导数和复数 知识要点

f(x0x)f(x0)y. limx0xx0x注：①x是增量，我们也称为“改变量”，因为x可正，可负，但不为零.

②以知函数yf(x)定义域为A，yf'(x)的定义域为B，则A与B关系为AB. 2. 函数yf(x)在点x0处连续与点x0处可导的关系：

⑴函数yf(x)在点x0处连续是yf(x)在点x0处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果yf(x)在点x0处可导，那么yf(x)点x0处连续. 事实上，令xx0x，则xx0相当于x0.

于是limf(x)limf(x0x)lim[f(xx0)f(x0)f(x0)]

xx0x0x0f(x0x)f(x0)f(x0x)f(x0)xf(x0)]limlimlimf(x0)f'(x0)0f(x0)f(x0).x0x0x0x0xx⑵如果yf(x)点x0处连续，那么yf(x)在点x0处可导，是不成立的. lim[例：f(x)|x|在点x00处连续，但在点x00处不可导，因为yyy不存在. 1；当x＜0时，1，故limx0xxxy|x|，当x＞0时，xx注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.

②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.

3. 导数的几何意义：

函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线yf(x)在点(x0,f(x))处的切线的斜率，也就是说，曲线yf(x)在点P(x0,f(x))处的切线的斜率是f'(x0)，切线方程为

yy0f'(x)(xx0).

4. 求导数的四则运算法则：

(uv)'u'v'yf1(x)f2(x)...fn(x)y'f1'(x)f2'(x)...fn'(x)

(uv)'vu'v'u(cv)'c'vcv'cv'（c为常数）

vu'v'uu(v0) 2vv'注：①u,v必须是可导函数.

②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、

积、商不一定不可导. 例如：设f(x)2sinxf(x)g(x)

22，g(x)cosx，则f(x),g(x)在x0处均不可导，但它们和xxsinxcosx在x0处均可导.

5. 复合函数的求导法则：fx'((x))f'(u)'(x)或y'xy'uu'x 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.

6. 函数单调性：

⑴函数单调性的判定方法：设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f'(x)＞0，则yf(x)为增函数；如果f'(x)＜0，则yf(x)为减函数. ⑵常数的判定方法；

如果函数yf(x)在区间I内恒有f'(x)=0，则yf(x)为常数.

注：①f(x)0是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如y2x3在(,)上并不是都有f(x)0，有一个点例外即x=0时f（x） = 0，同样f(x)0是f（x）递减的充分非必要条件.

②一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的. 7. 极值的判别方法：（极值是在x0附近所有的点，都有f(x)＜f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极大值，极小值同理）

当函数f(x)在点x0处连续时，

①如果在x0附近的左侧f'(x)＞0，右侧f'(x)＜0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧f'(x)＜0，右侧f'(x)＞0，那么f(x0)是极小值.

也就是说x0是极值点的充分条件是x0点两侧导数异号，而不是f'(x)=0. 此外，函数不

①

可导的点也可能是函数的极值点. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.

注①： 若点x0是可导函数f(x)的极值点，则f'(x)=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点x0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数yf(x)x3，x0使f'(x)=0，但x0不是极值点.

②例如：函数yf(x)|x|，在点x0处不可导，但点x0是函数的极小值点.

8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.

注：函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数：

'I.C'0（C为常数） (sinx)cosx (arcsinx)②

'11x2

(xn)'nxn1（nR） (cosx)'sinx (arccosx)'11x2

II. (lnx)'1'11 (logax)'logae (arctanx)2 xxx11x12(ex)'ex (ax)'axlna (arccotx)'III. 求导的常见方法： ①常用结论：(ln|x|)'1. x

②形如y(xa1)(xa2)...(xan)或y求代数和形式.

(xa1)(xa2)...(xan)两边同取自然对数，可转化

(xb1)(xb2)...(xbn)③无理函数或形如yxx这类函数，如yxx取自然对数之后可变形为lnyxlnx，对两边

y'1求导可得lnxxy'ylnxyy'xxlnxxxyx

复 数 知识要点

1. ⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即i21. ⑵复数及其相关概念：

① 复数—形如a + bi的数（其中a，bR）； ② 实数—当b = 0时的复数a + bi，即a； ③ 虚数—当b0时的复数a + bi；

④ 纯虚数—当a = 0且b0时的复数a + bi，即bi.

⑤ 复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数） ⑥ 复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示. ⑶两个复数相等的定义：

abicdiac且bd（其中，a，b，c，d，R）特别地abi0ab0. ⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.

注：①若z1,z2为复数，则1若z1z20，则z1z2.（×）[z1,z2为复数，而不是实数] 2若z1z2，则z1z20.（√）

②若a,b,cC，则(ab)2(bc)2(ca)20是abc的必要不充分条件.（当

(ab)2i2，

(bc)21,(ca)20时，上式成立）

2. ⑴复平面内的两点间距离公式：dz1z2.

其中z1，z2是复平面内的两点z1和z2所对应的复数，d表示z1和z2间的距离. 由上可得：复平面内以z0为圆心，r为半径的圆的复数方程：zz0r（r0）. ⑵曲线方程的复数形式：

①zz0r表示以z0为圆心，r为半径的圆的方程. ②zz1zz2表示线段z1z2的垂直平分线的方程.

③zz1zz22a（a0且2az1z2）表示以Z1，Z2为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若2az1z2，此方程表示线段Z1，Z2）.

④zz1zz22a（02az1z2），表示以Z1，Z2为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若2az1z2，此方程表示两条射线）. ⑶绝对值不等式：

设z1，z2是不等于零的复数，则

①z1z2z1z2z1z2.

左边取等号的条件是z2z1（R，且0），右边取等号的条件是z2z1（R，0）. ②z1z2z1z2z1z2.

左边取等号的条件是z2z1（R，0），右边取等号的条件是z2z1（R，0）. 注：A1A2A2A3A3A4An1AnA1An. 3. 共轭复数的性质：

zz z1z2z1z2

zz2a，zz2bi（za + bi） zz|z|2|z|2

z1z2z1z2 z1z2z1z2

z1z2z1（z20） zn(z)n z2注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的] 4 ⑴①复数的乘方：znzzz...z(nN) n②对任何z，z1,z2C及m,nN有 ③zmnznzmn,(zm)nzmn,(z1z2)nznz12

注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如i21,i41若由

i21(i4)21121就会得到11的错误结论.

②在实数集成立的|x|x2. 当x为虚数时，|x|x2，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.

⑵常用的结论：

i21,i4n1i,i4n21,i4n3i,i4n1

inin1in2in30,(nZ)

(1i)22i,若

1i1ii,i 1i1i1

1是的立方虚数根，即322nn1n21,,,10,0(nZ)则  . 5. ⑴复数z是实数及纯虚数的充要条件：

123i2，

①zRzz.

②若z0，z是纯虚数zz0.

⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零. 注：|z||z|.

6. ⑴复数的三角形式：zr(cosisin).

辐角主值：适合于0≤＜2的值，记作argz. 注：①z为零时，argz可取[0,2)内任意值. ②辐角是多值的，都相差2的整数倍. ③设aR,则arga0,arg(a),argai⑵复数的代数形式与三角形式的互化： abir(cosisin)，ra2b2，cosab,sin. rr2,arg(ai)3. 2⑶几类三角式的标准形式：

r(cosisin)r[cos()isin()]

r(cosisin)r[cos()isin()]

r(cosisin)r[cos()isin()]

r(sinicos)r[cos(2)isin(2)]

7. 复数集中解一元二次方程：

在复数集内解关于x的一元二次方程ax2bxc0(a0)时，应注意下述问题： ①当a,b,cR时，若＞0，则有二不等实数根x1,2x1,2b；若=0，则有二相等实数根2ab||ib；若＜0，则有二相等复数根x1,2（x1,2为共轭复数）.

2a2a②当a,b,c不全为实数时，不能用方程根的情况.

③不论a,b,c为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立. 8. 复数的三角形式运算：

r1(cos1isin2)r2(cos2isin2)r1r2[cos(12)isin(12)]

r1(cos1isin2)r1[cos(12)isin(12)]

r2(cos2isin2)r2棣莫弗定理：[r(cos

isin)]nrn(cosnisinn)