初中数学几何最值问题典型例题精修订

初中数学几何最值问题

典型例题

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初中数学《最值问题》典型例题

一、解决几何最值问题的通常思路

两点之间线段最短；

直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；

三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）

是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段．

几何最值问题中的基本模型举例

图形 轴对原称理 最值 两点之间线段最短 两点之间线段最短 三角形三边关系 特征 A，B为定点，l为A，B为定点，l为定A，B为定点，l为定直线，P为直线直线，MN为直线l定直线，P为直线l

l上的一个动点，上的一条动线段，求上的一个动点，求|AP-BP|的最大值 求AP+BP的最小值 AM+BN的最小值 先平移AM或BN使作其中一个定点关转于定直线l的对称化 点 直线l的对称点 其中一个定点关于定点 作其中一个定点关M，N重合，然后作于定直线l的对称 图形 原折理 叠最特值 征 在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿两点之间线段最短 MN翻折，B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值． 转转化成求AB'+B'N+NC的最小值 化 二、典型题型

1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN的周长的最小值为 ．

【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，

OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证

得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．

【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与

OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．

∵PC关于OA对称，

∴∠COP=2∠AOP，OC=OP

同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD

∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD．

∴△COD是等腰直角三角形．

则CD=2OC=2×32=6．

【题后思考】本题考查了对称的性质，正确作出图形，理解△PMN周长最小的条件是解题的关键．

2．如图，当四边形PABN的周长最小时，a= ．

【分析】因为AB，PN的长度都是固定的，所以求出PA+NB的长度就行了．问题就是PA+NB什么时候最短．

把B点向左平移2个单位到B′点；作B′关于x轴的对称点B″，连接AB″，交

x轴于P，从而确定N点位置，此时PA+NB最短．

设直线AB″的解析式为y=kx+b，待定系数法求直线解析式．即可求得a的值．

【解答】解：将N点向左平移2单位与P重合，点B向左平移2单位到B′（2，﹣1），

作B′关于x轴的对称点B″，根据作法知点B″（2，1），

设直线AB″的解析式为y=kx+b，

则12kb，解得k=4，b=﹣7．

3kb∴y=4x﹣7．当y=0时，x=，即P（，0），a=．

747474故答案填：．

74【题后思考】考查关于X轴的对称点，两点之间线段最短等知识．

3．如图，A、B两点在直线的两侧，点A到直线的距离AM=4，点B到直线的距离

BN=1，且MN=4，P为直线上的动点，|PA﹣PB|的最大值为 ．

【分析】作点B于直线l的对称点B′，则PB=PB′因而|PA﹣PB|=|PA﹣PB′|，则当A，B′、P在一条直线上时，|PA﹣PB|的值最大．根据平行线分线段定理即可求得PN和PM的值然后根据勾股定理求得PA、PB′的值，进而求得|PA﹣PB|的最大值．

【解答】解：作点B于直线l的对称点B′，连AB′并延长交直线l于P．

∴B′N=BN=1，

过D点作B′D⊥AM，

利用勾股定理求出AB′=5

∴|PA﹣PB|的最大值=5．

【题后思考】本题考查了作图﹣轴对称变换，勾股定理等，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．

4．动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为 ．

【分析】本题关键在于找到两个极端，即BA′取最大或最小值时，点P或Q的位置．经实验不难发现，分别求出点P与B重合时，BA′取最大值3和当点Q与D重合时，BA′的最小值1．所以可求点A′在BC边上移动的最大距离为2．

【解答】解：当点P与B重合时，BA′取最大值是3，

当点Q与D重合时（如图），由勾股定理得A′C=4，此时BA′取最小值为1．

则点A′在BC边上移动的最大距离为3﹣1=2．

故答案为：2

【题后思考】本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，学生主要缺乏动手操作习惯，单凭想象造成错误．

5．如图，直角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E、F分别在线段AB、

AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P．当P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值等于 ．

【分析】如图，经分析、探究，只有当直径EF最大，且点A落在BD上时，PD最小；根据勾股定理求出BD的长度，问题即可解决．

【解答】解：如图，

∵当点P落在梯形的内部时，∠P=∠A=90°，

∴四边形PFAE是以EF为直径的圆内接四边形，

∴只有当直径EF最大，且点A落在BD上时，PD最小，

此时E与点B重合；

由题意得：PE=AB=8，

由勾股定理得：

BD2=82+62=80，

∴BD=45，

∴PD=458．

【题后思考】该命题以直角梯形为载体，以翻折变换为方法，以考查全等三角形的判定及其性质的应用为核心构造而成；解题的关键是抓住图形在运动过程中的某一瞬间，动中求静，以静制动．

6．如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为 ．

【分析】取AB的中点E，连接OD、OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE=AB，利用勾股定理列式求出DE，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD过点E时最大．

【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OD、OE、DE，

∵∠MON=90°，AB=2

∴OE=AE=AB=1，

12∵BC=1，四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC=1，

∴DE=2，

根据三角形的三边关系，OD＜OE+DE，

∴当OD过点E是最大，最大值为2+1．

故答案为：2+1．

【题后思考】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，勾股定理，确定出OD过AB的中点时值最大是解题的关键．

7．如图，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角△ACD和等腰直角△BCE，那么DE长的最小值是 ．

【分析】设AC=x，BC=4﹣x，根据等腰直角三角形性质，得出CD=（4﹣x），根据勾股定理然后用配方法即可求解．

22x，CD′=22【解答】解：设AC=x，BC=4﹣x，

∵△ABC，△BCD′均为等腰直角三角形，

∴CD=

22x，CD′=（4﹣x）， 22∵∠ACD=45°，∠BCD′=45°，

∴∠DCE=90°，

∴DE2=CD2+CE2=x2+（4﹣x）2=x2﹣4x+8=（x﹣2）2+4，

1212∵根据二次函数的最值，

∴当x取2时，DE取最小值，最小值为：4．

故答案为：2．

【题后思考】本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最值．

8．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为 ．

【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作点P关于BD的对称点P′，连接P′Q与BD的交点即为所求的点K，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知P′Q⊥CD时PK+QK的最小值，然后求解即可．

【解答】解：如图，∵AB=2，∠A=120°，

∴点P′到CD的距离为2×3=3， 2∴PK+QK的最小值为3．

故答案为：3．

【题后思考】本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键．

9．如图所示，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上的任意一点（可与B、C 重合），分别过B、C、D 作射线AP的垂线，垂足分别为B′、C′、D′，则

BB′+CC′+DD′的取值范围是 ．

12【分析】首先连接AC，DP．由正方形ABCD的边长为1，即可得：S△ADP=S正方形

12121212ABCD=，S△ABP+S△ACP=S△ABC=S正方形ABCD=，继而可得AP（BB′+CC′+DD′）=1，又由

1≤AP≤2，即可求得答案．

【解答】解：连接AC，DP．

∵四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的边长为1，

∴AB=CD，S正方形ABCD=1，

∵S△ADP=S正方形ABCD=，S△ABP+S△ACP=S△ABC=S正方形ABCD=，

12121212∴S△ADP+S△ABP+S△ACP=1，

∴APBB′+APCC′+APDD′=AP（BB′+CC′+DD′）=1，

12121212则BB′+CC′+DD′=

2， AP∵1≤AP≤2，

∴当P与B重合时，有最大值2；

当P与C重合时，有最小值2．

∴2≤BB′+CC′+DD′≤2．

故答案为：2≤BB′+CC′+DD′≤2．

【题后思考】此题考查了正方形的性质、面积及等积变换问题．此题难度较大，解题的关键是连接AC，DP，根据题意得到S△ADP+S△ABP+S△ACP=1，继而得到

BB′+CC′+DD′=

2． AP10．如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、

E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是 ．

【分析】利用菱形的性质以及相切两圆的性质得出P与D重合时PE+PF的最小值，进而求出即可．

【解答】解：由题意可得出：当P与D重合时，E点在AD上，F在BD上，此时

PE+PF最小，

连接BD，

∵菱形ABCD中，∠A=60°， ∴AB=AD，则△ABD是等边三角形， ∴BD=AB=AD=3，

∵⊙A、⊙B的半径分别为2和1， ∴PE=1，DF=2，

∴PE+PF的最小值是3． 故答案为：3．

【题后思考】此题主要考查了菱形的性质以及相切两圆的性质等知识，根据题意得出P点位置是解题关键．