阿基米德三角形的性质

1.过抛物线y2px上一点M(x0,y0)的切线方程为：y0yp(xx0) 2.过抛物线y2px上一点M(x0,y0)的切线方程为：y0yp(xx0) 3.过抛物线x2py上一点M(x0,y0)的切线方程为：x0xp(yy0) 4.过抛物线x2py上一点M(x0,y0)的切线方程为：x0xp(yy0) 性质1：阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴.

证明：设

2222A(x1,y1)，B(x2,y2)，M为弦AB的中点，则过A的切线方程为y1yp(xx1)，过B22px2y2yp(xx2)，联立方程，y122px1，y2的切线方程为，解得两切线交点

Q(y1y2y1y2,) 2p2性质2：若阿基米德三角形的底边即弦线

AB过抛物线的定点C，则另一顶点Q的轨迹为一条直

性质3：.抛物线以C点为中点的弦平行于Q点的轨迹

性质4：若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点

a3性质5：底边为a的阿基米德三角形的面积最大值为

8p性质6：若阿基米德三角形的底边过焦点，顶点Q的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积最小值为p

性质7：在阿基米德三角形中，QFAQFB

性质8：抛物线上任取一点I（不与A,B重合），过I作抛物线切线交QA，QB于S,T，则

2QST的垂心在准线上 性质9：AFBFQF

性质10：QM的中点P在抛物线上，且P处的切线与AB平行 性质11：在性质8中，连接AI,BI，则ABI的面积是QST面积的2倍

1.如图，设抛物线方程为x2py(p0)，M为 直线y2p上

22任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A,B （Ⅰ）求证：A,B,M三点的横坐标成等差数列； （Ⅱ）已知当M点的坐标为(2,2p)时，

AB410，求此时抛物线的方程；

2（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x2py(p＞0)上，其中，点C满足OCOAOB（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

2.设点p(x0,y0)在直线xm(ym,0m1)上，过点P作双曲线xy1的两条切线PA,PB，切点为A,B，定点

22M(1,0)． m（1）求证：三点A,B,M共线．

（2）过点A作直线xy0的垂线，垂足为N，试求AMN的重心G所在曲线方程．