １．１４５７ｊ 系统参数和状态初始值的选取： 数值仿真：以（２６）系统作为驱动系统， （２７）系统作为响应系统。 第６期 黄苏海等：一个新的四维超混沌系统的动力学分析及混沌反同步 ７３ （ Ｉ，Ｘ２，Ｘ３， ４）＝（一０．１，０．２，一０．５，０．３）， （Ｙ１，Ｙ２，Ｙ３，Ｙ４）＝（０．７，一０．６，一０．２，０．８） 控制参数： （０）＝（３ｏ，０，０，０）， ２（０）＝０， （０）：０， ｒ／１＝１，ｒ／２＝１ 和 （三１，三２，上３，Ｌ４）＝（０，０，０，０） ＝ ＝０．５ｃｏｓ￣ｔ）ｌｌｘｌｌ （ａ）ＸＩ￣Ｙｌ的反同步曲线 （ｂ）Ｘ２￣Ｄｙ２的反同步曲线 ＋０．３ｓｉｎ（２ｔ）， ＝ ＝０ 图６为系统（２６）的状态 ｘｉ（ｊ＝１，２，３，４）和系统（２７）的状态 Ｙｉ（ｆ＝１，２，３，４）之间的反同步仿真曲 线。由仿真结果可以看出两个混沌 系统的状态轨迹振幅相等运动方 向相反，即两个超混沌系统在控制 器（２０）的作用下达到了反同步。 由图７可以看出，系统（２６）和系 统（２７）的相空间中轨迹在二维平 面的投影是反对称的，这亦说明此 时两者已达到了反同步。 结论：同以前不同系统的反同 （ｃ）Ｘ３和ｙ３的反同步曲线 （ｄ）Ｘ４和Ｙ 的反同步曲线 图６混沌系统（２６）和系统（２７）反同步过程的仿真曲线 步方法［ 相比，本文提出的控 制方法是基于严格数学推理的基 础上，具有广泛适用性，能够应用 于工程，具有一定的鲁棒性。 ４ 结论 本文构造并研究了一类新的 Ｃｈｅｎ．Ｑｉ．１ｉｋｅ系统。较为细致地研 究了该系统的一些非线性动力学 （ａ）ｘｌ－ｘ２和ｙｌ－ｙ２的反同步曲线 （ｂ）ｘｌ－ｘ３和 ｌ ３的反同步曲线 行为，其中包括一些基本的动力学 特征、分岔、周期窗口和通向混沌 道路等。在微分方程不变性原理基 础上，根据ＬＭＩ技术和Ｒｉｃｃａｔｉ方 程，设计了一类新的非线性反馈控 制器来控制混沌系统，实现了两个 系统在参数未知的情况下的有限 时间反同步。该控制器形式简单， 易于实现且收敛速度快，控制范围 （ｃ）ｘｌ－ｘ４．￣ＪｙＩ－ｙ４的反同步曲线 （ｄ） ２一 ３和ｙ２－ｙ３的反同步曲线 宽。仿真结果验证了该方法的可行 性。 图７系统（２６）和系统（２７）的相轨迹在二维平面的投影 参考文献； ［１］ Ｊａｅ Ｈｕｎ Ｋｉｍ，Ｃｈａｎｇ Ｗｏｏ Ｐａｒｋ．Ｆｕｚｚｙ ａｄａｐｔｉｖｅ ｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎ ｏｆｕｎｃｅｒｔａｉｎ ｃｈａｏｔｉｃ ｓｙｓｔｅｍｓ【ｊｒ］．Ｐｈｙｓｉｃｓ Ｌｅｔｔｅｒｓ Ａ，２００５，３３４：２９５・３０５． ［２】 Ｊｕ Ｈ Ｐａｒｋ．ｓｙｎｃｈｒ０ｎｉｚａｔｉ０ｎ ｏｆＧｅｎｅｓｉｏ ｃｈａｏｔｉｃ ｓｙｓｔｅｍ ｖｉａ ｂａｃｋ ｓｔｅｐｐｉｎｇ ａｐｐｒｏａｃｈ［Ｊ】＿Ｃｈａｏｓ，Ｓｏｌｉｔｏｎｓ ａｎｄ Ｆｒａｃｔａｌｓ，２００６，２７：１３６９—１３７５ ７４ 电路与系统学报 第１６卷 ［３】 Ｆａ ｑｉａｎｇ Ｗａｎｇ，Ｃｈｏｎｇ ｘｉｎ Ｌｉｕ．Ｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎ ｏｆｕｎｉｆｉｅｄ ｃｈａｏｔｉｃ ｓｙｓｔｅｍ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｐａｓｓｉｖｅ ｃｏｎｔｒｏｌ［ＪＪ．Ｐｈｙｓｉｃａ Ｄ，２００７，２２５：５５．６０． ［４］ Ｈｅｎｇ ｈｕｉ Ｃｈｅｎ．Ｇｌｏｂａｌ ｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｃｈａｏｔｉｃ ｓｙｓｔｅｍｓ ｖｉａ ｌｉｎｅａｒ ｂａｌａｎｃｅｄ ｆｅｅｄｂａｃｋ ｃｏｎｔｒｏｌ［Ｊ］ｌ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ。 ２００７，１８６：９２３－９３１． ［５】 Ｗｅｎ ｗｕ Ｙｕ，Ｊｉｎ ｄｅ Ｃａｏ．Ｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎ ｃｏｎｔｒｏｌ ｏｆ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｄｅｌａｙｅｄ ｎｅｕｒａｌ ｎｅｔｗｏｒｋｓ［Ｊ】Ｐｈｙｓｉｃａ Ａ，２００７，３７３：２５２．２６０． 【６】 Ｌｏｒｅｎｚ Ｅ Ｎ．Ｄｅｔｅｒｍｉｎｉｓｔｉｃ ｎｏｎｐｅｒｉｏｄｉｃ ｆｌｏｗ【Ｊ】ｌ Ｊ Ａｔｍｏｓ Ｓｃｉ，１９６３，２０：１３０．１４１． ［７］ Ｅｌｈａｄｊ Ｚ—Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ａ ｎｅｗ ｃｈａｏｔｉｃ ｓｙｓｔｅｍ ｗｉｔｈ ｔｈｒｅｅ ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｔｉｅｓ［Ｊ］．Ｄｙｎａｍｉｃｓ ｏｆ Ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ，Ｄｉｓｃｒｅｔｅ ａｎｄ Ｉｍｐｕｌｓｉｖｅ Ｓｙｓｔｅｍｓ， Ｓｅｒｉｅｓ Ｂ，２００７，１４（４）：６０３—６１０． ［８］ Ｇｕａｎｇ ｙｉ Ｗａｎｇ，Ｈａｌ ｌｉａｎ Ｈｅ－Ａ ｎｅｗ Ｒｏｓｓｌｏｒ ｈｙｐｅｒｃｈａｏｔｉｃ ｓｙｓｔｅｍ ａｎｄ ｉｔｓ ｒｅａｌｉｚａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｓｙｓｔｅｍａｔｉｃ ｃｉｒｃｕｉｔ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｄｅｓｉｇｎ［Ｊ】ｌ Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｐｈｙｓｉｃｓ Ｂ，２００８，１７（１１）：４０１４—４０２１． ［９］ Ｇｕａｎｇ ｙｉ Ｗａｎｇ，Ｓｈｕｉ ｓｈｅｎｇ Ｑｉｕ，Ｈｏｎｇ ｗｅｉ Ｌｉ．Ａ ｎｅｗ ｃｈａｏｔｉｃ ｓｙｓｔｅｍ ａｎｄ ｉｔｓ ｃｉｒｃｕｉｔ ｒｅａｌｉｚａｔｉｏｎ［Ｊ】．Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｐｈｙｓｉｃｓ Ｂ，２００６，１５（１２）： ２８７２—２８７７． ０】 王繁珍，齐国元，陈增强，等．一个新的三维混沌系统的分析、电路实现及同步［Ｊ］．物理学报，２００６，５５（８）：４００５—４０１２． １］ Ｇ Ｒ Ｃｈｅｎ，Ｕｃｔａ Ｔ．Ｙｅｔ ａｎｏｔｈｅｒ ｃｈａｏｔｉｃ ａｔｔｒａｃｔｏｒ【Ｊ］．Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆＢｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｃｈａｏｓ，１９９９，９：１４６５．１４６６． ２】 Ｇ Ｙ Ｑｉ，Ｇ Ｒ Ｃｈｅｎ，Ｓ Ｚ Ｄｕ，ｅｔ ａ１．Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ａ ｎｅｗ ｃｈａｏｔｉｃ ｓｙｓｔｅｍ［Ｊ１．Ｐｈｙｓｉｃａ Ａ，２００５，３５２（２－４）：２９５—３０８． ３］ Ｊ Ｐ Ｌａｓａｌｌｅ Ｔｈｅ ｅｘｔｅｎｔ ｏｆ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ［Ｊ］．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｎａｔｉｏｎａｌ Ａｃａｄｅｍｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ ＵＳＡ，１＇９６０，４６：３６３．３６５． Ｃ Ｗｅｎ，Ｙ Ｃ Ｓｏｈ，Ｊ Ｗ Ｘｉａｏ．Ａｄａｐｔｉｖｅ ｃｏｎｔｒｏｌ ａｎｄ ｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎ ｆｏｒ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｃｈａｏｔｉｃ ｓｙｓｔｅｍｓ ｕｓｉｎｇ ｐａｒｔｉａｌ ｓｙｓｔｅｍ ４］ Ｙ Ｗ Ｗａｎｇ，ｓｔａｔｅｓ［Ｊ］．Ｐｈｙｓｉｃｓ Ｌｅｔｔｅｒｓ Ａ，２００６，３５ １：７９—８４． ［１５］ ＡＩ－Ｓａｗａｌｈａ ＭＭ，Ｎｏｏｒａｎｉ ＭＳＭ．Ｃｈａｏｓ ａｎｔｉ。ｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｗｏ ｎｏｖｅｌ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｈｙｐｅｒｃｈａｏｔｉｃ ｓｙｓｔｅｍｓ…．Ｃｈｉｎ Ｐｈｙｓ Ｌｅｔｔ，２００８， ２５（８）：２７４３—２７４７． ［１６］ Ｈ Ｚｈａｎｇ，Ｘ Ｋ Ｍａ．Ｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｕｎｃｅｒｔａｉｎ ｃｈａｏｔｉｃ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｖｉａ ａｃｔｉｖｅ ｃｏｎｔｒｏｌ［Ｊ］．Ｃｈａｏｓ Ｓｏｌｉｔｏｎｓ＆ Ｆｒａｃｔａｌｓ，２００４，２１：３９—４７． ［１７］ Ｃｏｄｒｅａｎｕ Ｓ．Ｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｐａｔｉｏｔｅｍｐｏｒａｌ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｄｙｎａｍｉｃａｌ ｓｙｓｔｅｍｓ ｂｙ ａｎ ａｃｔｉｖｅ ｃｏｎｔｒｏｌ［Ｊ］．Ｃｈａｏｓ，Ｓｏｌｉｔｏｎｓ＆Ｆｒａｃｔａｌｓ，２００３，１５： ５０７—５ ｌ０． ［１８】 Ｖｉｎｃｅｎｔ ＵＥ，Ｌａｏｙｅ ＪＡ．Ｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎ，ａｎｔｉ ｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎ ａｎｄ ｃｕｒｒｅｎｔ ｔｒａｎｓｐｏｒｔｓ ｉｎ ｎｏｎ．ｉｄｅｎｔｉｃａｌ ｃｈａｏｔｉｃ ｒａｔｃｈｅｔｓ［Ｊ］．Ｐｈｙｓｉｃａ Ａ，２００７３８４： ，２３０．２４０ 作者简介；黄苏海（１９７３．），男，江苏省扬州市人，博士生， 讲师，主要从事非线性动力系统的研究；ｍ－Ｏｒ新（１９６３ ）， 男，江苏省姜堰市人，江苏大学理学院教授，博士生导师， 从事无穷维动力系统方向研究。 、 Ｄｙｎａｍｉｃａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ ａｎｔｉ—ｓｙｎｃｈｒＯｎｉｚａｔｉ０ｎ ｆｏｒ ａ ｎｅｗ ｆｏｕｒ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｈｙｐｅｒｃｈａｏｔｉｃ ｓｙｓｔｅｍ ＨＵＡＮＧ Ｓｕ—ｈａｌ ，ＴＩＡＮ Ｌｉ．ｘｉｎ （１．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，ＨｕａｉＨａｉ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｌｉａｎｙｕｎｇａｎｇ ２２２００５，Ｃｈｉｎａ； ２．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃ Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｃｅｎｔｅｒ，Ｊｉａｎｇｓｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈｅｎｊｉａｎｇ ２１２０１３，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａ ｎｅｗ Ｃｈｅｎ—Ｑｉ－ｌｉｋｅ ｆｏｕｒ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｃｈａｏｔｉｃ ｓｙｓｔｅｍ ｉｓ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ．Ｔｈｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ ｏｆ ｔｈｅ ｎｅｗ ｓｖｓｔｅｍ ｖｅｒｓｕｓ ｔｈｅ ｃｏｎｔｒｏｌ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｉｓ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄ ｂｙ Ｌｙａｐｕｎｏｖ ｅｘｐｏｎｅｎｔ，Ｌｙａｐｕｎｏｖ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍｓ ａｎｄ Ｐｏｉｎｃａｒｅ ，ｓｅｃｔｉｏｎ ｅｔｃ．Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｉｎｄｉｃａｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｎｅｗ ｓｙｓｔｅｍ ｈａｓ ｓｏｍｅ ｓｉｍｉｌａｒ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｔｏ ｔｈｅ Ｃｈｅｎ—Ｑｉ ｆａｍｉｌｙ，ａｎｄ ｐｒｅｓｅｎｔｓ ｓｏｍｅ ｄｉｓｔｉｎｃｔ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ．Ａ ｎｅｗ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ ｉｓ ｄｅｓｉｇｎｅｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｏｆ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａ１ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ Ｒｉｃｃａｔｉ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ａｎｄ ＬＭＩ．Ｗｉｔｈ ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅ ａｎｔｉ—ｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｈｙｐｅｒｃｈａｏｔｉｃ ｓｙｓｔｅｍｓ ｃａｎ ｂｅ ａｃｈｉｅｖｅｄ ．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｓｈｏｗｓ ｔｈｅ ｆｅａｓｉｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｓｃｂｅｍｅ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｎｅｗ Ｃｈｅｎ—Ｑｉ—ｌｉｋｅ ｓｙｓｔｅｍ；Ｌｙａｐｕｎｏｖ ｅｘｐｏｎｅｎｔ；Ｐｏｉｎｃａｒｄ ｓｅｃｔｉｏｎ；ａｎｔｉ—ｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎ；Ｒｉｃｃａｔｉ ｅｑｕａｔｉｏｎ