2020-2021学年河北省沧州市高一下学期期末数学试题【含答案】

一、单选题

AB3,0AC1,21．已知，，则BC（ ）A．B

【分析】根据向量的减法直接计算.【详解】由题可知：故选：B

BCACAB4,24,2B．

4,2C．

2,2D．

2,212．已知复数z的实部为1，虚部为2，则z在复平面内对应的点位于（ ）A．第一象限D

【分析】根据复数的几何意义可得z12i，根据共轭可得z12i，进而根据复数除法运算化简，进而可求.

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

【详解】易知z12i，则

1112i12iz12i12i12i551，所以z在复平面内对应

12,的点为55，所以在第四象限.故选：D

3．某学校根据学生对课堂改革的喜爱程度进行调查，参加调查的共有2000人，调查结果如下表：喜爱程度人数/人

很喜欢500

喜欢900

一般450

不太喜欢150

学校领导为了解学生更具体的想法，打算从中抽选出40人进行更详细的调查，若采用分层抽样，则在喜欢和不太喜欢的人中应抽取的人数分别为（ ）A．10，3

B．18，3

B

【分析】直接由分层抽样的定义求解即可.【详解】从喜欢的人中应抽选的人数为

C．18，9

D．10，9

40900182000，从不太喜欢的人中应抽选的人

数为

4015032000.

故选：B.

4．已知a，b为不同的两条直线，，为不同的两个平面，则a∥b的一个充分条件是（ ）A．a∥，b∥C．a∥，a，bC

【分析】根据空间中线面的位置关系即可判断.

【详解】对于A，直线a，b可能平行，相交或异面；对于B，D，直线a，b可能平行或者异面，对于C，根据线面平行的性质即可判断是正确.故选：C

B．a∥，bD．∥，a，bABCDAB2DCADAB5．等腰梯形中，，则向量在向量上的投影向量为（ ）3ABA．4C

【分析】直接由投影向量的定义求解即可.

3ABB．41ABC．41ABD．4【详解】

AB2DC，可知，AB∥DC且AB2DC，过点D作DEAB，垂足为E，则由

AE1AB所以向量AD在向量AB上的投影向量为4.

1AB4，

故选：C.

6．洛书古称龟书，传说有神鱼出于洛水，其甲壳上有此图案，由表示1-9的圈点组成，数字结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，即九宫图，如图，在5个阳数中随机选取3个，则3个数的和为15的概率为（ ）

1A．5A

2B．91C．41D．2【分析】先得到5个阳数中随机选取3个所有基本事件的个数，然后得到所求事件包含基本事件个数，最后根据古典概型概念计算即可.

【详解】5个阳数为1，3，5，7，9，从5个数中随机选取3个数，所有基本事件有：

1,3,5，1,3,7，1,3,9，1,5,7，1,5,9，

1,7,9，3,5,7，3,5,9，3,7,9，5,7,9，共10个，

事件“3个数的和为15”所包含的基本事件有因此，所求概率故选：A

7．在直角三角形ABC中，A30，∠B90，以AB所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体的表面积为9，则AC的长为（ ）

65D．51,5,9，3,5,7，共2个，

P21105A．23A

B．3C．32【分析】先判断出形成的几何体为圆锥，再由圆锥的表面积公式求解即可.

【详解】

以AB所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周所形成的面所围成的几何体为圆锥，设

BCx，

x2x2x9AC2x则，所以，解得x3，所以AC23.故选：A.

8．嵩岳寺塔位于河南郑州登封市嵩岳寺内，历经1400多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存最早的砖塔.如图，为测量塔的总高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得BCD30，BDC45，CD32m，在C点测得塔顶A的仰角为60，则塔的总高度为（ ）

A．C．B

96326m92322mB．D．

96323m92323m【分析】假设ABh，然后计算出BC，接着利用正弦定理计算即可.【详解】设ABh，则

BChhtan603，在△BCD中

264，

sinCBDsin3045sin30cos45cos30sin45h323CDBC26242，解得h96323∴sinCBDsin45，即故选：B二、多选题

9．2021年5月1日，第七次全国人口普查结果公示，全国人口共万人，其中男性人口为72334万人，下图是7次人口普查全国人口的柱状图和年平均增长率的折线图，以下结论正确的是（ ）

A．我国人口总量保持持续增长

B．1964—1982年人口增长较快，之后人口增长率呈下降趋势C．从第七次人口普查得知女性人口占比超过了50%D．从普查结果来看，1982年我国人口突破了10亿人ABD

【分析】根据折线图以及条形图即可判断.

【详解】选项A，B，D都正确，对于C，第七次人口普查男性人口占比为

7233451.2%141178，所以C错误.故选：ABD

10．袋子里有4个大小、质地完全相同的球，其中有2个红球、2个白球，从中不放回地依次随机摸出2个球，事件A“两个球颜色相同”，事件B“两个球颜色不同”，事件C“第二次摸到红球”，事件D=“两个球都是红球”.下列说法正确的是（ ）A．P (AB)1B．C与D互斥

C．DCD．

P(B)P(C)P(D)ACD

【分析】根据事件的概率、互斥事件、事件的包含关系对选项逐一分析，由此确定正确选项.

【详解】A，由于AB，所以P (AB)1，A正确.

B，事件C与事件D都包括“第1次是红球，第2次是红球”，所以C,D不是互斥事件，B错误.

C，由于事件C“第二次摸到红球”包含了事件D=“两个球都是红球”，所以DC，C正确.

121122222PCPDPB2，436，所以P(B)P(C)P(D)，43433，D，

D正确.故选：ACD

11．如图，正方形ABCD的边长为2，E为边AD的中点，把BAE和△CDE分别沿

BE，CE折起.使得A，D两点重合为一点P.下列四个命题正确的是（ ）

A．PE平面PBCB．直线PE与直线BC所成的角为60C．二面角PBCE的大小为30°D．点P到平面BCE的距离为3AC

【分析】作出图形，根据线面、线线位置关系可判断A,B，找到二面角PBCE的

11EFPOPEPF2平面角，根据长度计算即可知C对错；然后作POEF，根据2计算即可.【详解】如图，

由平面图形，可知PBPE，PCPE，又PBPCP,PB,PC平面PBC∴PE平面PBC，又BC平面PBC可得PEBC∴A对，B错；取BC的中点F，连接PF，EF，则PFBC，EFBC，∴PFE为二面角PBCE的平面角，PE1，PF3，EF2，∴PFE30，C对；

由C选项知BC平面PFE，∴平面PFE平面BCE，EF为交线，在平面PFE中作POEF，交EF于O，则PO平面BCE，

113EFPOPEPFPO22，由2，求得

3∴点P到平面BCE的距离为2，D错.

故选：AC

5312．在ABC中，A60，周长为10，面积为2，则（ ）

A．ABC为钝角三角形

7BC2C．BC

B．

ABAC132D．BC边上的高为23【分析】根据面积公式，余弦定理以及周长，可联立求解a,b,c 的值，进而可判断B,C，由三边关系利用余弦定理可判断A，根据面积公式可判断D.【详解】ABC的内角A,B,C的对边分别为a，b，c，则abc10①

1353S△ABCbcsin60bc242，解得bc10②，再根据余弦定理

a2b2c22bccos60，得a2b2c2bc③，由①②③解得bc10a1071322，∴B对；

a72，∴C对；

1753103hh2，得7，∴D错；设BC边上的高为h，则22513b4,b,bc225c,c4bc102由得或可知4为最长边，最长边所对的角最大，设为，∴7524122cos0757222，为锐角，∴此三角形为锐角三角形，A错.故选：BC三、填空题13．写出一个满足3i（答案不唯一）

22zi2的复数z____________.

【分析】根据复数的模长求解即可求解.【详解】设复数zabi，则故3i14．已知球O的半径为6，点A，B，C均在球O的表面上，且ABC外接圆的面积为

a2b122，满足该关系的a，b都是正确的

8，则点O到平面ABC的距离为______.

27【分析】ABC外接圆即为球的一个截面，点O到平面ABC的距离即为点O到

ABC外接圆圆心的距离，利用球的截面的性质计算即可.

2【详解】设ABC外接圆的半径为r，则r8，所以r22，所以点O到平面

ABC的距离为故276222227.15．如图，在边长为2的菱形ABCD中，E为对角线AC上一点，且AEBE，F为

DC中点，则AEBF______.

1

【分析】先设出DAE，求出的定义及运算律求解即可.

AE1AD,ABcos，用表示出BF，再由向量数量积

【详解】

∵四边形ABCD为菱形，∴DAEBAE，设为，又∵AEBE，∴

EABEBA，

过点E作EMAB，垂足为M，则AM1，∴1BFBCCFADAB2，

AE1cos，∵

11111AEBFAEADABAEADAEAB2cos2cos122cos2cos∴.故1.

四、双空题

16．已知一组数据4，102a，1，2a，6的平均数为4，则a______，这组数据的方差为______.

14 3 5【分析】利用平均数计算公式、方差计算公式直接列式求解作答.

4102a12a645【详解】依题意，，解得a3，

则

4444145464s2522222145，

14所以a3，这组数据的方差为5.14故3；5五、解答题

31a2,2b2aba，17．已知向量a，b，c，，cab，且

(1)求(2)求

c；

.

cosb,c(1)757(2)14a【分析】（1）利用平面向量垂直可得b1，利用平面向量模的计算公式即可求解；（2）先计算bc，利用平面向量数量积的定义即可求解.

【详解】(1)解∵

aba∴

aba0，

22∴aab0，aba1.∴

cabab222a2abb7故c7.(2)解：∵

2bcbababb145∴

bc557cosb,c14bc2757cosb,c14故

18．2021年新冠疫情仍未平息，接种疫苗是防止新冠疫情最有效的手段今年5月，某地区疫苗接种出现了排长队现象，为了了解该地区接种人群的等待时间（从到达接种点到接种完成，不包括接种后的观察时间），随机调查了该地区某天接种的100人，制成了如下频率分布直方图．

(1)求样本中等待时间大于60分钟的人数；

(2)根据频率分布直方图，估计这100名接种者等待时间的平均值（各组区间的数据以该组区间的中间值作代表）．(1)53人；(2)60.4分钟.

【分析】（1）根据频率分布直方图，求出等待时间大于60分钟的频率即可计算作答.（2）利用频率分布直方图求样本平均数的方法列式计算作答.【详解】(1)后三组的频率分别为0.35，0.15，0.03，所以100名接种者中，等待时间大于60分钟的人数为(2)由频率分布直方图知：a0.015，

0.350.150.0310053人．

0.00250.006a0.01750.00750.0015201，解得

所以等待时间的平均值为：

100.05300.12500.3700.35900.151100.0360.4（分钟）．19．如图，直三棱柱

ABCA1B1C1中，ACBC1，ACB120，AA13.(1)证明：

A1B1∥平面ABC1；

ABC1的距离.

(2)求点C到平面(1)证明见解析39(2)13【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可求解；（2）利用等体积法求解点C到平面【详解】(1)证明：∵又∴

ABC1的距离即可.

ABCA1B1C1为直三棱柱，∴A1B1∥ABA1B1平面ABC1，ABÌ平面ABC1，

A1B1∥平面ABC1(2)解：在ABC中，ACBC1，ACB120，

1311sin1204则AB3，ABC的面积为2∵∴

ABCA1B1C1为直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，CC1⊥AC，从而AC1BC12取AB的中点D，连接

C1D，则C1DAB，

C1D132113393ABC1的面积为224，∴

设点C到平面由于

ABC1的距离为h，

VC1ABC=VCABC113139393hh3413∴34，解得39ABC1的距离为13.故点C到平面

20．从①2ccosAa2b，②

2abcosCccosB0，③

bsinA4cosCsinAasinB0这三个条件中任选一个，补充在下面的已知中，并解答.

已知：ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______.(1)求角C；

(2)求sinAsinB的取值范围.(1)C23；

32,1(2)【分析】（1）由正弦定理结合正弦的和角公式即可求解；

sinAsinBsinA3，再结合角A范围，结合三（2）先利用正弦差角公式化简得

角函数的性质求出sinAsinB的取值范围即可.

【详解】(1)若选①，利用正弦定理可得2sinCcosAsinA2sinB，又

sinBsinAC，

∴2sinCcosAsinA2sinAcosC2cosAsinC，得sinA2sinAcosC，∵sinA0，∴

cosC12C2，∵0C，∴3；

若选②，由正弦定理可得

2sinAsinBcosCsinCcosB0，∴

，

2sinAcosCsinBC0又

sinBCsinA，

cosC12C2，∵0C，∴3；

∴2sinAcosC+sinA=0，∵sinA0，∴

若选③，由正弦定理可得sinBsinA4sinBcosCsinAsinAsinB0，∴

2sinAsinB4sinBsinAcosC0，

∴

2sinAsinB12cosC0，∵sinA0,sinB0，∴

cosC12，∵0C，∴

C23；

31sinAsinBsinAsinAsinAcosAsinAsinA223，3(2)∵0A3，∴3A323，

33sinA12,13，∴sinAsinB的取值范围为.∴221．某偏远县政府为了帮助当地农民实现脱贫致富，大力发展种植产业，根据当地土壤情况，挑选了两种农作物A，B，鼓励每户选择其中一种种植.为了解当地农户对两种农作物的选择种植情况，从该县的甲村和乙村分别抽取了500户进行问卷调查，所得数据如下：所有农户对选择种植农作物A，B相互独立．

村庄

甲村

农作物AB

250250

150350乙村

(1)分别估计甲、乙两村选择种植农作物A的概率；

(2)以样本频率为概率，从甲、乙两村各随机抽取2户，求至少有2户选择种植农作物

B的概率；

122(3)经调研，农作物A的亩产量为800斤、900斤、1000斤的概率分别为5，5，5，

甲、乙两村各有一农户种植了一亩农作物A，求这两个农户中，甲村农户种植农作物

A的亩产量高于乙村的概率．

1(1)甲、乙两村选择种植农作物A的概率分别为23，10331(2)4008(3)25【分析】（1）根据表中数据，利用古典概型的概率求解；

（2）根据甲村和乙村选择种植农作物A与种植农作物B的概率，利用独立事件和互斥事件的概率求得随机抽取的4户中有0户选择和有1户选择种植农作物B的概率，再利用对立事件的概率求解；

（3）分甲村种植农作物A的亩产量为900斤，乙村为800斤和甲村为1000斤，乙村为800斤或900斤三类，利用独立事件的概率求解.

【详解】(1)解：记“甲村选择种植农作物A”为事件A，“乙村选择种植农作物A”为事件

B，

则

PA25011503PB5002，50010．

1，21(2)因为甲村选择种植农作物A与种植农作物B的概率估计值分别为2，

37乙村选择种植农作物A与种植农作物B的概率估计值分别为10，10．随机抽取的4户中有0户选择种植农作物B的概率为：P111339221010400．

有1户选择种植农作物B的概率为：

11331137603P22222101022101040020．

记“至少有2户选择种植农作物B”为事件C，则

PC1P1P219333140020400．

(3)记“甲村农户种植农作物A的亩产量高于乙村”为事件D，

212128PD5555525．则

22．如图，四棱锥PABCD的侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD为矩形，且平面PAD平面ABCD，M，N分别为AB，AD的中点，二面角DPNC的正切值为2.

(1)求四棱锥PABCD的体积；(2)证明：DMPC(3)求直线PM与平面PNC所成角的正弦值.43(1)3(2)证明见解析

3(3)5【分析】（1）先证明DNC为二面角DPNC的平面角，可得底面ABCD为正方形，利用锥体的体积公式计算即可；

（2）利用线面垂直的判定定理证明DM平面PNC，即可证明DMPC；（3）由DM平面PNC可得MPO为直线PM与平面PNC所成的角，计算其正弦值即可.

【详解】(1)解：∵△PAD是边长为2的正三角形，N为AD中点，∴PN^AD，

PN3又∵平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD∴PN^平面ABCD又NC平面ABCD，∴PNNC∴DNC为二面角DPNC的平面角，∴

tanDNC2DCDN又DN1，∴DC2∴底面ABCD为正方形.143V22333.∴四棱PABCD的体积

(2)证明：由（1）知，PN^平面ABCD，DM平面ABCD，∴PNDMDAM≌CDN在正方形ABCD中，易知△△∴ADMDCN而ADMMDC90，∴DCNMDC90∴DMCN∵PNCNN，∴DM平面PNC∵PC平面PNC，∴DMPC.

(3)设DMCNO，连接PO，MN.∵DM平面PNC.

∴MPO为直线PM与平面PNC所成的角

∵AD2,AM1，∴DM5，DO122555∴

MO525355522又MN2，PMPNMN535MO3sinMPO5PM55∴

3∴直线PM与平面PNC所成角的正弦值为5.