（一）基本要求：
（二）内容分析和教学指导 （1）从解方程的过程引出所要解决的问题，
每个方程对应于一个行向量， 某个方程可由其它方程表示， 则该方程可去掉， 为无效方程。 这对应于讨论向量 组中是否有某个向量可由其它向量线性表示， 即向量的线性相关性问题。 去掉无 效方程后的方程求解， 需要确定自由未知量和保留未知量， 涉及最后的方程系数 行列式不等于零的问题
（2）向量的线性运算及其性质，和矩阵的运算相对应。
（3 ）向量线性相关性的定义和判断：线性相关性定义使用于理论证明，把 相关性问题转化为向量方程 （即方程组） 有无非零解的问题， 而等价定义使相关 性的含义更加明确。 为了加深相关性的定义， 对与一个向量， 两个向量和三个向 量线性相关的几何意义加以强调： 单个零向量是线性相关的， 两个向量相关是指 两个向量共线， 三个向量相关是共面。 通过利用相关性定义来判断向量组线性相 关，重点培养学生的利用概念分析判断，进行逻辑推理的能力。
定义理解中的误区：（1 ）定义中的系数是独立的， （2 ）非零组合系数是相对 向量组的，不同向量组对应的系数可能不同， （ 3 ）向量组线性相关则至少有一 个向量可以由其它向量线性表示， 至于是那一个向量是依赖于具体的向量组， 并 不是每个向量都可由其它向量变来表示。
列向量组的线性相关性和线性表示的矩阵表示， 行向量组线性相关性和线性 表示的矩阵表示。重点是列向量组表示的矩阵形式
（4 ）相关表示式的分量形式是理解相关性定理的基础和本质，一个分量对 应一个方程，一个向量对应一个未知数。
用子式判断向量的线性相关性的方法，子式不等于对应于只有零解，对应于 线性无关，子式等于零对应于有非零解，对应线性相关。
（5 ）最大无关组和矩阵的秩：重点理解矩阵秩的定义和含义，牢固建立矩 阵和向量组的对应关系。 矩阵的秩等于行向量组的秩， 等于列向量组的秩， 就是 非零子式的最高阶数。 掌握最高阶非零子式和向量组的最大无关组之间的对应关 系，子式为零对应于线性相关，子式非零对应于线性无关。
定理的证明重要的是说明思路，关键是理解并利用结论进行推理证明。 重点是利用子式确定矩阵的秩和最大无关组。
（6）初等变换对向量组的影响，初等行变换和化简方程的对应关系。标准 形所保留的信息，（变换不变量是矩阵的秩） 。可逆矩阵 A~ E
（7 ）通过简单的例子说明左乘相当于行变换，右乘相当于列变换，关键是
1 理解其
意义。通过求逆阵的初等变换方法可得到一种解矩阵方程 X A B 的方 法
1
（8 ）介绍向量空间，子空间的基本概念，对比基和最大无关组的定义，加 深对基和最大无关组， 向量组和向量空间的理解 （除零空间外， 向量空间是无限 的，而向量组可以是有限的） 。
生成子空间的概念及其生成子空间的表示。
（四习题指导（习题 3） ）
1． 1． 2． 2
设 Vi (1,1,0), v2
．
设
(0,1,1), V3 (3,4,0)，求 Vi V2 及 3vi 2V2 V3。
)
3( 1
)
2( 2
)
5( 3
， 其 中
1
(2,5,1,3), 2
设
(10,1,5,10), 3
(4,1, 1,1) ，求
3． 3． 1, 2 ,..., m 是 m 个 n 维向量，试问：
(1 )( 1)若有m个数k1 , k2 ,...,k m存在，使得
k1 1
k2 2
km m
那么 1 , 2 ,..., m 是否线性无关？
解：主要考察定义中的“不全为零的一组数”的理解，若这组数至少有一个非零，则可判定 线性相关。 没有这一限制是没有意义的， 因为全部取零系数， 不管向量组是什么， 上式总是 成立的。因此，不能判断向量组的线性相关性。
(2)( 2)若有m个不全为零的数ki，k2,...,km使得
k1 1
k2 2
k
mm
那么 1 , 2 ,..., m 是否线性相关？
解：定义中的组合式是“ =”，改为“不等于”则不能说明向量的线性相关性。
( 3 )若 1 ,
2 ,..., m 线性相关，则 1 一定可由 2 ,..., m 线性表示吗？
解：相关性等价定义中是说： 向量组中至少有一个向量可由其它向量线性表示， 至于是那一
k1 1 k2 2 ... k m m 0, k 1 1 k 2 2 km m 0
个 向量可 由其它向 量线性 表示，
则要以来 于具体 的向量 组。不能 断定
1 一 定可
由
2, 3 ,...
, m
线性表示。
4． 4．
设
1
,
2,..., m 与
1
,
2
，...， m都是n维向
线性相关，向量组
量，
, m
下面的证明是否正确？
1
(1) ( 1 )若向量组 1 , 2 ,...
为零的数ki,k2,...,km，使得
， 2,..., m线性相
关，
则有不全
由此推出
k1( 1
1
) k 2( 2
2
2
)
km( m
m
) 0
于是向量组
1 , 2
,...., m
m也线性相关。
解：向量组线性相关，则存在一组的非零组合系数，这组组合系数是依赖于向量组的，
不同的向量组其组合系数可能不一样。以上证明中就是忽略了这一点，故是错误的。 (2)(2)若
k1 1
k2
k1 1
k2 2
只有当ki k2 ... km 0时才成立，那么
1
,
m
，
,1 , 2
,…
m 一定线性无关。
解：定义中的组合系数是独立的，上式中的系数不独立，只能推知
1 1
，
2 2
,…，m
m是线性无关的。
5. 5. 将向量 表示成1,
2, 3
的线性组合：
(1)
1
(1,1, 1), 2
(1,2,1), 3 (0,0,1), (1,0, 2)
解：设 k1 1 k2 2
k3 3
，按分量展开得到
k[ k2
1 匕
2k2
0 k[ k2
k3
2
求解得到 k2
1,k1
2, k3
1
，即 2 1
2
3
(2)
1
(1,2,3), 2 (1,0,4), 3 (1,3,1), (3,1,11)
k1 k2 2k1 3k3
解：设
k1 1 k2 2 k3 3
，按分量展开得到3k1 4k2 k3
用Gramer法则或用如下方法简化
1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 2 0 3 1〜 0 2 1
5 〜0 1
2 2 3 4
1 11
0
1
2 2
0 0
3
1
8
1
_ 2
可知 k3
1/ 3, k2 2 2/3 8/3, k1
0
，即
3
3
6. 6. 判断下列向量组的线性相关性:
3 11 1
(1) i (1, 1,1), 2
解：法一，应用定义，设 & 1
(0,4,2), 3 (2,2,4)
k2 2 3 3
k
0
, 即
ki(1, 1,1) k2 (0,4,2) (k1 2k3, k1 4k2
k3(2,2,4) 2k3,«
2k?
4ks)
(0,0,0)
k1 2k3 k1 4k2 2k3
得到方程组
k1
0
0
0
% 4k3
,系数行列式为
0
，不能用Gramer法则，由定理可知存在非零解。
事实上，由第一式知 k1
2k3
，代入其它方程得到
4k2 4k3 2k2 2k3
取k3
1
0 0
3 0
，得到k2
1k1
,
2
，故 1 2 2
，因此仆2, 3线性相关。
或者由定理知，系数行列式等于零，则齐次方程组有非零解，故向量组线性相关。
法二、这是三个三维向量，由定理知，向量组线性相关的充要条件是所组成的行列式 等于零，因此只需求行列式即可。事实上，以向量为列所构成的行列式为
故向量组线性相关。 (2)
1
(1, 1,0),
2
(2,1,1), 3 (1,3, 1)
法一、用定义，设k1 1心2 k3 3
，展开方程所构成的齐次方程组的系数行列 3线性无关。 ,2
式不等于零，故只有零解，由定义知
0
1,
1 2 1 1 1 3 0 1
1 2 1 0 3 4 0 1 1 7 0
，故向量组
法二，以向量为列构成的行列式为
1
1
,
2
, 线性相关。
3
i 3
( 2,1,0,3), 2 (3,0,2, 1), 4 (1, 3,2,4) (2, 2,4,6)
法一、定义法
法二、行列式法，由定理可知
n个n维向量线性相关的充要条件是向量所构成的行列
式为零。以向量为行构成的行列式为
2 1 3 2
1 0 3 2 0 7 2 2 4 2
3 4
1
2 1 0 7 0 2 3 0 2
3
7
2 5 2
5 1
3 1 12
2 4
6
2 0 4 12 4
5 4
4
4 0 16 0
16 22
88 64 24
22
因此向量组是线性无关的。
i
(1, 2,4, 8), 2
(1,4,16,64), 4
(1,3,9,27) (1,3,9,27)
(4)
法一、定义法
3
1 1 1 法二、行列式法，向量所构成的行列式 零，故向量组是线性无关的。
2 3 4 1
4 9 1
8 27
16 64 1 是Van demon行列式，显然不等于
1 7. 7.设向量 1
(1)
取何值时， (2)
取何值时，
(1, 2,4),
2
(0,,),
12
3
3
( ,3,C)，试问：
2
( 1) c
1
,
2
, 线性相关？ , 线性无关？
3
X
3 0
( 2) c
1
2
,
X2 2 3 ，按分量展开得到
解：解法一、根据定义，设
X1 1
捲 0x2 2x3
2x1 X2 3x3 4x1 2x2 CX3 0
0 0
2
系数行列式为
根据Gramer法则知，c (c 10)
10时，方程组有非零
a1, 2,
3
线性相关，c 10时，方
解, 程组只有零解，故 3线性无 关。
解法二、考虑由 3
构成的行列式
因此，c 103线性相关,
时,
2, 2
4线性相 关。
证明：直接观察法，由表示式易看出
（这种方法没有一般 性）
根据线性相关性的定义证
明。
X1 1 X
2
将 i (i 得到
人(
1 2) X2( 2 X4 ) 1
3) X3( 4
)
X2 ) 2 (X1 (X1 (X2 X3):
上式成立的充分条件为
XX4
0,X1
X2
1
方程组对应的行列式为
(c 10
)
10时,
2
，
3
线性无关。
3,
4
1
,证明向量组
1 , 2, 3, 4
线性相
关。
X
X4
3
X4( 1)
(XX4) 4
3
0,X2 X
0,X3
X4
3
0
因此有非零解，故向量组
1
，，3, 线性相关。
2
4
9. 9.设 1
1,2 1
r，且1
， 2,…，r线性无关,
证明向量组 1， 2,..., r线性无关。(注：本题可推广到一般的形式， 逆即可) 证明：设
X1 1 X2 2
只要表示的系数矩阵可
xr r 0
将i (i 1,2,…,r)的表示式代入，即
X1 1
X2 ( 1
2
) ...
Xr ( 1
(X1 X2
Xr) 1
(X2 X3
) ...Xr ) 2
r
....Xr
r
因为1, 2,... r线性无关，故有
X1 X2
X2
Xr Xr Xr 0
显然，X1
X2
... r
X0
或考虑系数行列式
1 1 ... 1 0 1 ... 1 0 0 ... 1
根据Gramer法则有
X1
X2 ...Xr 0
1 0
故1 , 2 ,..., r线性无关。
10. 10.在秩是r的矩阵中，有没有等于
0的r阶子式？有没有等于 0的r-1阶子式？
解：本题主要考察矩阵秩的概念，在秩是 r的矩阵中，有一个r阶的子式不等于零，有可能 有r阶的子式等于零，也可能有等于零的r 1阶子式，但不可能所有的r 1阶子式等于零。 11. 11 .从矩阵A中划去一行得到的矩阵 B,问A , B的秩的关系如何?
解：考虑A的行向量组, 显然关于秩有如下关系:
r ，则
R(B) R(A) R(B)
12. 12.求作一个秩是 4的方阵，它的两个行向量是(1,0,1,0,0) , (1, 1,0,0,0)。
4 ,即使某个4阶子式不等于零。考虑
100 10 1 0 1
1 0 0
1
0 1 0 0 0
解：只需增加三个行向量, 使方阵的秩等于
1 1 0 0
0 0 0 0
A
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0〜 0 0 0 0 0
1 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0
1 0
0 0
R(A) 0
13. 13. 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组：
(1)
1
(1,2, 1,4), (1,1,0),
2
2
(9,100,10,4),
3
3
( 2, 4,2 ,8) •
1
(2)
(0,2,0),
(0,0,3).
3
5
(3)
(1,2,1,3), 2
1
(4, 1, 5,),
1 , 2,
(1, 3, 4, 7)
解: 应用子式方法, 考虑由
3
为行向量构造矩阵
D2 1
9 100 2
4
8
1 2 1 4 2 1 9 100 4 0 82 9 100 32 010 82 2 44 2 0 0 0 2
8
1
9 2
0 82 19 0
0 0
0
因此 R(A) 2 ，最高阶非零子式所对应的 注：最大无关组不是唯一的。
1, 2 为最大无关组。
14. 设 1 , 2 ,..., n 一组 n 维向量，已知 n 维单位坐标向量 1, 2 ,..., n 能由它们线性表示， 证明 1, 2 ,..., n 线性无
关。
A { 1, 2 ,..., n}, E {e1,e2,...,en}
证明：记，已知单位坐标向量组
1 ,..., n 是线性无关
的，故向量组 E 的秩 R(E) n 。又由条件知 向量组1，... n可由1,…，n线性表示，由定理
知，
由于向量组中仅有
R(A) R(E) n
n个向量，故
R(A) n
，即向量组,…n线性无关。
a1
，
15. 设
1 , 2,..., n
是
一组 n 维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是：任一
n 维向量
都可由它们线性表示。 证明：必要性。设 1,
2
,…，n是线性无关的，设 为任一 n 维向量，则 1,
可由
2 ,..., r , 为
(n+1)个
n维向量，故
，
1, 2,..., r , 线性相关，由结论知
1, 2,...,
n
线性表示。
充分性。分别取 1， 2,…n，由条件可知， 知，1，...， n线性无关。
1
， 2,…
，
n可由 仆…n线性表示，由上题的 结论
，
16•设向量组A与向量组B的秩相等，且 A组能由B组线性表示，证明 A组与B组等价。 证明：设R(A) R(B) r，设向量组A的最大无关组为
1
，2,…，r，向量组B的最大无
关组为1，2,…，r，由条件知，向量组 A可由向量组B线性表示，向量组 A的最大无关 组刻有向量组 B 的最大无关组线性表示，即有
k11
k12 ... k1r k22 ... k2r
k21
r kr1 kr2 krr r
1
(Xi,X2,...,Xr)
下证K为可逆矩阵，用反证法，
2
(Xi,…,Xr)K
Xi
K
T
X2 Xr
，假设1 K 1
只需Xi，…,Xr )K 0 ,或
(
则方程组有非零解，这与
2
,…，r线性无关矛盾，故知 K可逆
因此
1 1 2 1 a2
K
1
r r
即1， 2,... r可由1， 2,…，r线性表示，因此向量组 B可由向量组 A线性表示，即向量 组A与向量组B等价。
17. 设向量组 A :
1
「…，s的秩为r1
r
,向量组 B :
1
, ,…，t的秩为「2
2
,向量组 C :
,…
，
s, 1
,…的秩为3，证明
t
，
maX{ JQ} D n q
并利用该结果证明：R(A B) R(A) R(B) 18. 线性表示为
设向量组B : 1 , 2,…
，
r能由向量
A :
1
,■■■,
s
r s
其中K为r S矩阵，且A组线性无关。证明
B组线性无关的充分必要条件是矩阵 K的秩
1
R(K) r
Xi 1
X2 2
Xr r
证明
：充分性•设 表示式代入有
xt
K
r
因为1，r线性无关，故有xT K 0,即KTX 0.
由条件知R(KT) R(K)
r
，由Gramer法则知 x 0只有零解.
必要性•记
r
r
,由条件可知，B KA.因此R(K) R(B)
r s
矩阵,故R
(K) r
19.求下列矩阵的秩:
3 1 0 2
3
2 1 3
1 1 2 1 2
1 3
1 (1) 1 3
4 4
, (2) 7
0
5 1
3 1
解：子式
D2
1 1
4 0
，考虑三阶子式， 共有 法。
r
,将 ° (1
2
3 8
4个
r
.又矩阵K为
4
8
2
4
4 8 2
1
0
，类似地有
0
，故 R(A) 2
初等变换方法:
3 1
0
1
1 2
2 1 1〜 3
1
1 2 1
0
2
3
4 4 1 4 0
2
1
1 3 1
4 4 1 4 4
2 6 6
0 0
1 5 5
1
1
0 0
6 5 0 0
故 R(A) （2
）
2
初等变换法：
3 2 7
2
1 1 3 0 5
3 1
1 4
9 27
2 3 8 4
1 3 〜2 1 7 0 1 1 5 ~ 0 17
0
4 3 5 3 7 0
4 1 1 4
1 3 8 4 1 9
1
3
7 11 〜0
0 21 33 故 R(A)
2
11
0 0 0
20.利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:
10 12 21
2 0 3
1 1 0
25 75
75 94 54
25
31 94
32
17 53
(1)
20
25 11
3 94 53
1 4
43 132 134 48 ，(2) 25 31
75 94 53
75 25
3
3 94 54
1
1 32
~20
1 31
1 3 31 0 1 11 0 2 33 0 3 55
94 32 54 20
17
解：
17
43 132 134 48
1 3 0 1
~
43 132 3 1
134 48
1 3 31 0 1 11
~
1 1
0 0 11 0 0 22
0 0 0 0
1 1
0 0
最后的第
第二 、第三( 或第四) 列向量是列向量组的最大无关组，因此原列向量组中的 一、
第第
第三
(或第四)列向量是原列向量组的最大无关组 一、 二、
1 0
21
1 0
0 2 1 5 1
2 1 2 0 1 5 2 1
5
1 0 0 1 2 ~0
0 0 0 0 0
2 1 0 0
1 2 4 7
1 2
01 30
2 1
0 0 0
2 5
(2)
故
,
,
,
14 34
0 12
1 1
,
1 2 4或 1 3 4 是列向量组的最大无关组。
21. 设 A 与 B 都是 m n 矩阵,证明：矩阵 A 与 B 等价的充分必要条件是 R(A) R(B) 。 证明：A与B等价的充分必要条件是存在
m阶可逆方阵Q和n阶可逆方阵P使
11
PAQ
B .
由矩阵 乘 积秩的 关 系有 R(B) R(A) .由A P 1BQ 1 知 R(A) R(B) ,因 此 R(A) R(B) .(或者由初等变换不改变矩阵的秩得出 者右乘均不改变矩阵的秩 )
充分性:(A) R(B) r , A和B的标准形由秩唯一确定，即它们的标准形均为
,由本题的证明可知用可逆矩阵左乘或
Er 0
0
° ,即A和B均和标准形 等价,因此由等价的传递性，知A与B等价.
22 ．利用矩阵的初等变换求下列矩阵的逆
0200
2 2 3 0 1 2
3
0 0 3 0 1 1 0 0 0 1
2 0 0 0 1
1 2 1
，(2)
0 0 0
1
，( 3) 1 0 0 0
10 ~0
31 20 01
r1 r 2 r2 2r1 0
10 11
~0 r2 r3
1~0
r 0
1 r2
10 11 0
r3 4r3 0
11 64
1 0 0 1 4 3
~0 r
3 ( 1)
0 11 11~0
10 53 解：01 r1 r3
6 4
r 2 r3 0
01 64
(1)
4 3 1 A 11 1 5 3
1 6 4
100 2 2 3 1
4
3
1
1 0 1
5
3 010 验
001
证： 1
2 1
1 6
4
1 3 5 7
1 0 0 0 1 0 11 2 1 3 0
0 1 2
3 0 1 0 0 0 1
2 3 0 1 0
0 0 1 2
0 0 1 0 3 r2 0
0 1
2 0 0 1
( 2) 0 0
0
1
0 0 0
1
0 0
0
1
0
0
0
10 11 2 1 300
0 1 2 3 0 1 0 0
r 2 2r3 0 1 2 0 0 1 0 r0 1 11 r3
0 0 0 1 0 0 0 1
23．试证：由 1 (0,1,1), 2 (1,0,1), 3
(1,1,0) 所生成的向量空间就是 R 3。
24 ． 由 1 (1,1,0,1), 2
(1,0,1,1) 所 生 成 的 向 量 空 间 记 作 V1 ， 有
(2, 1,3,3), 2
(0,1, 1, 1)所生成的空间记作 V2 ，试证 V1 V2。
0 0 0 1
证明:只需证明 1, 2与 1, 2 等价.
1
21 01 11 10
3 1 2 0
3
k11
k12 1
1 0 0 0 1 1 2
法一、按定义证明，
设
k11
2
1
k21
k22
1
k12
1
1
k11 k12
1 1 1
1 0
考虑分块矩阵则有 即 1, 2 可由 1 类似的可证 1,
k21 k22
，
故
k21 k22
0 1
, 2
线性表示。
2可由
1
, 2
线性表示。
1
1 1 2 0
10 01 13 11
0 1 3 1
~
1 0 0 0
1 1 3 1
0 1 3 1
0 1 3 1
~
1 1 0
~
0 0 0 0 0 0
2
1 1 1 0
0 0 0
1
~
法二、构造矩阵 即向量组 1, 2,
1
2
, 2 的秩为 2 ，显然 1,
是最大
2是线性无关的， 关组 >
无
, 2
可由
1, 2 线性表示。同样 1, 2 也可作为最大无关组， 1, 2可由 1, 2 线性表示，因此 1, 2
和 1, 2 线性无关。
25 ． 验 证
1
(1, 1,0), 2
(2,1,3), 3 (3,1,2)
为 3 的 一 个 基
R
并把
v1 (5,0,7), v 2 ( 9, 8, 13)用这个基线性表示。
解：以向量作为列向量构造矩阵
1 0
2 3 5 1 1 1 0 3 2 7
9 8 13
1 2 3 5 0 3 4 5 0 3 2 7
9 17
13
1 2 3 1 2
1 0 1/3 10/3 0 1 4/3 5/3 0 0 2 2
44/3 17/3
4
1 0 0 2 3 0 1 0 3 3 0 0 1 1 2
1
2 1 3 2
32
, 3 1 3 2 2 3
3
因此 1, 2 , 3 线性无关，构成 R3 的一个基，且有
1
2 1 3 2
3, 2
3 1 3 2 2 3
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