河北省沧州市2022-2023学年高二上学期期中数学试题(含答案)

高二数学

注意事项:

1.答卷前,考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1. 在空间直角坐标系Oxyz中, 点M(2,3,1)关于z轴的对称点是 A. (-2,-3,-1)

B. (2,-3,1)

C. (2,-3,-1)

D. (-2,-3,1)

2. 直线xcos10ysin8020的倾斜角为 A. 10

B. 45

C. 80

D. 135

3. 直线2xmy10与直线mxm2y20垂直, 则m A. 2 2 B. 1 C. 2 D. 2

4. 已知a(3,0,2),b(2,x,1),c(2,4,y),(ab)//c, 则xy A. 2

3B.

2 C. 1 D. 0

5. 若圆x2y22xkyk10的面积是, 则该圆的圆心坐标为 A. (-1,1)

B. (-1,-1)

C. (-1,2)

D. (-1,-2)

6. 在正方体ABCDA1B1C1D1中,P是C1D1的中点,则异面直线AP与BA1所成角的余弦值为 A.

2 6 B.

3 6

1C.

3

2D.

37. 已知点A,B,C不共线,O是空间任意一点, 点P在平面ABC内, 且OPyOAx2OBxOC, 则

3A. y有最小值

43B. y有最大值

4C. y有最小值 1 D. y有最大值 1

8. 点A(2,0)到直线l的距离为 1 ,且直线l与圆C:(x2)2(y3)2r2(r0)相切, 若这样的l有四条, 则r的取值范围是

A. (0,2) B. (0,3) C. (0,4) D. (0,5)

二、选择题: 本题共 4 小题,每小题5分,共20分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分, 有选错的得 0 分.

9. 在棱长均为 1 的四面体ABCD中, 下列结论正确的是 A. ABCD0

B. ADDCBACB0C. ADABCBCD

D. |2ABBC|2

10. 已知直线l:(m3)x(2m1)y2m1, 则下列结论正确的是 A. 存在m, 使l与直线x2y0平行 B. l 恒过定点(0,1)

C. 存在m, 使l被圆x2y24截得弦长为23 D. 存在m, 使l被圆x2y24截得弦长为 4

11. 正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,M为棱CC1的中点,N是侧面ADD1A1上(含边缘)的动点,若

BMA1N, 则点N到平面BB1D1D的距离可以是

1A.

2 B.

2 2 C. 1 D.

 212. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家, 与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠, 他 对圆锥曲线有深刻而系统的研究, 阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一.定义:平面上到两定点距离之比是常数(0,1)的动点的轨迹是圆,称为阿波罗尼斯圆.设A(4,0),B(1,0), 满足

|MA|2的|MB|点M(x,y)的轨迹是阿波罗尼斯圆C, 该圆与x轴交于P,Q两点(P在Q左边), 则下列结论正确的是 A. 圆C的半径为 2

B. 过A点向圆C引两条切线,A与两个切点构成等腰直角三角形 C. 若P,Q与m不重合, 则MP平分AMB D. 圆C上存在两个m点, 使得|AM|2|AP||AQ| 三、填空题: 本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13. 已知两点Mm2,m2,N(1,1), 若直线MN的斜率为2m, 则m_____.

14. 点P在圆x2y21上运动, 点Q在直线3x4ym0上运动, 若|PQ|的最小值是 1 , 则

m_____.

15. 若方程4x23xb有实数解,则b的取值范围是_____.

16. 球O上有四点P,A,B,C, 且PA,PB,PC两两垂直,PAPB2,PC4, 四面体OABC的体积等于_____.

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)

(1) 求经过点P且与l平行的直线方程;

(2) 求经过点P且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 18. (本小题满分 12 分)

如图, 三棱锥OABC的侧棱OA,OB,OC的长度分别为1,2,3, 并且

AOBBOCAOC60.

(1) 求AB的长;

(2) 求直线OC与直线AB所成角的余弦值. 19. (本小题满分 12 分)

已知圆C经过点A(0,0),B(3,1)和D(6,0).

(1) 求圆C的方程;

(2) 过点(0,-2)的直线l被圆C截得的弦长为 8 , 求直线l的方程. 20. (本小题满分 12 分)

在棱长均为 6 的直三棱柱ABCA1B1C1中, 若E是A1B1的中点,D在BC上, 且BD2DC.

(1) 求证:BE//平面ADC1;

(2) 求直线DA1与平面BB1C1C所成角的正弦值. 21. (本小题满分 12 分)

如图一, 在等腰梯形ABCD中,ADDCCB点A到点P的位置, 且PB10, 如图二. (1) 求证: 平面PDE平面BCDE;

(2)求平面PBD与平面PBC的夹角的余弦值.

1AB2,E是AB的中点, 将ADE沿DE折起, 使222. (本小题满分 12 分)

已知A(4,0), 圆C:x24xy20上有一动点B, 设线段AB的中点为P. (1) 求点P的轨迹E的方程;

(2) 过原点O作E的两条弦OM,ON, 若OM,ON的斜率之积为 2 , 证明: 直线MN过定点.

2022-2023学年上学期期中考试

高二数学参考答案

题号答案

1B

2D

3C

4D

5B

6A

7A

8C

ABC9

BCD10

BC11

ACD12

关于z轴的对称点是竖坐标不变,横纵坐标变为相反数,故选B.1.B 解析:

[是空间坐标系最基础的知识,数学素养方面考查学命题意图]该题考查空间直角坐标系中的对称关系,

,,故选D.注意到c该直线的斜率k=-12.D 解析:os10°=sin80°[与倾斜角的关系、三角函数的诱导公式等,是一个横向综合命题意图]该题考查直线方程一般式的斜率、

生的空间想象能力.

2,m1,21,,斜率k故选C由直线方程不难看出m≠0k1∴m=±2,∴-×=-.3.C 解析:1=-2=2=

mmmmm[是直线中必考问题,数学素养方面命题意图]该题考查直线的位置关系中的垂直关系以及方程的解法,

性题目,数学素养方面则是考查学生的灵活创新、横向迁移能力.

1-x1,,,,,,),,故a-b=(1-x,c=(-24a-b)c,==x=22.∴x+01∵(∥∴4.D 解析:y)y=-y=

-24y故选D.[平行等运算,数学素养方面考查了方程思想、转化思想、运算能命题意图]该题考查空间向量的减法、

考查方程思想、运算能力等.

,即圆的半径r=15.B 解析:

,法一:设正方体的棱长为2取CC1的中点Q,Q∥BA1,PQ就是AP与BA1夹角或其∴P∠A6.A 解析:,补角,由余弦定理得cAP=AQ=3PQ=2,PQ=os∠A12

)],,,),[(圆心坐标为(故选B.k+k-1=1k=2-1-14-4

4[圆心、半径等,数学素养方面考查配方法、方程思想、转化思想等.命题意图]该题考查圆的一般方程、

力等.

31,由已知y-故选A.7.A 解析:x2+x=1∴+,y=x-42[二次函数配方法、函数最小值等,数学素养方面考命题意图]该题考查空间向量中四点共面的充要条件、

2

→(,,)→→,→>2,,,),,,),,,),<故选A.202220A1(B(AP=-212,BA1=(0-22cosAPBA1=

6[向量的夹角与内积公式、异面直线所成角等问题,数学素养方命题意图]该题考查空间向量的坐标运算、面考查数形结合、空间想象能力.

2,故选A.6

,,),,,),,法二:设正方体的棱长为2以DA,DC,DD1分别为x,z轴建立空间直角坐标系,A(P(200012y,

22

,)(),直线l与圆A,的距离为1圆C∵直线l到点A(8.C 解析:20x-2+1相切,∴直线l与圆A:y=

,,都相切且这样的故选C.∴圆C与圆A外离,|l有四条,AC|=5>r+1∴r<4

查函数思想、知识迁移等.

[圆与直线的位置关系、圆与圆的位置关系等,数学素养方面考查转命题意图]该题考查点到直线的距离、

化思想、数形结合思想等.

高二数学·期中答案 第共5页) 1页(

m-312

,)由B知,当圆x2+将(代入恒成立,4的=-无解,01B正确;A不正确;∵-10.BCD 解析:y=

m+122[直线与圆的位置关系、弦长、直线平行等问题,数学素养方面考查学命题意图]该题考查直线恒过定点、

生的特值法、辩证思想等.

取C连接AM,9.ABC 解析:D的中点M,BM,D,BM⊥CD,CD⊥平面ABM,CD⊥AB,∴AM⊥CA正

→→→→(→→)(→→)→→,故B正确;确;AD+DC+BA+CB=AD+DC+CB+BA=AC+CA=0∵AD=AB=CB=CD,

→→2→2→·→→2

,故C正确;44+4×1×1×cos120°+AB=∠BCD=60°|2AB+BC|=4AB+ABBC+BC=∠D→→,故选A1=3|2AB+BC|=3,D不正确,BC.

[内积、线性运算、模运算等,数学素养方面考查知识的多样性、思命题意图]该题考查空间向量中的垂直、维的发散性、运算的准确性.

,),连线和l垂直时,弦长最小,最小值为23,过圆心的弦长最大,最大值为直径4圆心O与(01C正确;

故选BD正确,CD.

如图所示,取A连接A1则A1D的中点P,P,P⊥BM.11.BC 解析:

􀭠 􀭤2,,所以点N的轨迹为线段A1故选BPN到平面BB1D1D的距离d∈C.2,􀭡2􀭥

[点到面的距离等问题,数学素养方面考查数学抽象、逻辑命题意图]该题考查动点的轨迹及线线垂直、

􀪁􀪁􀪁􀪁22222

,)),),,),整理得x2+由已知(4∴P(x+4+2(x+1+Q(-2020A正12.ACD 解析:y=y,y=

推理等.

1·|AM||PM|sin∠AMPS△APM|2AP|,,,正弦定理==AM|=2|BM||AP|=2|PB|∵|S△BPM1|BP|·|BM||PM|sin∠BMP22

,,当AM与圆相切时,∴sin∠AMP=sin∠BMP,BMP,AM|=12|AP|=2|∠AMP=∠C正确;

,故选A|AQ|=6D正确,CD.

[通过正弦定理考查内角平分线定理,通过切线长的运算验证命题意图]该题通过数学文化考查阿氏圆,

2,由确;过A的切线长为4两条切线的夹角为623,A与两个切点构成等边三角形,B不正确;-4=0°

2

1m-11,解得m=(或m=-舍去)13. 解析:=-2m,1.3m+13[建立方程等问题,数学素养方面考查方程思想.命题意图]该题考查由两点坐标求斜率、

切割线定理等,数学素养方面考查知识的迁移、数形结合等.

|,|-m||-m,圆心O到314.±10 解析:∴最小值为x+40的距离为d=-1=1m=±10.y-m=

55

[点到直线距离问题等,数学素养方面考查动静转化思想、方命题意图]该题考查直线与圆的位置关系、

][分别画出函数y=4由方程知,直线l的倾斜角4 解析:-x2和直线l:x+b的草图,15.-23,y=3,);代入直线l的方程,得b=-所以此时b=-或者将A的坐标(当直线l平移到l2023,23(23)2

,,(,)的位置时,设C为切点,所以b=或者由点O(到△∠OCD为直角三角形,ODC=30°OD=2OC=4400

高二数学·期中答案 第共5页) 2页(

,,,为6在△如图,当直线l移到所以O0°∠lOAB中,OAB=60°∠AOB=90°B=3OA=1的位置时,

程思想.

]是[-23,4.

|3×0-1×0+b|,),综上,直线y=3直线l的距离等于半径,即=2得b=4x+b的截距的取值范围 3+14以P则长方体的体对角线为球的直径,以PA,PB,PC为棱构造长方体,A,PB,PC为x,16. 解析:y,

3,,),,,),,,),,,),,,),可球心O的坐标为(z轴建立空间直角坐标系,B(C(P(∴A(112200020004000

→·|mCO|2,→,,),,,,求得平面ABC的法向量m=(221CO=(11-2)d==|AC|=|BC|=25,

3m||

|AB|=22,S△ABC=

[数学素养方面考查数形结合思想、方程转化意识.命题意图]该题考查动直线与半圆的位置关系,

(),……………………………………………………………………………解:直线l的斜率为-117.2

……………………………………………………(),∴过P点与l平行的直线为:4=-2x-2y-即2x+8=0.………………………………………………………………………………………y-

1124

,×22×32=6V=×6×=.

2333

[从表面上看该题是立体几何中的外命题意图]该题从比较隐蔽的角度考查空间向量点到平面的距离,接球问题,深层次挖掘却需要用空间向量的知识求高,数学素养方面考查知识的延伸、数形结合等.

(5分)(),当直线过原点时,斜率k=直线的方程为:222x;……………………………………………(7分)y=

(2分)

(4分)

[直线在坐标轴上的截距、截距式以及其限制的条件,数学命题意图]该题考查平行直线的点斜式方程、

素养方面考查分类讨论、思维的全面性.

→→→则解:设O18.A=a,OB=b,OC=c,→→→→2222

(),……… AB=OB-OA=b-a,AB= b-a=b-2a·b+a=4-2×1×2×cos60°+1=31

x…………(,,),代入P(当直线不过原点时,设+y=解得a=16.∴直线的方程为:x+6.9分)24y=

aa……………………………………………………(综上,直线的方程为:2x-0或x+6=0.10分)y=y-

………………………………………………………………………………………………………

→…………………………………………………………………………………所以AB=AB=3.b-a)………………………………………………………………………→,→>c·(()<2cosOCAB=

|c||b-a|

(6分)

(5分)

3.6

[数学素养方面考查逻辑推理、数学运算.命题意图]该题考查空间向量模运算和向量夹角的运算,所以直线OC与直线AB所成角的余弦值为

113×2×-3×1×

223………………………………………………………(c·b-c·a===.12分)|c||b-a|63×3(9分)

高二数学·期中答案 第共5页) 3页(

2

()解:设圆C的方程为x2+因为A,所以它们的坐标都是119.x+EF=0.B,D三点都在圆C上,y+Dy+

,F=0􀮠

2

,,,得D=-6E=-8F=0∴圆C的方程为x2+x-80.………………………………(5分)6y-y=

(),,),当直线l的斜率不存在时,圆心C(到直线l的距离等于3故圆C截得的弦长2l的方程为x=034

,……………………………………………………………(圆C方程的解,故􀮡9+1+3D-E+F=03分)

,36+6D+F=0􀮢

,为8满足题意;…………………………………………………………………………………………(7分)

,,,)即k由题意圆心C(当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=到直线l的距离kx-2x-2=034y-|3k-4-2|,…………………………………………………………………………(),等于3则有=39分2

1k+

3,……………………………………………………………………………………………(10分)4􀪁􀪁􀪁􀪁解得k=

3(∴.……………………………(12分)l的方程为3x-48=0或x=02或x=0也给分)y-y=x-4[还考查了点到直命题意图]该题考查圆的一般方程以及如何通过建立方程组的形式求其中的未知量,

…………(()连接A则O解:分别取B20.1C,B1C1的中点O,O1,O,OO1,O1⊥平面ABC,AO⊥BC,2分)

线的距离以及弦长等,数学素养方面考查方程思想、运算能力等.

333,),,,),,,),,,),建立如图所示的空间直角坐标系,则A(,,D(C1(B(E33,000-100-360306,

22

→(,),AD=-33,-10

,-33x-0y=………,,,,设平面A令x=-∴3)DC1的法向量为m=(x,z)1∴m=(-133,y,

,-26z=0y+

………………………………………………………………………………………………………(6分)→,∴8分)m·BE=0∵BE⊄平面ADC1,BE∥平面ADC1.………………………………………………(

→,),,),()……(,,),设平面B则n=(061633,2A1(DA1=(33,B1C1C的一个法向量为n,10010分)

设直线DA1与平面BB1C1C所成角为θ,→>则s=inθ=|cos→→333,,),,DC1=(0-26BE=4分)-,6.……………………………………………………………(

22 33…………………………………………(

A1与平面BB1C1C所成角的正弦值等于.12分)∴直线D8[数学素养方面考查数命题意图]该题考查如何利用空间向量证明线面平行以及求直线与平面所成角,

33=.2228+1+6×1 3333形结合思想、运算能力等.

高二数学·期中答案 第共5页) 4页(

()解:连A四边形A且△A连接C121.C交DE于O,E.DCE与BCDE均为菱形,DE,CDE,BCE均为△△

…………(正三角形.在折叠过程中PO⊥DE,CO⊥DE,E⊥平面POC,DE⊥PC,BC⊥PC.2分)∴D,∵PB=10,BC=2∴PC=6.∵PO=CO=3,O2+CO2=PC2,O⊥OC,…………∴P∴PDE∩OC=O,O⊥平面BCDE,…………………………………………………………………∴P,x-3z=0→(,,(),,,),的法向量为设平面PB=-23-3PBDm=xyz∴

,-2x+3z=0y-3……………………………………………………………………………(∴平面PDE⊥平面BCDE.6分)→(,,(),,,,,),,),,),,建立如图所示的空间直角坐标系,2P(D(C(B(PD=10-3)003)10003,0-23,0∴(4分)

(5分)

……………………………………………………………………………(,)令x=3,3,∴m=(31.8分)

,-2a+3b-3c=0→((,,,),,),设平面PBC的法向量为n=abcPC=03-3∴

,3b-3c=0

,,,),………………………………………………………………………………(令c=1∴n=(01110分)

设平面PBD与平面PBC的夹角为θ,6m·n22,则cosθ=|cos=|=

|m||n|13

226………………………………………………(

故平面PBD与平面PBC的夹角的余弦值为.12分)

13

[数学素养方命题意图]该题考查立体几何中线面垂直的证明以及空间向量中如何求两个平面的夹角,

(),……………………(,,解:设P(由于P是线段A122.x,B(a,b)B的中点,x=a+42b,∴22分)y)y=

22

,)(),………(于是有a=即(将(代入圆C方程,2x-4b=2a,b)x-4+42x-4+(2204分)y,y)=

面考查空间想象、动静转化思想等.

2

…………………………………………………………(整理得x2-x+20即为轨迹E的方程.5分)y=

()显然O在轨迹E上.若直线MN斜率不存在,则kk0不满足题意;2OM·ON<

若直线MN斜率存在,设MN方程为y=kx+m,…………………………………………………(6分)

2

))(,……………………………(将MN方程代入轨迹E中,整理得(kx2+km-1x+m2=+1207分)

22

,,,设M( =-x1,N(x2,Δ=4km-1m2k4m2-km+4>0-4+18y1)y2)()m2,km-12

x1x2=2x1+x2=-2.∴

k+1k+1

2

2

2km+m(,=+m=2kx1+m)kx2+m)kx1x2+km(x1+x2)y1y2=(

k+1

2

………………………………………(,)),-20.12分)k(x+2∴直线MN恒过点(∴MN的方程为y=

[数学素养方面考查转化与命题意图]该题考查利用相关点法求圆的轨迹方程以及直线恒过定点问题,

y1y22km+m2

……………………………………………………(·,若k则m=10分)==22k,OMkON=2

x1x2m22

,所以Δ=-不等式Δ> +-8+44× 2kk× 2k4=-32k0有解,

化归的思想及数学抽象、数学运算的能力.

高二数学·期中答案 第共5页) 5页(